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2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 16的结果是( )
A. 8 B. 16 C. 4 D. ±4
2. 若二次根式 3−a有意义，则a的取值范围是( )
A. a>3 B. a≥3 C. a≤3 D. a≠3
3. 下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为( )
(1)y=−0.1x；
(2)y=x2；
(3)y=2x2；
(4)y2=4x．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=7，b=24，c=25 B. a= 41，b=4，c=5
C. a=54，b=1，c=34 D. a=40，b=50，c=60
5. 下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
6. 开学前，根据学校防疫要求，某同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：这14天中，该同学体温的众数和中位数分别为( )
体温(℃)
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数(天)
3
3
4
2
2
A. 36.6℃，36.4℃ B. 36.5℃，36.5℃
C. 36.8℃，36.4℃ D. 36.8℃，36.5℃
7. 关于y是x的一次函数y=kx+b2+1(其中k<0，b为任意实数)的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC于C点，AC、BD交于O点，则▱ABCD的面积为( )
A. 80 B. 40 C. 48 D. 24
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 22.5° D. 60°
10. 已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本3x1+3，3x2+3，3x3+3，…，3xn+3的方差是( )
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个大于2而小于4的无理数______．
12. 一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为______ ．
13. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是______分．
14. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=______．
15. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若数y=|2x+b|(b为常数)与直线y=2有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是______ ．
①△AOB的面积总为2；
②若函数y=|2x+b|(b为常数)图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0
16. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，E点是B点关于CD所在直线的对称点，连AE，CE、DE，若AB=4，BC=3，则AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算2 12−6 13+3 48；
(2)已知一次函数的图象经过点(9,0)和点(24,20)，求此一次函数解析式．
18. (本小题8.0分)
在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______ ，图①中m的值为______ ；
(2)求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
(3)若该校有1000名学生，则估计参加活动不低于2项的学生大约有多少人？
19. (本小题8.0分)
已知等腰三角形周长为20
(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)；
(2)写出自变量的取值范围；
(3)在直角坐标系中，画出函数图象。
20. (本小题8.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)直接写出三角形AOB的面积与四边形ABCD的面积比，即S△AOBS四边形ABCD的比值．
21. (本小题8.0分)
如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的四个顶点都在格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
(1)画格点E，并连AE，使AE=AB，且AE⊥AB；
(2)在线段DC上找一点F，连AF，使∠BAF=45°；
(3)直接写出(2)中线段CF的长度．
22. (本小题10.0分)
A城有肥料200t，B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240t.D乡需要肥料260t.怎样调运可使总费用最少？
23. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是BC边上一点，N是AC延长线上一点，CM=CN．
(1)求证AM⊥BN；
(2)如图2，延长AM交BN于D点，连CD，当M点在BC上运动(不与B、C点重合)时，试探究线段AD、BD、CD间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由．
(3)如图3，延长AM交BN于D，过B作CD的垂线，垂足为E，若AC=2，CN=1，直接写出CE的长．
24. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线m的解析式为y=−2x−2，交x、y轴于A、B点．
(1)直接写出A、B点坐标；
(2)一条过定点D(−1,1)的直线n分别交直线m和x轴于P、Q点，如图2；
①是否存在Q点，使D正好为PQ中点，若存在，请求Q点坐标；
②若∠APD=45°，则求直线PQ的解析式；
(3)若直线m上有点E(−2,2)，则当E点到过定点D(−1,1)的直线PQ的距离最大时，直接写出直线PQ的解析式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 16=4，
故选：C．
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
3−a≥0，解得a≤3，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：(1)y=−0.1x，是正比例函数；
(2)y=x2，是正比例函数；
(3)y=2x2，是二次函数，不是正比例函数；
(4)y2=4x不是正比例函数；
故选：B．
根据正比例函数的定义：形如y=kx(k是常数且k≠0)，即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、42+52=( 41)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、12+(34)2=(54)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
5.【答案】C
【解析】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．
B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．
C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；
故选：C．
A、根据正方形的判定方法进行判断；
B、根据平行四边形的判定方法判断即可；
C、根据平行四边形的判定方法判断即可；
D、根据菱形的判定方法进行判断．
本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
6.【答案】B
【解析】解：由统计表可知，
众数为36.5℃，
中位数为：36.5+36.52=36.5(℃)．
所以这14天中，该同学体温的众数和中位数分别为36.5℃，36.5℃．
故选：B．
应用众数和中位数的定义进行计算即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵k<0，
∴一次函数y=kx+b2+1的图象经过第二、四象限．
又∵b2+1>0时，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交于正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
8.【答案】C
【解析】解：平行四边形ABCD中AD=8，
∴BC=AD=8，
∵AC⊥BC，AB=10，
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∴▱ABCD的面积为BC⋅AC=6×8=48，
故选：C．
利用勾股定理求得AC的长，然后用底成高求得面积即可．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的面积计算方法，难度不大．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°−67.5°=22.5°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴CE=12AB=AE，
∴∠ECA=∠A=22.5°，
∴∠ECD=∠ACD−∠ECA=67.5°−22.5°=45°，
故选：B．
根据题意分别求出∠ACD和∠BCD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CE=AE，得到∠ECA=∠A=22.5°，计算即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵样本x1，x2，…，xn的方差是1，
∴样本3x1+3，3x2+3，3x3+3，…，3xn+3的方差是32×1=9；
故选：D．
根据方差的变化规律当数据都加上一个数时，方差不变，当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，即可得出答案．
本题考查了方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍．
11.【答案】 7、 8、39、π…
【解析】解：∵2= 4，4= 16，
∴写出一个大于2小于4的无理数是 7、 8、39、π…．
故答案为： 7、 8、39、π…(只要是大于 4小于 16无理数都可以)等，本题答案不唯一．
根据算术平方根的性质可以把2和4写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，
∴4+5+6+a+b=5×5，
∴a+b=10，
∴a、b的平均数为：10÷2=5，
故答案为：5．
首先求得a、b的和，再求出a、b的平均数即可．
本题考查了算术平均数的计算方法，牢记公式是解题的关键．
13.【答案】87.4
【解析】解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%=87.4(分)，
故答案为：87.4．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
14.【答案】245
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到12⋅AC⋅BD=DH⋅AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD，
S菱形ABCD=DH⋅AB，
∴DH⋅5=12×6×8，
∴DH=245．
故答案为245．
15.【答案】①②③
【解析】解：①把y=2代入y=|2x+b|(b为常数)得，2=|2x+b|，
解得x=2−b2或x=−2−b2，
∴A(2−b2,0)，B(−2−b2,0)，
∴AB=2，
∴S△AOB=12AB×2=2，故①正确；
②当x=3时，6+b≥2，b≥−4；
当x=0时，−b≥2即b≤−2，
∴b的取值范围为−4≤b≤−2.故②正确；
③由y=23xy=2x−4，解得x=3y=2，
由y=23xy=−2x+4，解得x=32y=1，
∴直线y=23x与函数y=|2x−4|的交点为(32,1)，(3,2)，
∴则23x>|2x−4|的解集为32
∴正比例函数y=kx(k≠0)与y=|2x+b|(b为常数)的图象只有一个公共点，则k>2或−2
求得A、B的坐标，即可得出AB=2，利用三角形面积公式求得△AOB的面积即可判断①；根据x满足0
16.【答案】 58
【解析】解：连接AC，如图所示，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M，连接ME，
∴∠ACM=90°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴AC=CM，
∴∠ACD=∠DCM=45°，
∵E点是B点关于CD所在直线的对称点，
∴∠BCD=∠ECD，CE=BC=3，
∴∠BCD−∠ACD=∠ECD−∠DCM，
∴∠BCA=∠ECM，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴AC=5，
过点E作CN⊥EN交AC延长线于点N，CM⊥EF于F，
∴四边形CNEF是矩形，
∴CN=EF，
∵CE=BC=3，∠BCA=∠ECM，AC=CM，
∴△BCA≌△ECM(SAS)，
∴EM=AB=4，
∴S△CEM=12CE×EM=12×3×4=6=12CM×EF，
∴12×5×EF=6，解得：EF=125，
∴CN=EF=125，
∴NE2=CE2−CN2=8125，AN=AC+CN=375，
∴AE= AN2+NE2= 58，
故答案为： 58．
连接AC，过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M，连接ME，根据条件可证明△ADC、△ACM是等腰直角三角形，再根据E点是B点关于CD所在直线的对称点，可得∠BCA=∠ECM，过点E作EN⊥CA于N，EF⊥CM于F，可得四边形CNEF是矩形，证明△BCA≌△ECM(SAS)，用等面积法即可求出答案．
本题考查了几何问题，难度较大，涉及到矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．
17.【答案】解：(1)原式=4 3−2 3+12 3
=14 3；
(2)设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，把(9,0)和(24,20)分别代入解析式，得
9k+b=0 24k+b=20 ，
∴k=43 b=−12 ，
则该函数的解析式为y=43x−12．
【解析】(1)先化简，在合并同类二次根式即可得答案；
(2)设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将(9,0)和(24,20)分别代入解析式，组成关于k、b的方程组，解方程组即可．
此题主要考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．
18.【答案】40 10
【解析】解：(1)本次接受调查的学生人数为18÷45%=40(人)，
∵m%=440×100%=10%，
∴m=10．
故答案为：40，10；
(2)这组数据的平均数为1×13+2×18+3×5+4×440=2，
∵这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据是众数是2，
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间位置的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2+22=2；
答：平均数是2、众数是2，中位数是2；
(3)1000×18+5+440=675(元)，
答：估计参加活动不低于2项的学生大约有675人．
(1)根据参与2次的学生人数和百分比求出总人数，再根据百分比的定义求m即可；
(2)根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式是 y=−2x+20；
(2)由两腰的和小于周长，两边之和大于第三边得2x<202x>−2x+20
解得5
．
【解析】本题考查了一次函数的应用，注意函数图象是不包括端点的一条线段．
(1)根据等腰三角形周长及底边与腰的关系，可得函数解析式；
(2)根据两腰的和小于周长，两边之和大于第三边，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案；
(3)根据描点法，可得函数图象．
20.【答案】(1)证明：∵AE//BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD，
∴AD=BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△AOBS四边形ABCD的比值为14．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；
(2)根据菱形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，能熟记菱形的判定和性质是解此题的关键．
21.【答案】解：如图：
(1)点E即为所求；
(2)点F即为所求；
(3)∵PQ//AD，
∴△ADP∽△QFP，
∴ADPQ=PFDF，即：41=DF3−DF，
解得：DF=2.4，
∴CF=4−DF=1.6．
【解析】(1)根据勾股定理及网格线是特点作图；
(2)根据网格线的特点及等腰直角三角形的性质作图；
(3)根据相似三角形的性质求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点、等腰三角形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为
y=20x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)，
化简得y=4x+10040(0≤x≤200)，
∵k=4>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y的最小值10040．
因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少．
【解析】设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，由总运费与各运输量的关系列出一次函数，再根据一次函数的增减性解题即可．
本题考查一次函数的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23.【答案】(1)证明：如图所示，延长AM交BN于D点，
∵ACB=90°，
∴∠ACM=∠BCN=90°，
又∵AC=BC，MC=NC，
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴∠AMC=∠BNC，
∵∠MAC+∠AMC=90°，
∴∠MAC+∠BNC=90°，
∴∠ADN=90°，
∴AM⊥DN；
(2)解：AD=BD+ 2CD，理由如下：
如图所示，在AD上截取AH=BD，连接CH，
∵△ACM≌△BCN，
∴∠CAH=∠CBD，
又∵AC=BC，AH=BD，
∴△ACH≌△BCD(SAS)，
∴CH=CD，∠ACH=∠BCD，
∵∠ACB=∠ACH+∠BCH=90°，
∴∠DCH=∠BCD+∠BCH=90°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴DH= 2CD，∠ADC=45°，
∵AD=AH+DH，
∴AD=BD+ 2CD；
(3)解：∵AC=BC=2，CN=CM=1，∠ACM=90°，
∴AN=3，AM= AC2+CM2= 5，AB= 2AC=2 2，
∵△ACM≌△BCN，
∴BN=AM= 5，
∵S△ABN=12AN⋅BC=12BC⋅AD，
∴AD=AN⋅BCBN=6 55，
∴BD= AB2−AD2=2 55．
∵AD=BD+ 2CD，
∴6 55= 2CD+2 55，
∴CD=2 105；
由(2)得∠ADC=45°，
∴∠BDE=∠CDN=45°，
∵BE⊥DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE= 22BD= 105，
∴CE=CD+DE=3 105．
【解析】(1)如图所示，延长AM交BN于D点，证明△ACM≌△BCN得到∠AMC=∠BNC，利用三角形内角和定理证明∠ADN=90°即可证明AM⊥DN；
(2)如图所示，在AD上截取AH=BD，连接CH，由全等三角形的性质得到∠CAH=∠CBD，证明△ACH≌△BCD，得到CH=CD，∠ACH=∠BCD，进一步证明△DCH是等腰直角三角形，得到DH= 2CD，∠ADC=45°，即可得到结论AD=BD+ 2CD；
(3)先利用勾股定理求出AD= 5，AB=2 2，再利用全等三角形的性质和面积法求出AM，BN的长，进而利用勾股定理和第二问的结论求出CD、BD的长，再证明△BDE是等腰直角三角形，求出DE的长，即可得到答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题关键．
24.【答案】解：(1)在y=−2x−2中，令x=0得y=−2，令y=0得x=−1，
∴A(−1,0)，B(0,−2)；
(2)①存在Q点，使D正好为PQ中点，理由如下：
如图：
设Q(t,0)，
∵D(−1,1)是PQ的中点，
∴P(−2−t,2)，
把P(−2−t,2)代入y=−2x−2得：
2=−2(−2−t)−2，
解得：t=0，
∴Q(0,0)；
②如图，过B作BK⊥AB交PQ于K，过P，K作PF，KG与y轴平行，过B作BF平行x轴交PF于F，交KG于G，
∵∠APD=45°，
∴∠DKB=45°，
∴PB=BK，
∵∠PBF=90°−∠KBG=∠BKG，∠F=∠G=90°，
∴△PFB≌△BGK(AAS)，
∴PF=BG，FB=KG，
设PF=BG=m，FB=KG=n，
∴点P(−n,m−2)，K(m,n−2)，
∵PB⊥BK，
∴设直线BK的解析式为y=12x+b，
把点B(0,−2)代入上式，得：−2=12×0+b，
解得b=−2，
∴直线BK的解析式为y=12x−2，
将点K(m,n−2)代入y=12x−2，得：
n−2=12m−2，
∴m=2n，
∴P(−n,2n−2)，K(2n,n−2)，
设直线PQ解析式为y=k′x+b′，
∴2n−2=−nk′+b′n−2=2nk′+b′，
∴k′=−13，
∴直线PQ解析式为y=−13x+b′，
把D(−1,1)代入得：
1=13+b′，
解得b′=23，
∴直线PQ解析式为y=−13x+23；
(3)如图，过点E作ER⊥PQ于点R，连接ED，
在Rt△EDR中，ER
∴ED⊥PQ时，E到直线PQ的距离最大，
∵E(−2,2)，D(−1,1)，
∴直线DE解析式为y=−x，
设直线PQ解析式为y=x+p，
把D(−1,1)代入得：1=−1+p，
∴p=2，
∴直线PQ解析式为y=x+2．
【解析】(1)由y=−2x−2直接可得A(−1,0)，B(0,−2)；
(2)①设Q(t,0)，可得P(−2−t,2)，代入y=−2x−2得：t=0，故Q(0,0)；
②过B作BK⊥AB交PQ于K，过P，K作PF，KG与y轴平行，过B作BF平行x轴交PF于F，交KG于G，证明△PFB≌△BGK(AAS)，可得PF=BG，FB=KG，设PF=BG=m，FB=KG=n，则点P(−n,m−2)，K(m,n−2)，设直线BK的解析式为y=12x+b，把点B(0,−2)代入得b=−2，y=12x−2，将点K(m,n−2)代入y=12x−2，得m=2n，故P(−n,2n−2)，K(2n,n−2)，设直线PQ解析式为y=k′x+b′，可得k′=−13，从而直线PQ解析式为y=−13x+b′，把D(−1,1)代入即可得直线PQ解析式为y=−13x+23；
(3)过点E作ER⊥PQ于点R，连接ED，在Rt△EDR中，ER
2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 16的结果是( )
A. 8 B. 16 C. 4 D. ±4
2. 若二次根式 3−a有意义，则a的取值范围是( )
A. a>3 B. a≥3 C. a≤3 D. a≠3
3. 下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为( )
(1)y=−0.1x；
(2)y=x2；
(3)y=2x2；
(4)y2=4x．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=7，b=24，c=25 B. a= 41，b=4，c=5
C. a=54，b=1，c=34 D. a=40，b=50，c=60
5. 下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
6. 开学前，根据学校防疫要求，某同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：这14天中，该同学体温的众数和中位数分别为( )
体温(℃)
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数(天)
3
3
4
2
2
A. 36.6℃，36.4℃ B. 36.5℃，36.5℃
C. 36.8℃，36.4℃ D. 36.8℃，36.5℃
7. 关于y是x的一次函数y=kx+b2+1(其中k<0，b为任意实数)的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC于C点，AC、BD交于O点，则▱ABCD的面积为( )
A. 80 B. 40 C. 48 D. 24
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 22.5° D. 60°
10. 已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本3x1+3，3x2+3，3x3+3，…，3xn+3的方差是( )
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个大于2而小于4的无理数______．
12. 一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为______ ．
13. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是______分．
14. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=______．
15. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若数y=|2x+b|(b为常数)与直线y=2有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是______ ．
①△AOB的面积总为2；
②若函数y=|2x+b|(b为常数)图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0
16. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，E点是B点关于CD所在直线的对称点，连AE，CE、DE，若AB=4，BC=3，则AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算2 12−6 13+3 48；
(2)已知一次函数的图象经过点(9,0)和点(24,20)，求此一次函数解析式．
18. (本小题8.0分)
在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______ ，图①中m的值为______ ；
(2)求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
(3)若该校有1000名学生，则估计参加活动不低于2项的学生大约有多少人？
19. (本小题8.0分)
已知等腰三角形周长为20
(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)；
(2)写出自变量的取值范围；
(3)在直角坐标系中，画出函数图象。
20. (本小题8.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)直接写出三角形AOB的面积与四边形ABCD的面积比，即S△AOBS四边形ABCD的比值．
21. (本小题8.0分)
如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的四个顶点都在格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
(1)画格点E，并连AE，使AE=AB，且AE⊥AB；
(2)在线段DC上找一点F，连AF，使∠BAF=45°；
(3)直接写出(2)中线段CF的长度．
22. (本小题10.0分)
A城有肥料200t，B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240t.D乡需要肥料260t.怎样调运可使总费用最少？
23. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是BC边上一点，N是AC延长线上一点，CM=CN．
(1)求证AM⊥BN；
(2)如图2，延长AM交BN于D点，连CD，当M点在BC上运动(不与B、C点重合)时，试探究线段AD、BD、CD间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由．
(3)如图3，延长AM交BN于D，过B作CD的垂线，垂足为E，若AC=2，CN=1，直接写出CE的长．
24. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线m的解析式为y=−2x−2，交x、y轴于A、B点．
(1)直接写出A、B点坐标；
(2)一条过定点D(−1,1)的直线n分别交直线m和x轴于P、Q点，如图2；
①是否存在Q点，使D正好为PQ中点，若存在，请求Q点坐标；
②若∠APD=45°，则求直线PQ的解析式；
(3)若直线m上有点E(−2,2)，则当E点到过定点D(−1,1)的直线PQ的距离最大时，直接写出直线PQ的解析式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 16=4，
故选：C．
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
3−a≥0，解得a≤3，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：(1)y=−0.1x，是正比例函数；
(2)y=x2，是正比例函数；
(3)y=2x2，是二次函数，不是正比例函数；
(4)y2=4x不是正比例函数；
故选：B．
根据正比例函数的定义：形如y=kx(k是常数且k≠0)，即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、42+52=( 41)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、12+(34)2=(54)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
5.【答案】C
【解析】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．
B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．
C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；
故选：C．
A、根据正方形的判定方法进行判断；
B、根据平行四边形的判定方法判断即可；
C、根据平行四边形的判定方法判断即可；
D、根据菱形的判定方法进行判断．
本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
6.【答案】B
【解析】解：由统计表可知，
众数为36.5℃，
中位数为：36.5+36.52=36.5(℃)．
所以这14天中，该同学体温的众数和中位数分别为36.5℃，36.5℃．
故选：B．
应用众数和中位数的定义进行计算即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵k<0，
∴一次函数y=kx+b2+1的图象经过第二、四象限．
又∵b2+1>0时，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交于正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
8.【答案】C
【解析】解：平行四边形ABCD中AD=8，
∴BC=AD=8，
∵AC⊥BC，AB=10，
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∴▱ABCD的面积为BC⋅AC=6×8=48，
故选：C．
利用勾股定理求得AC的长，然后用底成高求得面积即可．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的面积计算方法，难度不大．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°−67.5°=22.5°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴CE=12AB=AE，
∴∠ECA=∠A=22.5°，
∴∠ECD=∠ACD−∠ECA=67.5°−22.5°=45°，
故选：B．
根据题意分别求出∠ACD和∠BCD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CE=AE，得到∠ECA=∠A=22.5°，计算即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵样本x1，x2，…，xn的方差是1，
∴样本3x1+3，3x2+3，3x3+3，…，3xn+3的方差是32×1=9；
故选：D．
根据方差的变化规律当数据都加上一个数时，方差不变，当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，即可得出答案．
本题考查了方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍．
11.【答案】 7、 8、39、π…
【解析】解：∵2= 4，4= 16，
∴写出一个大于2小于4的无理数是 7、 8、39、π…．
故答案为： 7、 8、39、π…(只要是大于 4小于 16无理数都可以)等，本题答案不唯一．
根据算术平方根的性质可以把2和4写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，
∴4+5+6+a+b=5×5，
∴a+b=10，
∴a、b的平均数为：10÷2=5，
故答案为：5．
首先求得a、b的和，再求出a、b的平均数即可．
本题考查了算术平均数的计算方法，牢记公式是解题的关键．
13.【答案】87.4
【解析】解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%=87.4(分)，
故答案为：87.4．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
14.【答案】245
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到12⋅AC⋅BD=DH⋅AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD，
S菱形ABCD=DH⋅AB，
∴DH⋅5=12×6×8，
∴DH=245．
故答案为245．
15.【答案】①②③
【解析】解：①把y=2代入y=|2x+b|(b为常数)得，2=|2x+b|，
解得x=2−b2或x=−2−b2，
∴A(2−b2,0)，B(−2−b2,0)，
∴AB=2，
∴S△AOB=12AB×2=2，故①正确；
②当x=3时，6+b≥2，b≥−4；
当x=0时，−b≥2即b≤−2，
∴b的取值范围为−4≤b≤−2.故②正确；
③由y=23xy=2x−4，解得x=3y=2，
由y=23xy=−2x+4，解得x=32y=1，
∴直线y=23x与函数y=|2x−4|的交点为(32,1)，(3,2)，
∴则23x>|2x−4|的解集为32
∴正比例函数y=kx(k≠0)与y=|2x+b|(b为常数)的图象只有一个公共点，则k>2或−2
求得A、B的坐标，即可得出AB=2，利用三角形面积公式求得△AOB的面积即可判断①；根据x满足0
16.【答案】 58
【解析】解：连接AC，如图所示，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M，连接ME，
∴∠ACM=90°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴AC=CM，
∴∠ACD=∠DCM=45°，
∵E点是B点关于CD所在直线的对称点，
∴∠BCD=∠ECD，CE=BC=3，
∴∠BCD−∠ACD=∠ECD−∠DCM，
∴∠BCA=∠ECM，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴AC=5，
过点E作CN⊥EN交AC延长线于点N，CM⊥EF于F，
∴四边形CNEF是矩形，
∴CN=EF，
∵CE=BC=3，∠BCA=∠ECM，AC=CM，
∴△BCA≌△ECM(SAS)，
∴EM=AB=4，
∴S△CEM=12CE×EM=12×3×4=6=12CM×EF，
∴12×5×EF=6，解得：EF=125，
∴CN=EF=125，
∴NE2=CE2−CN2=8125，AN=AC+CN=375，
∴AE= AN2+NE2= 58，
故答案为： 58．
连接AC，过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M，连接ME，根据条件可证明△ADC、△ACM是等腰直角三角形，再根据E点是B点关于CD所在直线的对称点，可得∠BCA=∠ECM，过点E作EN⊥CA于N，EF⊥CM于F，可得四边形CNEF是矩形，证明△BCA≌△ECM(SAS)，用等面积法即可求出答案．
本题考查了几何问题，难度较大，涉及到矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．
17.【答案】解：(1)原式=4 3−2 3+12 3
=14 3；
(2)设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，把(9,0)和(24,20)分别代入解析式，得
9k+b=0 24k+b=20 ，
∴k=43 b=−12 ，
则该函数的解析式为y=43x−12．
【解析】(1)先化简，在合并同类二次根式即可得答案；
(2)设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将(9,0)和(24,20)分别代入解析式，组成关于k、b的方程组，解方程组即可．
此题主要考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．
18.【答案】40 10
【解析】解：(1)本次接受调查的学生人数为18÷45%=40(人)，
∵m%=440×100%=10%，
∴m=10．
故答案为：40，10；
(2)这组数据的平均数为1×13+2×18+3×5+4×440=2，
∵这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据是众数是2，
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间位置的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2+22=2；
答：平均数是2、众数是2，中位数是2；
(3)1000×18+5+440=675(元)，
答：估计参加活动不低于2项的学生大约有675人．
(1)根据参与2次的学生人数和百分比求出总人数，再根据百分比的定义求m即可；
(2)根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式是 y=−2x+20；
(2)由两腰的和小于周长，两边之和大于第三边得2x<202x>−2x+20
解得5
．
【解析】本题考查了一次函数的应用，注意函数图象是不包括端点的一条线段．
(1)根据等腰三角形周长及底边与腰的关系，可得函数解析式；
(2)根据两腰的和小于周长，两边之和大于第三边，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案；
(3)根据描点法，可得函数图象．
20.【答案】(1)证明：∵AE//BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD，
∴AD=BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△AOBS四边形ABCD的比值为14．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；
(2)根据菱形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，能熟记菱形的判定和性质是解此题的关键．
21.【答案】解：如图：
(1)点E即为所求；
(2)点F即为所求；
(3)∵PQ//AD，
∴△ADP∽△QFP，
∴ADPQ=PFDF，即：41=DF3−DF，
解得：DF=2.4，
∴CF=4−DF=1.6．
【解析】(1)根据勾股定理及网格线是特点作图；
(2)根据网格线的特点及等腰直角三角形的性质作图；
(3)根据相似三角形的性质求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点、等腰三角形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为
y=20x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)，
化简得y=4x+10040(0≤x≤200)，
∵k=4>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y的最小值10040．
因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少．
【解析】设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，由总运费与各运输量的关系列出一次函数，再根据一次函数的增减性解题即可．
本题考查一次函数的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23.【答案】(1)证明：如图所示，延长AM交BN于D点，
∵ACB=90°，
∴∠ACM=∠BCN=90°，
又∵AC=BC，MC=NC，
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴∠AMC=∠BNC，
∵∠MAC+∠AMC=90°，
∴∠MAC+∠BNC=90°，
∴∠ADN=90°，
∴AM⊥DN；
(2)解：AD=BD+ 2CD，理由如下：
如图所示，在AD上截取AH=BD，连接CH，
∵△ACM≌△BCN，
∴∠CAH=∠CBD，
又∵AC=BC，AH=BD，
∴△ACH≌△BCD(SAS)，
∴CH=CD，∠ACH=∠BCD，
∵∠ACB=∠ACH+∠BCH=90°，
∴∠DCH=∠BCD+∠BCH=90°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴DH= 2CD，∠ADC=45°，
∵AD=AH+DH，
∴AD=BD+ 2CD；
(3)解：∵AC=BC=2，CN=CM=1，∠ACM=90°，
∴AN=3，AM= AC2+CM2= 5，AB= 2AC=2 2，
∵△ACM≌△BCN，
∴BN=AM= 5，
∵S△ABN=12AN⋅BC=12BC⋅AD，
∴AD=AN⋅BCBN=6 55，
∴BD= AB2−AD2=2 55．
∵AD=BD+ 2CD，
∴6 55= 2CD+2 55，
∴CD=2 105；
由(2)得∠ADC=45°，
∴∠BDE=∠CDN=45°，
∵BE⊥DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE= 22BD= 105，
∴CE=CD+DE=3 105．
【解析】(1)如图所示，延长AM交BN于D点，证明△ACM≌△BCN得到∠AMC=∠BNC，利用三角形内角和定理证明∠ADN=90°即可证明AM⊥DN；
(2)如图所示，在AD上截取AH=BD，连接CH，由全等三角形的性质得到∠CAH=∠CBD，证明△ACH≌△BCD，得到CH=CD，∠ACH=∠BCD，进一步证明△DCH是等腰直角三角形，得到DH= 2CD，∠ADC=45°，即可得到结论AD=BD+ 2CD；
(3)先利用勾股定理求出AD= 5，AB=2 2，再利用全等三角形的性质和面积法求出AM，BN的长，进而利用勾股定理和第二问的结论求出CD、BD的长，再证明△BDE是等腰直角三角形，求出DE的长，即可得到答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题关键．
24.【答案】解：(1)在y=−2x−2中，令x=0得y=−2，令y=0得x=−1，
∴A(−1,0)，B(0,−2)；
(2)①存在Q点，使D正好为PQ中点，理由如下：
如图：
设Q(t,0)，
∵D(−1,1)是PQ的中点，
∴P(−2−t,2)，
把P(−2−t,2)代入y=−2x−2得：
2=−2(−2−t)−2，
解得：t=0，
∴Q(0,0)；
②如图，过B作BK⊥AB交PQ于K，过P，K作PF，KG与y轴平行，过B作BF平行x轴交PF于F，交KG于G，
∵∠APD=45°，
∴∠DKB=45°，
∴PB=BK，
∵∠PBF=90°−∠KBG=∠BKG，∠F=∠G=90°，
∴△PFB≌△BGK(AAS)，
∴PF=BG，FB=KG，
设PF=BG=m，FB=KG=n，
∴点P(−n,m−2)，K(m,n−2)，
∵PB⊥BK，
∴设直线BK的解析式为y=12x+b，
把点B(0,−2)代入上式，得：−2=12×0+b，
解得b=−2，
∴直线BK的解析式为y=12x−2，
将点K(m,n−2)代入y=12x−2，得：
n−2=12m−2，
∴m=2n，
∴P(−n,2n−2)，K(2n,n−2)，
设直线PQ解析式为y=k′x+b′，
∴2n−2=−nk′+b′n−2=2nk′+b′，
∴k′=−13，
∴直线PQ解析式为y=−13x+b′，
把D(−1,1)代入得：
1=13+b′，
解得b′=23，
∴直线PQ解析式为y=−13x+23；
(3)如图，过点E作ER⊥PQ于点R，连接ED，
在Rt△EDR中，ER
∴ED⊥PQ时，E到直线PQ的距离最大，
∵E(−2,2)，D(−1,1)，
∴直线DE解析式为y=−x，
设直线PQ解析式为y=x+p，
把D(−1,1)代入得：1=−1+p，
∴p=2，
∴直线PQ解析式为y=x+2．
【解析】(1)由y=−2x−2直接可得A(−1,0)，B(0,−2)；
(2)①设Q(t,0)，可得P(−2−t,2)，代入y=−2x−2得：t=0，故Q(0,0)；
②过B作BK⊥AB交PQ于K，过P，K作PF，KG与y轴平行，过B作BF平行x轴交PF于F，交KG于G，证明△PFB≌△BGK(AAS)，可得PF=BG，FB=KG，设PF=BG=m，FB=KG=n，则点P(−n,m−2)，K(m,n−2)，设直线BK的解析式为y=12x+b，把点B(0,−2)代入得b=−2，y=12x−2，将点K(m,n−2)代入y=12x−2，得m=2n，故P(−n,2n−2)，K(2n,n−2)，设直线PQ解析式为y=k′x+b′，可得k′=−13，从而直线PQ解析式为y=−13x+b′，把D(−1,1)代入即可得直线PQ解析式为y=−13x+23；
(3)过点E作ER⊥PQ于点R，连接ED，在Rt△EDR中，ER
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