2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A. x2+2x=x2-1B. ax2+bx+c=0
C. 3(x+1)2=2(x+1)D. 1x2+1x-2=0
一元二次方程x2+3x=0的解是( )
A. x=-3B. x1=0，x2=3
C. x1=0，x2=-3D. x=3
下列一元二次方程中，没有实数根的方程是( )
A. x2-3x+1=0B. x2+2x-1=0C. x2-2x+1=0D. x2+2x+3=0
解方程(5x-1)2=3(5x-1)的适当方法是( )
A. 开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法
已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<-2B. k<2C. k>2D. k<2且k≠1
函数y=-2(x-3)2+6的顶点坐标是( )
A. (-3,6)B. (3,-6)C. (3,6)D. (6,3)
下列图案中，可以看作是中心对称图形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
下列说法错误的是( )
A. 二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
B. 二次函数y=-6x2中，当x=0时，y有最大值0
C. a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
若A(-2,y1)，B(-1,y2)，C(-3,y3)为二次函数y=ax2(a<0)的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是( )
A. y=(x+1)2-1
B. y=(x+1)2+1
C. y=(x-1)2+1
D. y=(x-1)2-1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
把函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是______．
若二次函数y=mx2+x+m(m-2)的图象经过原点，则m的值为 ．
在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握手28次，设共有x名同学参加聚会，则所列方程为______ ，x= ______ ．
如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是CD的中点，将△ADE绕点A顺时针方向旋转能与△ABF重合，则EF=______．
二次函数y=(x-1)2+3的最小值为______．
对于二次函数y=ax2(a≠0)，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
解下列一元二次方程．
(1)(3x+2)2=25；
(2)2x2-3x+2=0．
一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，且x12+x22=1，求k的值是多少？
汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，到2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．
(1)求该公司2014年盈利多少万元？
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°；
(1)请说明∠EAB=∠FAC的理由；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
已知关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
若抛物线的顶点坐标是A(1,16)，并且抛物线与x轴一个交点坐标为(5,0)．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标．
如图，已知二次函数y=-12x2+bx-6的图象与x轴交于一点A(2,0)，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
(1)当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品，商场获得的日盈利是多少？
(2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？(提示：盈利=售价-进价)
已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A(-1,-1)和点B(3,-9)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2求该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)点C(m,m)在该函数图象上(其中m>0)，求m的值；
(4)在(3)的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PB的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、x2+2x=x2-1是一元一次方程，故A错误；
B、ax2+bx+c=0，a=0时是一元一次方程，故B错误；
C、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故C正确；
D、1x2+1x-2=0是分式方程，故D错误；
故选：C．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】C
【解析】解：x2+3x=0，
x(x+3)=0，
x=0，x+3=0，
x1=0，x2=-3，
故选：C．
分解因式得到x(x+3)=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、△=b2-4ac=9-4=5>0，
∴方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根；
B、△=b2-4ac=4+4=8>0，
∴方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根；
C、△=b2-4ac=4-4=0，
∴方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根；
D、△=b2-4ac=4-12=-8<0，
∴方程x2+2x+3=0没有实数根．
故选D．
根据根的判别式△=b2-4ac，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
本题考查了根的判别式，熟练掌握当△=b2-4ac<0时方程没有实数根是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：(5x-1)2=3(5x-1)
(5x-1)2-3(5x-1)=0，
(5x-1)(5x-1-3)=0，
即用了因式分解法，
故选D．
移项后提公因式，即可得出选项．
本题考查了对解一元二次方程的解法的应用．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得：△=b2-4ac=4-4(k-1)=8-4k>0，且k-1≠0，
解得：k<2，且k≠1．
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：二次函数y=-2(x-3)2+6的顶点坐标是(3,6)．
故选C．
根据二次函数的性质直接求解．
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】
解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
综上所述，看作是中心对称图形的有3个．
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：A、二次函数y=3x2图象开口向上，对称轴是y轴，当x>0时，y随x的增大而增大，正确；
B、二次函数y=-6x2中开口向下，顶点(0,0)，故当x=0时，y有最大值0，正确；
C、|a|越大，图象开口越小，|a|越小图象开口越大，错误；
D、抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，正确．
故选C．
抛物线y=ax2(a≠0)是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；开口大小与|a|有关．
此题考查了二次函数的性质：增减性(单调性)，最值，开口大小以及顶点坐标．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键，由a<0可得出：当x<0时，y随x的增大而增大．再结合-3<-2<-1即可得出结论．
【解答】
解：∵二次函数y=ax2中a<0，
∴当x<0时，y随x的增大而增大，
∵-3<-2<-1，
∴y3故选C．

10.【答案】C
【解析】解：∵A在直线y=x上，
∴设A(m,m)，
∵OA=2，
∴m2+m2=(2)2，
解得：m=±1(m=-1舍去)，
m=1，
∴A(1,1)，
∴抛物线解析式为：y=(x-1)2+1，
故选：C．
首先根据A点所在位置设出A点坐标为(m,m)再根据AO=2，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．
此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．
11.【答案】y=2(x-3)2-2
【解析】解：y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得y=2(x-3)2-2.故填得到的二次函数解析式是y=2(x-3)2-2．
按照“左加右减，上加下减”的规律．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
12.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．本题中已知二次函数经过原点(0,0)，因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m(m-2)=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
【解答】
解：根据题意得：m(m-2)=0，
∴m=0或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，
∴m=2．
故答案为2．
13.【答案】x(x-1)=28×2；8
【解析】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手(x-1)次，
∴可列方程为x(x-1)=28×2，
解得x1=8，x2=-7(不合题意，舍去)．
∴x=8．
故答案为：x(x-1)=28×2；8．
每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数×(学生数-1)=总握手次数×2，把相关数值代入即可求解．
本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，E是CD的中点，
∴AD=AB=2，DE=1，∠D=90°，∠DAB=90°，
∴AE=AD2+DE2=22+12=5，
∵将△ADE绕点A顺时针方向旋转能与△ABF重合，
∴∠FAE=∠BAD=90°，FA=EA=5，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=2AE=2×5=10．
故答案10．
根据正方形的性质得到AD=AB=2，DE=1，∠D=90°，∠DAB=90°，利用勾股定理可计算出AE=5，由于将△ADE绕点A顺时针方向旋转能与△ABF重合，根据旋转的性质得∠FAE=∠BAD=90°，FA=EA=5，则△AEF为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形即可得到EF=2AE=2×5=10．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理、正方形与等腰直角三角形的性质．
15.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据顶点式得到它的顶点坐标是(1,3)，再根据其a>0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．
【解答】
解：二次函数的解析式为y=(x-1)2+3，
根据二次函数的性质可知，抛物线开口向上，对称轴为x=1，
∴当x=1时，二次函数y=(x-1)2+3有最小值，最小值为3．
16.【答案】0
【解析】解：二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∵x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
∴x1，x2关于y轴对称，
∴x1+x2=0，
∴当x取x1+x2时，函数值为0．
故答案为：0．
判断出二次函数图象对称轴为y轴，再根据二次函数的性质判断出x1，x2关于y轴对称，然后解答即可．
本题考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出x1，x2关于y轴对称是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(3x+2)2=25，
∴3x+2=±5，
∴x1=1，x2=-73；
(2)2x2-3x+2=0，
∵a=2，b=-3，c=2，
∴Δ=(-3)2-4×2×2=-7<0，
∴此方程无实数解．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用根的判别式即可判断方程无实数解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.【答案】解：∵方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=-k，x1x2=k+1，
∵x12+x22=1，即(x1+x2)2-2x1x2=1，
∴k2-2(k+1)=1，解得：k=-1或k=3，
当k=-1时，方程为x2-x=0，解得：x=0或x=1；
当k=3时，方程为x2+3x+4=0，方程无解，
∴k=-1．
【解析】利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意进行取舍．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1500(1+x)2=2160，
解得x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)，
则1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800．
答：该公司2014年盈利1800万元．
(2)2160×(1+0.2)=2592(万元)．
答：预计2016年盈利2592万元．
【解析】(1)需先算出从2013年到2015年，每年盈利的年增长率，然后根据2013年的盈利，算出2014年的利润；
(2)相等关系是：2016年盈利=2015年盈利×(1+每年盈利的年增长率)．
本题的关键是需求出从2013年到2015年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2013年盈利×(1+年增长率)2=2015．
20.【答案】解：(1)∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，
∴∠BAE=∠CAF；
(2)通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
(3)由(1)知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，
∴∠AMB=∠C+∠CAF=57°+25°=82°．
【解析】(1)先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF；
(2)通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
(3)由(1)知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．
本题考查了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．
21.【答案】解：(1)根据题意得4(k-1)2-4(k2-1)>0，
解得k<1；
(2)0可能是方程的一个根．
设方程的另一个根为t，
因为0⋅t=k2-1，解得k=1或k=-1，
而k<1，
所以k=-1，
因为0+t=-2(k-1)=-2(-1-1)，
所以t=4，
即方程的另一个根为4．
【解析】(1)利用判别式的意义得4(k-1)2-4(k2-1)>0，然后解不等式即可；
(2)设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到0⋅t=k2-1，解得k=1或k=-1，利用k<1得到k=-1，然后利用根与系数的关系可确定方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
22.【答案】解：(1)设抛物线解析式y=a(x-1)2+16(a≠0)．
把(5,0)代入，得
a(5-1)2+16=0，
解得a=-1．
故该抛物线解析式为：y=-(x-1)2+16；
(2)由(1)知，该抛物线的关系式为y=-(x-1)2+16，即y=-x2+2x+15；
将y=10代入，得：-x2+2x+15=10；
解得x1=1+6，x2=1-6；
∴这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标为坐标为(1+6,0)(1-6,0)
【解析】(1)设抛物线解析式为顶点式y=a(x-1)2+16，把点(5,0)代入，即利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)根据抛物线解析式可求出抛物线上纵坐标为10的点的坐标．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了根与系数的关系，难度不大，属于中档题．
23.【答案】解：将A(2,0)代入函数y=-12x2+bx-6，
得：0=-2+2b-6，解得：b=4，
∴二次函数解析式为y=-12x2+4x-6．
当x=0时，y=-6，
∴B(0,-6)，
抛物线对称轴为x=-b2a=4，
∴C(4,0)，
∴S△ABC=12AC⋅OB=12×(4-2)×6=6．
【解析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式即可找出抛物线的对称轴，从而得出点C的坐标，再将x=0代入二次函数解析式求出点B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，
即170-130=40(元)，
则每天可销售商品30件，即70-40=30(件)，
商场可获日盈利为(170-120)×30=1500(元)．
答：每天可销售30件商品，商场获得的日盈利是1500元．
(2)设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x元，
则每件商品比130元高出(x-130)元，每件可盈利(x-120)元
每日销售商品为70-(x-130)=200-x(件)
依题意得方程(200-x)(x-120)=1600
整理，得x2-320x+25600=0，即(x-160)2=0
解得x=160
答：每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．
【解析】(1)首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利．
(2)设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．
解与变化率有关的实际问题时：(1)注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；
(2)可直接套公式：原有量×(1+增长率)n=现有量，n表示增长的次数．
25.【答案】解：(1)将A(-1,-1)，B(3,-9)代入，
得a+4+c=-19a-12+c=-9，
∴a=1，c=-6，
∴y=x2-4x-6；
(2)∵y=x2-4x-6=(x-2)2-10，
∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,-10)；
(3)∵点P(m,m)在函数图象上，
∴m2-4m-6=m，
∴m=6或-1．
∵m>0，
∴m=6．
(3)存在．如图，由(3)可知C(6,6)，作点B关于对称轴的对称点B'(1,-9)，连接CB'与对称轴的交点即为所求的点P．

设直线CB'的解析式为y=kx+b，把A、B代入得到6k+b=6k+b=-9，
解得k=3b=-12，
∴直线CB'的解析式为y=3x-12，
∴P(2,-6)．
∴当点P坐标为(2,-6)时，PB+PC最小．
【解析】(1)由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和c的二元一次方程组，解得a和c，可写出二次函数解析式；
(2)化成顶点是，即可求得出其对称轴和顶点坐标；
(3)把点的坐标代入可求得m的值．
(4)存在．如图，由(2)可知C(6,6)，作点B关于对称轴的对称点B'(1,-9)，连接CB'与对称轴的交点即为所求的点P.求出直线CB'的解析式即可解决问题．
本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考压轴题．