2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各曲线中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”每年月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为米，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，为的中点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，一次函数与一次函数的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列说法中不正确的是(    )

A. 矩形的对角线互相垂直且相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 正方形的对角线相等

9.  我国古代数学著作九章算术记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是(    )

A. 一直增大 B. 不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  函数的自变量的取值范围是______．

13.  如图，在▱中，，对角线与相交于点，，则的周长为          ．
 

14.  平面直角坐标系中，点到原点的距离是          ．

15.  对于非零实数，，规定若，则的值为______ ．

16.  如图，在四边形中，，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
已知关于的一次函数．
若一次函数的图象过原点，求实数的值；
当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数的取值范围．

20.  本小题分
今年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词周年为深入贯彻落实党的二十大精神，大力弘扬宣传雷锋精神，某学校举行了以“传承雷锋精神，争当追锋少年”为主题的知识竞赛活动，竞赛满分为分，学生成绩平均在分以上，将成绩分、分、分、分，分别定为，，，四个等级学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制统计图，请回答下列问题：
学校随机抽取的学生人数为______ ；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为______ 度；
如果该校共有学生人，且规定等级为、的为优秀，请估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有多少人？
 

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴相交于点，与过点的一次函数的图象相交于点．
求一次函数图象相应的函数表达式；
求的面积．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

23.  本小题分
月日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．
，两类图书每本的进价各是多少元？
该书店计划购进，两类图书共本，且类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”．
求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标；
证明：无论为何值，函数为常数的图象总经过一个确定的“吉祥点”；
若直线：与直线，直线分别交于点，，直线与直线交于点记线段，，围成的区域不含边界为若区域内没有“吉祥点”，直接写出的取值范围．

25.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，．
求点的坐标；
把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求四边形的周长；
若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而增大．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
为的中点，
，
，
故选：．
先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等边对等角，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
关于的不等式的解集是．
故选：．
直接根据一次函数的图象即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形，，
，
，
，，，
，
，
，
，，
故选：．
根据直角三角形的性质得出，的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：、矩形的对角线互相平分且相等，故A错误．
B、平行四边形的对角线互相平分，故B正确．
C、四条边相等的四边形是菱形，故C正确．
D、正方形的对角线相等，故D正确．
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可判断．
本题考查平行四边形，解题的关键正确理特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：设芦苇长尺，由题意得：
，
故选：．
首先设芦苇长尺，则为水深为尺，根据勾股定理可得方程．
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，，
，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：．
连接，先判断四边形是矩形，得，再由垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点从点出发，沿着匀速向终点运动，线段的值大小变化情况．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】
解：根据题意得，，
解得．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分，属于基础题．
根据平行四边形对角线互相平分，求出的长，即可解决问题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理，得
故答案为．
此题考查了勾股定理以及与原点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理直接计算即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，解得，
经检验是分式方程的根．
故答案为：．
根据题意得出关于的方程，求出的值即可．
本题考查的是实数的运算，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：预备知识：平行线四边形两对角线长的平方和等于四边长的平方和．
如图已知四边形是平行四边形，
求证：．
证明：作于，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，
；
解决问题：如图，连接，，，，
，分别是，中点，
是的中位线，
，
同理，，，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质，勾股定理可以证明：平行线四边形的两对角线长的平方和等于四边长的平方和；连接，，，，由三角形中位线定理推出四边形是平行四边形，由上面的结论即可求解．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，勾股定理，平行四边的性质，关键是掌握三角形中位线定理，平行线四边形两对角线长的平方和等于四边长的平方和．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】解：先计算负整数指数幂、零次幂和乘方，再化简绝对值，最后加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】解：把原点代入，得
解得；

由题意，得．
解得． 

【解析】把代入函数解析式求得的值即可；
由一次函数图象与系数的关系解答．
考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
，的图象在一、二、三象限；
，的图象在一、三、四象限；
，的图象在一、二、四象限；
，的图象在二、三、四象限．
 

20.【答案】   

【解析】解：一共调查学生人数为人，
故答案为：；
等级人数为人，
补全条形统计图如下：

在扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
人，
答：估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的大约有人．
由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
总人数减去已知等级人数求出等级人数即可补全图形；
用乘“”等级所占比例即可；
总人数乘以样本中、等级人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出被调查的总人数，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：点在一次函数的图象上，
，
点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入，
得，
解得，
一次函数图象相应的函数表达式；
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，解得，
，
，，
，
． 

【解析】本题考查了两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，掌握待定系数法是解题的关键．
把点代入即可求得的值，根据待定系数法即可求解；
求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
 

22.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元；
设购进类图书本，获得利润为元，
根据题意得：，
类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，
，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：该书店购进类图书本，类图书本时所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，根据购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元列出方程组，解方程组即可；
设购进类图书本，获得利润为元，根据书店所获总利润，两类书的利润之和列出函数解析式，再根据类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的求出自变量取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出函数解析式和二元一次方程组．
 

24.【答案】解：是整数，时，是一个无理数，
时，不是整数，
时，，
即函数的图象上“吉祥点”的坐标是；
，
当时，，
无论为何值，函数为常数的图象总经过一个确定的“吉祥点”；
由题意，点的横坐标判断出点始终直线的右侧也就是直线在直线的右侧，点的左侧，
当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；
当时，内点的横坐标在到之间，故时内无整点；
当时，内可能存在的整数点横坐标只能为，此时边界上两点坐标为和，；
当不为整数时，其上必有整点，但时，只有两个边界点为整点，故内无整点；
当时，横坐标为的边界点为和，线段长度为，故必有整点．
综上所述：或时，内没有整数点． 

【解析】根据题意和“吉祥点”的定义可以解答本题；
先将一次函数解析式变形为，即可确定“吉祥点”；
当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当时，内点的横坐标在到之间，故时内无整点；当时，内可能存在的整数点横坐标只能为，此时边界上两点坐标为和；当不为整数时，其上必有整点，但时，只有两个边界点为整点，故内无整点；当时，横坐标为的边界点为和，线段长度为，故必有整点．
本题考查一次函数图象与系数的关系和一次函数图象上点的坐标特征，能够数形结合解题，根据变化分析区域内整数点的情况是解题的关键．
 

25.【答案】解：在直角中，，，
，
则，
故B的坐标是；
折叠
直线是的中垂线，，
四边形是菱形，
，
设，
则，
在中，

解得：，
即，
四边形的周长；
，
直线的斜率是：．
与轴夹角是，
当是菱形的边时如图，，
则或．
当时，过作轴，则，
，则的坐标是；
当时，与当时关于原点对称，则坐标是；
当是对角线时如图，关于对称．
的坐标是，
，
在直角中，，．
作轴于点．
在直角中，，
则，
．
故的坐标是．
当与轴的交点时，这个时候在第四象限，
此时点的坐标为：．
则的坐标是：或或或． 

【解析】利用勾股定理求得的长度，则点的坐标即可得到；
根据折叠得直线是的中垂线，，从而得四边形是菱形，利用勾股定理得的，从而求得四边形的周长；
分当是菱形的边和当是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得的坐标．
本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中对于的位置的讨论是关键．