2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列条件中，能够判断为直角三角形的是(    )

A. ，， B. ：：：：
C.  D. ：：：：

5.  如图，在下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6.  如图，某天下午时，两艘船只分别从港口点处出发，其中快船沿北偏东方向以海里时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以海里时的速度行驶，当天下午时，两艘船只分别到达，两点，则此时两船之间的距离等于(    )

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

7.  顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形一定是(    )

A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形

8.  等腰中，，，若，则的长度为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

9.  如图，将菱形的边以直线为对称轴翻折至，使点恰好落在上若此时，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，菱形的对角线长度为，边长，为菱形外一个动点，满足，为中点，连接、则当运动的过程中，长度的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简二次根式：______．

12.  如图，在数轴上表示的点为，以为边构造正方形，以为圆心，为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的数为______ ．

13.  如图，在中，，，分别是，，的中点，若，，，则的周长为______ ．

14.  如图，菱形的内角，以为边向外作等腰直角，，连接交于，则 ______ ．

15.  已知，为的高且，，为中点，则的长度为______ ．

16.  如图所示，一个三角形纸片的尺寸为：，，，将其放置于图所示的矩形纸板上，首先移动到的位置，接着又移动到的位置，其中点，，，均位于矩形纸板的边上若在两次移动过程中，恰有，则线段的长度等于______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．

20.  本小题分
已知．
直接写出 ______ ， ______ ；
试求的值；
试求的值；

21.  本小题分
如图所示，有正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点称为格点等腰直角三角形的顶点均为格点，点在线段上，请你仅用无刻度直尺按要求完成作图，作图痕迹用虚线表示．
作正方形；
作线段的中点；
作线段，且，点在线段上；
在上作点，使得．

22.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，点，轴于点，点在轴的正半轴上，且，连接，．
证明：四边形是平行四边形；
当时，求的值；
当为等腰三角形时，直接写出的值．

23.  本小题分
已知，均为等腰直角三角形，且．
如图所示，点与点重合，且点在线段上，连接，试判断与的数量关系与位置关系，并证明你的结论；
如图所示，点与点重合，且点在线段上，连接，试证明：．
 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点位于第一象限，点，分别位于，轴的正半轴上．

如图，当位于延长线上时，若，，直接写出点的坐标；
如图，在的条件下，取的中点，连接，，试证明：；
如图，当位于延长线上时，交于点，连接，若，，试求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故不符合题意；
B、原式，故不符合题意；
C、原式，故符合题意；
D、原式，故不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，即，所以是直角三角形，故A选项符合题意；
B.设，，，因为，，即，所以不是直角三角形，故B选项不符合题意；
C.由，，可得，所以不是直角三角形，故C选项不符合题意；
D.因为：：：：，所以，，，所以不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用勾股定理的逆定理进行计算即可得出答案；
B.应用勾股定理的逆定理进行计算即可得出答案；
C.应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
D.应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理即三角形内角和，熟练掌握勾股定理的逆定理即三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
 

5.【答案】 

【解析】解：、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据，，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、根据，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
平行四边形的判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题可知：，，，
海里，
故选：．
根据方位图和勾股定理解题即可．
本题考查方位角和勾股定理，正确识别方位角是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据三角形中位线定理可得：连接后的四边形的对边平行且相等，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．
故选：．
利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，，
，，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点，由题意易得，则有，由勾股定理得，然后问题可求解．
本题主要考查含度直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含度直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，
，
根据折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
故选：．
根据菱形性质得出，求出，根据折叠得出，根据，得出，得出，根据三角形内角和定理得出，即可求出结果．
本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外界的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角，证明．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，连接，取的中点，连接，，如图所示：
在菱形中，，，，
，，
，
在中，根据勾股定理，可得，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
的最大值为，
故选：．
连接，交于点，连接，取的中点，连接，，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，根据是的中位线，可知，可得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得的长，再求出的长，根据，可得的最大值为，求解即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理等，添加合适的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
原二次根式的被开方数中含有未开尽方的因数，因此要将它开方到根号外．
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于的小数化成假分数，把绝对值小于的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

正方形是边长为的正方形，
，
以为圆心，为半径画圆弧交数轴于点，
，
点表示的数为．
故答案为：．
根据图示，求出边长为的正方形的对角线的长度，即可求出点表示的数．
此题主要考查了实数与数轴上的点的一一对应关系，解答此题的关键是求出边长为的正方形的对角线的长度．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，分别是，，的中点，
，，，
，，，
，
即的周长为．
故答案为：．
根据三角形中位线定理得出，，，即可得出答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，，
在等腰直角中，，，
，，
是等腰三角形，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，根据等腰直角三角形的性质可得，，进一步可得，的度数，从而可得的度数，再根据求解即可．
本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当高在三角形内部时，由题意可得如图：

，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
为中点，
．
当高在三角形外部时，同法可得．

，
，
．
综上所述．的值为或．
根据题意画出图形，分两种情形分别求解．
本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，

作于点，则，

四边形是矩形，
，，
，
，
即线段的长度等于，
故答案为：．
先求出，，，，即可得到，作于点，则，再求得，，则，由勾股定理即可得到线段的长度．
此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，

四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】利用平行四边形的性质和垂直的定义可得，即能证明结论．
本题考查平行四边形的性质，垂直的定义，矩形的判定，掌握三个角是直角的四边形是矩形式解题的关键．
 

19.【答案】解：连接，

在中，，，
，
在中，，
是直角三角形，且，
四边形的面积

．
故四边形的面积为． 

【解析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：，
，
，
故答案为：，；




；


，
，
原式
．
把相应的值代入运算即可；
结合，把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：如图，正方形即为所求；
如图，点即为所求；
如图，线段即为所求；
如图，线段即为所求．
 

【解析】根据正方形的定义画出图形即可；
连接交于点，点即为所求；
取的中点，连接即可；
连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】证明：轴，
，
，
四边形是平行四边形；

解：过点作轴于点，如图所示：

，
平行四边形是菱形，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
解得：；

解：由题意可分：
当时，过点作轴于点，如图所示：

由可知，，
；
当时，
在中，由勾股定理得；
当时，
平行四边形是菱形，
由可知；
综上所述：当为等腰三角形时，或或． 

【解析】由题意易得，然后问题可求证；
过点作轴于点，由题意可知四边形是菱形，则有，然后根据勾股定理可建立方程求解；
根据题意可分当时，当时，当时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解．
本题主要考查坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，理由如下：
，均为等腰直角三角形，
，，，，
，
在和中
，
≌，
，，
，
；
证明：，均为等腰直角三角形，
，，
∽，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，即可求解；
通过证明∽，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

24.【答案】解：时，，
则，，
，
，
，
；

证明：，是中点，
，
，
轴，
．
．
，
．
，
，
．
是直角三角形，
；

解：如图，取中点，连接，

是直角三角形，且，
，
，
，
．
，
．
，
，
．
，
． 

【解析】根据勾股定理求出的长即可知的长，于是可得点的坐标；
先根据中点坐标公式求出点的坐标，再根据两点之间距离公式分别求出，，，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，即可证得；
取中点，根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可求得的长，再证明即可得的长，然后在中根据勾股定理即可求出的长．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，“直角三角形中斜边中线等于斜边的一半”，以及中点坐标公式．正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键．