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2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈．连续三天的客流强度，不是第二，就是第一．2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．302.1×104次 B．3.021×106人次
C．3.021×105人次 D．30.21×105人次
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4 B．5a2﹣3a2＝2a
C．（﹣a）3•a3＝a6 D．5a+2b＝7ab
5．如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若∠C＝50°，∠BDE＝55°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．105° D．110°
7．某中学体育节，有17名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前8名参加决赛．小雅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这17名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
8．如果点P（m，2﹣m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．﹣2＜m＜0 C．m＜0 D．m＞2
9．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x3﹣9x＝ ．
12．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝60°，则∠OBC的度数为 度．
13．分式方程的解为x＝ ．
14．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），则k＝ ．
15．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
16．将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|1﹣|﹣tan60°+（π﹣2023）0+（﹣）﹣1．
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC．求证：∠ACE＝∠DBF．
20．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别
听写正确的个数x
组中值
A
0≤x＜8
4
B
8≤x＜16
12
C
16≤x＜24
20
D
24≤x＜32
28
E
32≤x＜40
36
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了 名学生，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是多少度？
（3）该校共有2000名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
21．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）
22．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．
23．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
25．圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是 （填序号）；
①矩形
②菱形
③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝3，且．
①当时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可知．
解：根据倒数的定义，可知的倒数是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．
2．今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈．连续三天的客流强度，不是第二，就是第一．2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．302.1×104次 B．3.021×106人次
C．3.021×105人次 D．30.21×105人次
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：302.1万＝3021000＝3.021×106．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，垂直平分线的一点到线段两端距离相等，即可求解．
【解答】因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA＝PB＝6，即PB的长度为6．故选：C．
【点评】掌握线段的垂直平分线的性质即可求解．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4 B．5a2﹣3a2＝2a
C．（﹣a）3•a3＝a6 D．5a+2b＝7ab
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a6÷a2＝a4，故A符合题意；
B、5a2﹣3a2＝2a2，故B不符合题意；
C、（﹣a）3•a3＝﹣a6，故C不符合题意；
D、5a与2b不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解：从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形，
共5个正方形，面积为5．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若∠C＝50°，∠BDE＝55°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．105° D．110°
【分析】由平行线的性质可得∠EDC＝50°，从而可求∠CDB的度数．
解：∵DE∥AC，∠C＝50°，
∴∠EDC＝∠C＝50°，
∵∠BDE＝55°，
∴∠CDB＝∠EDC+∠BDE＝105°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
7．某中学体育节，有17名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前8名参加决赛．小雅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这17名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有17名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
解：17个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有9个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数，极差，平均数，方差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．如果点P（m，2﹣m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．﹣2＜m＜0 C．m＜0 D．m＞2
【分析】根据第四象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之即可得出答案．
解：由题意知，
解得m＞2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC的长．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4；
∴AC＝AB＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质．
10．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断可求解．
解：（1）由图象与x轴有两个交点可判别，①正确；
（2）开口向下则a＜0，对称轴“左同右异”则b＜0，与y轴交于正半轴则c＞0，则abc＞0，②错误；
（3）由对称轴x＝﹣1可得b＝2a，则2a+b﹣c＝4a﹣c，由a＜0，c＞0可知4a﹣c＜0，③错误；
（4）当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，④错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
12．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝60°，则∠OBC的度数为 30 度．
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝120°，根据等腰三角形性质求出∠OBC＝∠OCB，在△BOC中，根据三角形的内角和定理求出即可．
解：∵弧BC对的圆心角是∠BOC，对的圆周角是∠A，∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠OBC＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是求出∠BOC的度数，题目比较典型，难度不大．
13．分式方程的解为x＝ 1 ．
【分析】观察可得最简公分母为x（x+1）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
解：方程两边同乘x（x+1），
得x+1＝2x，
解得x＝1．
将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．
所以x＝1是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
14．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），则k＝ 6 ．
【分析】由反比例函数解析式知k＝xy，所以把点（﹣2，﹣3）代入k＝xy即可求得k的值．
解：由，得
k＝xy，
∵反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），
∴k＝（﹣2）×（﹣3）＝6．
故答案是：6．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
15．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝0且k≠0，
解得：k＝1，
∴k的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16．将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球数字不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球数字不同的结果有（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共6种，
∴两次摸出的小球数字不同的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|1﹣|﹣tan60°+（π﹣2023）0+（﹣）﹣1．
【分析】逐一算出每一项，求值即可得出答案．
解：原式＝﹣1﹣+1+（﹣2）
＝﹣2．
【点评】这题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊的三角函数值，要求学生熟记相关运算法则．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
解：÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝，
当x＝2+时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC．求证：∠ACE＝∠DBF．
【分析】因为EA⊥AD，FD⊥AD，AB＝DC，AE＝DF，所以△EAC≌△FDB，则∠ACE＝∠DBF．
【解答】证明：∵AB＝DC，BC＝BC，
∴AC＝DB．
∵EA⊥AD，FD⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
又∵AE＝DF，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
∴∠ACE＝∠DBF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明角、边相等常常运三角形全等来证明．
20．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别
听写正确的个数x
组中值
A
0≤x＜8
4
B
8≤x＜16
12
C
16≤x＜24
20
D
24≤x＜32
28
E
32≤x＜40
36
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了 100 名学生，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是多少度？
（3）该校共有2000名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
【分析】（1）根据“B组”的频数和所占的百分比，利用频率＝，即可求出调查人数，进而求出“D组”的频数和“E组”的频数，再补全条形统计图即可；
（2）“E组”占调查人数的20%，因此相应的圆心角度数占360°的20%，计算即可；
（3）求出“不合格”所占的百分比即可估计总体中“不合格”的人数．
解：（1）本次共随机抽查了学生15÷15%＝100（名），
“D组”的频数为：100×30%＝30（名），“E组”的频数为：100×20%＝20（名），
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是360°×20%＝72°；
（3）2000×＝320（名），
答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数大约为320名．
【点评】本题考查频数分布表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）
【分析】（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．
解：（1）如图，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∴2AD2＝AB2＝（4）2，
解得：AD＝4（米）．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（米）．
即新传送带AC的长度约为8米；
（2）货物MNQP不需要挪走．
理由：在Rt△ABD中，BD＝AD＝4（米）．
在Rt△ACD中，CD＝＝4（m）．
∴CB＝CD﹣BD＝4﹣4≈2.8（m）．
∵PC＝PB﹣CB≈5﹣2.8＝2.2＞2，
∴货物MNQP不需要挪走．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
22．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得BD＝2OB，再证AC＝BD，即可得出结论；
（2）先证DA＝DE，再证△AOD是等边三角形，得∠ADO＝60°，然后求出∠ODE＝30°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OB，
∵AC＝2OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，OA＝OD，BD＝2OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵BD＝2AD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∴∠ODE＝∠ADC﹣∠ADO＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝DE，AD＝OD，
∴DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝（180°﹣∠ODE）＝×（180°﹣30°）＝75°．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．
（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．
（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润＝90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．
解：（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，
由题意得：，
解得，
答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）设购进A种苹果m件，则购进B种苹果（80﹣m）件，
由题意得：28m+22（80﹣m）≤2000，
∴m≤40，
设利润为w元，则w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，
∵2＞0，
∴w随m的增大额增大，
∴当m＝40时，w最大值＝2×40+960＝1040．
故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．
（3）设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天利润为（12﹣a），
由题意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，
解得，a＝3或a＝7，
∵为了尽快减少库存，
∴a＝7，
34﹣7＝27，
答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）存在直线l，证明△ACO≌△DBO（ASA）得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA，进一步可求出N点坐标，再分情况讨论，即可求解．
解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），
∴，解得：，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
∴∠ACD＝∠EBO，
在Rt△ACO和Rt△DBO中，
，
∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），
∴OA＝OD，
解﹣x2+2x+3＝0，
得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴D（0，1），
由B（3，0），D（0，1）的坐标得，直线BD的解析式为：y＝﹣x+1；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，
∵抛物线对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴CC′＝2，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∴∠C′CB＝45°，
∵C′H⊥BC，CC′＝2，
∴C′H＝CH＝，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∴BH＝3＝2，
∴tan∠CBC′＝，
∵∠MBA＝∠CBC′，
∴tan∠MBA＝＝，
∴ON＝，
∴N（0，）或N（0，﹣），
当N（0，），如图：
由点B、N的坐标得，直线BN解析式为：y＝﹣x+，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，
解得：x＝﹣或3（舍去），
∴M的横坐标为﹣；
当N（0，﹣），如图：
同理可得，直线BN解析式为：y＝x﹣，
解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，
解得：x＝3（舍去）或﹣，
∴M的横坐标为﹣，
综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到全等三角形的性质和判定、待定系数法求函数解析式、勾股定理的运用等，具有一定的综合性，难度适中．
25．圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是 ③ （填序号）；
①矩形
②菱形
③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝3，且．
①当时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“雅系四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
（2）连接AC，交PD于点G，交BD于点E，利用相似三角形的判定与性质得到△APC∽△DPB，∠PAC＝∠PDB；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
（3）①设CE＝x，利用相似三角形的性质得到BE＝x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程即可求得x的值，进而利用相似三角形的性质求得AE的长，结论可求；
②设DC的长度为a，CE＝x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程，利用Δ≥0即可求得DC的最小值，利用（3）①中的方法求得x值，再利用相似三角形是性质和直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
解：（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是正方形．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD是“雅系四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，
故答案为：③；
（2）证明：连接AC，交PD于点G，交BD于点E，如图，
∵∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，
∴△APD∽△BPC，
∴，
∵∠APD＝∠BPC＝90°，
∴∠APD+∠DPC＝∠BPC+∠DPC，
即：∠APC＝∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴∠PAC＝∠PDB，
∵∠APD＝90°，
∴∠PAC+∠PGA＝90°，
∵∠PGA＝∠DGE，
∴∠PDB+∠DGE＝90°，
∴∠GED＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）解：①由（2）知：AC⊥BD与点E，
设CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x，
∵BD＝3，
∴DE＝3﹣x，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴x2+（3﹣x）2＝（2）2，
解得：x＝，
∵当x＝时，BE＝x＝＞3，不合题意，舍去；
∴x＝，
∴BE＝x＝2﹣，
∴DE＝BD﹣BE＝1+，
∵△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE＝DE＝，
∴AC＝AE+CE＝；
②设DC的长度为a，CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x，
∵BD＝3，
∴DE＝3﹣x，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴x2+（3﹣x）2＝a2，
∴3x2﹣6x+9﹣a2＝0．
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3（9﹣a2）≥0，
∴a2≥3，
∵a＞0，
∴a≥，
∴a有最小值，
即DC的长度最小值为，
∴x2+（3﹣x）2＝3，
解得：x＝，
∴CE＝，
∴BE＝2，
∴DE＝BD﹣BE＝1，
∴AE＝DE＝，
∴AC＝AE+CE＝2，
由（2）知：△APC∽△DPB，
∴＝＝．
在Rt△APD中，
tan∠ADP＝＝．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，一元二次方程根的判别式，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈．连续三天的客流强度，不是第二，就是第一．2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．302.1×104次 B．3.021×106人次
C．3.021×105人次 D．30.21×105人次
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4 B．5a2﹣3a2＝2a
C．（﹣a）3•a3＝a6 D．5a+2b＝7ab
5．如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若∠C＝50°，∠BDE＝55°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．105° D．110°
7．某中学体育节，有17名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前8名参加决赛．小雅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这17名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
8．如果点P（m，2﹣m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．﹣2＜m＜0 C．m＜0 D．m＞2
9．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x3﹣9x＝ ．
12．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝60°，则∠OBC的度数为 度．
13．分式方程的解为x＝ ．
14．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），则k＝ ．
15．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
16．将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|1﹣|﹣tan60°+（π﹣2023）0+（﹣）﹣1．
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC．求证：∠ACE＝∠DBF．
20．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别
听写正确的个数x
组中值
A
0≤x＜8
4
B
8≤x＜16
12
C
16≤x＜24
20
D
24≤x＜32
28
E
32≤x＜40
36
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了 名学生，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是多少度？
（3）该校共有2000名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
21．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）
22．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．
23．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
25．圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是 （填序号）；
①矩形
②菱形
③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝3，且．
①当时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可知．
解：根据倒数的定义，可知的倒数是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．
2．今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈．连续三天的客流强度，不是第二，就是第一．2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．302.1×104次 B．3.021×106人次
C．3.021×105人次 D．30.21×105人次
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：302.1万＝3021000＝3.021×106．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，垂直平分线的一点到线段两端距离相等，即可求解．
【解答】因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA＝PB＝6，即PB的长度为6．故选：C．
【点评】掌握线段的垂直平分线的性质即可求解．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4 B．5a2﹣3a2＝2a
C．（﹣a）3•a3＝a6 D．5a+2b＝7ab
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a6÷a2＝a4，故A符合题意；
B、5a2﹣3a2＝2a2，故B不符合题意；
C、（﹣a）3•a3＝﹣a6，故C不符合题意；
D、5a与2b不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解：从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形，
共5个正方形，面积为5．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若∠C＝50°，∠BDE＝55°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．105° D．110°
【分析】由平行线的性质可得∠EDC＝50°，从而可求∠CDB的度数．
解：∵DE∥AC，∠C＝50°，
∴∠EDC＝∠C＝50°，
∵∠BDE＝55°，
∴∠CDB＝∠EDC+∠BDE＝105°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
7．某中学体育节，有17名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前8名参加决赛．小雅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这17名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有17名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
解：17个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有9个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数，极差，平均数，方差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．如果点P（m，2﹣m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．﹣2＜m＜0 C．m＜0 D．m＞2
【分析】根据第四象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之即可得出答案．
解：由题意知，
解得m＞2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC的长．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4；
∴AC＝AB＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质．
10．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断可求解．
解：（1）由图象与x轴有两个交点可判别，①正确；
（2）开口向下则a＜0，对称轴“左同右异”则b＜0，与y轴交于正半轴则c＞0，则abc＞0，②错误；
（3）由对称轴x＝﹣1可得b＝2a，则2a+b﹣c＝4a﹣c，由a＜0，c＞0可知4a﹣c＜0，③错误；
（4）当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，④错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
12．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝60°，则∠OBC的度数为 30 度．
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝120°，根据等腰三角形性质求出∠OBC＝∠OCB，在△BOC中，根据三角形的内角和定理求出即可．
解：∵弧BC对的圆心角是∠BOC，对的圆周角是∠A，∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠OBC＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是求出∠BOC的度数，题目比较典型，难度不大．
13．分式方程的解为x＝ 1 ．
【分析】观察可得最简公分母为x（x+1）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
解：方程两边同乘x（x+1），
得x+1＝2x，
解得x＝1．
将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．
所以x＝1是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
14．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），则k＝ 6 ．
【分析】由反比例函数解析式知k＝xy，所以把点（﹣2，﹣3）代入k＝xy即可求得k的值．
解：由，得
k＝xy，
∵反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），
∴k＝（﹣2）×（﹣3）＝6．
故答案是：6．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
15．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝0且k≠0，
解得：k＝1，
∴k的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16．将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球数字不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球数字不同的结果有（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共6种，
∴两次摸出的小球数字不同的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|1﹣|﹣tan60°+（π﹣2023）0+（﹣）﹣1．
【分析】逐一算出每一项，求值即可得出答案．
解：原式＝﹣1﹣+1+（﹣2）
＝﹣2．
【点评】这题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊的三角函数值，要求学生熟记相关运算法则．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
解：÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝，
当x＝2+时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC．求证：∠ACE＝∠DBF．
【分析】因为EA⊥AD，FD⊥AD，AB＝DC，AE＝DF，所以△EAC≌△FDB，则∠ACE＝∠DBF．
【解答】证明：∵AB＝DC，BC＝BC，
∴AC＝DB．
∵EA⊥AD，FD⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
又∵AE＝DF，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
∴∠ACE＝∠DBF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明角、边相等常常运三角形全等来证明．
20．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别
听写正确的个数x
组中值
A
0≤x＜8
4
B
8≤x＜16
12
C
16≤x＜24
20
D
24≤x＜32
28
E
32≤x＜40
36
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了 100 名学生，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是多少度？
（3）该校共有2000名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
【分析】（1）根据“B组”的频数和所占的百分比，利用频率＝，即可求出调查人数，进而求出“D组”的频数和“E组”的频数，再补全条形统计图即可；
（2）“E组”占调查人数的20%，因此相应的圆心角度数占360°的20%，计算即可；
（3）求出“不合格”所占的百分比即可估计总体中“不合格”的人数．
解：（1）本次共随机抽查了学生15÷15%＝100（名），
“D组”的频数为：100×30%＝30（名），“E组”的频数为：100×20%＝20（名），
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是360°×20%＝72°；
（3）2000×＝320（名），
答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数大约为320名．
【点评】本题考查频数分布表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）
【分析】（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．
解：（1）如图，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∴2AD2＝AB2＝（4）2，
解得：AD＝4（米）．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（米）．
即新传送带AC的长度约为8米；
（2）货物MNQP不需要挪走．
理由：在Rt△ABD中，BD＝AD＝4（米）．
在Rt△ACD中，CD＝＝4（m）．
∴CB＝CD﹣BD＝4﹣4≈2.8（m）．
∵PC＝PB﹣CB≈5﹣2.8＝2.2＞2，
∴货物MNQP不需要挪走．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
22．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得BD＝2OB，再证AC＝BD，即可得出结论；
（2）先证DA＝DE，再证△AOD是等边三角形，得∠ADO＝60°，然后求出∠ODE＝30°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OB，
∵AC＝2OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，OA＝OD，BD＝2OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵BD＝2AD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∴∠ODE＝∠ADC﹣∠ADO＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝DE，AD＝OD，
∴DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝（180°﹣∠ODE）＝×（180°﹣30°）＝75°．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．
（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．
（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润＝90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．
解：（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，
由题意得：，
解得，
答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）设购进A种苹果m件，则购进B种苹果（80﹣m）件，
由题意得：28m+22（80﹣m）≤2000，
∴m≤40，
设利润为w元，则w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，
∵2＞0，
∴w随m的增大额增大，
∴当m＝40时，w最大值＝2×40+960＝1040．
故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．
（3）设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天利润为（12﹣a），
由题意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，
解得，a＝3或a＝7，
∵为了尽快减少库存，
∴a＝7，
34﹣7＝27，
答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）存在直线l，证明△ACO≌△DBO（ASA）得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA，进一步可求出N点坐标，再分情况讨论，即可求解．
解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），
∴，解得：，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
∴∠ACD＝∠EBO，
在Rt△ACO和Rt△DBO中，
，
∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），
∴OA＝OD，
解﹣x2+2x+3＝0，
得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴D（0，1），
由B（3，0），D（0，1）的坐标得，直线BD的解析式为：y＝﹣x+1；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，
∵抛物线对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴CC′＝2，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∴∠C′CB＝45°，
∵C′H⊥BC，CC′＝2，
∴C′H＝CH＝，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∴BH＝3＝2，
∴tan∠CBC′＝，
∵∠MBA＝∠CBC′，
∴tan∠MBA＝＝，
∴ON＝，
∴N（0，）或N（0，﹣），
当N（0，），如图：
由点B、N的坐标得，直线BN解析式为：y＝﹣x+，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，
解得：x＝﹣或3（舍去），
∴M的横坐标为﹣；
当N（0，﹣），如图：
同理可得，直线BN解析式为：y＝x﹣，
解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，
解得：x＝3（舍去）或﹣，
∴M的横坐标为﹣，
综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到全等三角形的性质和判定、待定系数法求函数解析式、勾股定理的运用等，具有一定的综合性，难度适中．
25．圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是 ③ （填序号）；
①矩形
②菱形
③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝3，且．
①当时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“雅系四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
（2）连接AC，交PD于点G，交BD于点E，利用相似三角形的判定与性质得到△APC∽△DPB，∠PAC＝∠PDB；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
（3）①设CE＝x，利用相似三角形的性质得到BE＝x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程即可求得x的值，进而利用相似三角形的性质求得AE的长，结论可求；
②设DC的长度为a，CE＝x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程，利用Δ≥0即可求得DC的最小值，利用（3）①中的方法求得x值，再利用相似三角形是性质和直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
解：（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是正方形．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD是“雅系四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，
故答案为：③；
（2）证明：连接AC，交PD于点G，交BD于点E，如图，
∵∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，
∴△APD∽△BPC，
∴，
∵∠APD＝∠BPC＝90°，
∴∠APD+∠DPC＝∠BPC+∠DPC，
即：∠APC＝∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴∠PAC＝∠PDB，
∵∠APD＝90°，
∴∠PAC+∠PGA＝90°，
∵∠PGA＝∠DGE，
∴∠PDB+∠DGE＝90°，
∴∠GED＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）解：①由（2）知：AC⊥BD与点E，
设CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x，
∵BD＝3，
∴DE＝3﹣x，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴x2+（3﹣x）2＝（2）2，
解得：x＝，
∵当x＝时，BE＝x＝＞3，不合题意，舍去；
∴x＝，
∴BE＝x＝2﹣，
∴DE＝BD﹣BE＝1+，
∵△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE＝DE＝，
∴AC＝AE+CE＝；
②设DC的长度为a，CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x，
∵BD＝3，
∴DE＝3﹣x，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴x2+（3﹣x）2＝a2，
∴3x2﹣6x+9﹣a2＝0．
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3（9﹣a2）≥0，
∴a2≥3，
∵a＞0，
∴a≥，
∴a有最小值，
即DC的长度最小值为，
∴x2+（3﹣x）2＝3，
解得：x＝，
∴CE＝，
∴BE＝2，
∴DE＝BD﹣BE＝1，
∴AE＝DE＝，
∴AC＝AE+CE＝2，
由（2）知：△APC∽△DPB，
∴＝＝．
在Rt△APD中，
tan∠ADP＝＝．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，一元二次方程根的判别式，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
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