2022-2023学年云南省下关一中教育集团高二上学期期中考试数学（A卷）试题（解析版）

2022-2023学年云南省下关一中教育集团高二上学期期中考试数学（A卷）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式后由交集的概念求解

【详解】由题意得或，

故选：B

2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ）

A．1 B．3 C．6 D．8

【答案】D

【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.

【详解】解：由题意可知，所以直线与的方程为，

联立直线方程和抛物线方程，可得，

设

则，

所以.

故选：D.

3．若复数z满足，则（    ）

A．10 B． C．20 D．

【答案】B

【分析】由复数的除法法则求得，再求其共轭复数的模．

【详解】由已知，

所以．

故选：B．

4．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ）

A．9 B．3 C．4 D．8

【答案】B

【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解

【详解】法一：设，，则，

，∴．

又，∴，解得．

法二：由焦点三角形面积公式得

故选：B

5．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量基本定理得到，平方后，利用空间向量数量积公式计算出，从而求出模长.

【详解】因为是的中点，

所以，

所以

因为的长为2，且与，的夹角都等于60°．

所以

，

所以.

故选：A

6．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．与k取值有关

【答案】B

【分析】先判断直线过定点在圆内，即可判断直线与圆的位置.

【详解】∵直线恒过定点，且该点在圆内，

∴直线与圆相交,

故选：B

7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出外接球的半径，再由球的表面积公式求解

【详解】由平面，得，而，，

故，而，

在等腰中，由几何关系得，则其外接圆半径，得，

故三棱锥的外接球，球的表面积为，

故选：D

8．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.

【详解】设，，则有，两式作差得：，

即，

弦中点坐标为，则，

又∵，∴，∴，

又∵，∴可解得，，

故椭圆的面积为.

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．直线在轴上的截距为1

C．直线的倾斜角为150°

D．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为

【答案】AC

【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断A，由直线的斜截式可判断B，根据直线的斜率可判断C，分截距为0或不为0可求出直线方程判断D.

【详解】直线即直线，当时，，

即直线恒过定点，A正确；

直线，即在轴上的截距为，B错误；

直线的斜率为，则倾斜角为150°，C正确；

因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，

当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为，

所以直线的方程为或，故D错误.

故选：AC.

10．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），下列说法正确的是（    ）

A．求频率分布直方图中的值为0.006

B．估计该企业的职工对该部门评分的中位数为

C．估计该企业的职工对该部门评分的平均值为76.5

D．从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率为

【答案】ABD

【分析】根据所有小矩形的面积为1可得的值，B、C选项考查用频率分布直方图计算平均数与中位数，来估计总体，D选项古典概型求解概率，一一列举即可得出结果.

【详解】由直方图可得，故.

由直方图可得平均数为.

前3组的频率和为，前4组的频率和为，故中位数在，设中位数为，则，故.故中位数为.

评分在的受访职工的人数为，其中评分在的受访职工的人数为2，记为，，在的受访职工人数为3，记为，，，从5人任取2人，所有的基本事件如下：，，，，，，，，，，基本事件的总数为10，而2人评分都在的基本事件为，故2人评分都在的概率为，

故选：ABD.

11．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则点的横坐标为2

B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为

C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为

D．周长的最小值为

【答案】CD

【分析】结合已知条件，求出抛物线方程，对于A：利用抛物线定义即可判断；对于B：联立抛物线准线方程和双曲线方程即可求解；对于C：结合已知条件，利用圆心在弦的垂直平分线上的性质即可求解；对于D：结合抛物线定义求出的最小值，进而即可得到答案.

【详解】由双曲线方程知：，则抛物线：，

对于A：设，由抛物线定义可知，，则，故A错误；

对于B：抛物线准线方程为：，由，得：，

故准线被双曲线截得的线段长度为，故B错误；

对于C：因为外接圆圆心在线段的中垂线上，则外接圆圆心横坐标为1，

又因为该圆与抛物线准线相切，

所以该圆的半径，则该圆的面积，故C正确；

对于D：设和在准线上的投影分别为，，如图所示：

由抛物线定义知：，则（当且仅当，，三点共线时取等号，此时，重合），

又，，

∴周长的最小值为，故D正确.

故选：CD.

12．已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．该椭圆的长轴长为

B．使为直角三角形的点共有6个

C．若点的纵坐标为1，则的长度为

D．若点是异于，的点，则直线与的斜率之积为－2

【答案】BCD

【分析】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.

B.为直角三角形要从分别为直角出发考虑.

C.求出点的坐标，进而得到答案.

D.把点的坐标设出来，直接求直线与的斜率之积，利用椭圆方程把点的纵坐标用横坐标表示出来即可得到答案.

【详解】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.故选项A不正确.

B.当轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；又因为，满足为直角三角形，此时点可以为左右顶点.所以使为直角三角形的点共有6个. 故选项B正确.

C.若点的纵坐标为1, 则，则的长度为.故选项C正确.

D.设点，则，则直线与的斜率之积

.故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离是______.

【答案】

【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.

故答案为：

14．若直线与互相垂直，则等于____________.

【答案】或1

【分析】利用直线与直线垂直的充要条件直接求解．

【详解】直线与互相垂直，

，

解得或．

故答案为：或1．

15．已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的标准方程为______.

【答案】

【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解.

【详解】解：双曲线的渐近线方程为，

可得，其右焦点为，可得，又，

解得，，

则双曲线的方程为：．

故答案为：．

16．已知圆O：，点P为直线上一动点，过点P向圆O引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点______．

【答案】

【分析】由几何关系得点A、B在以OP为直径的圆上，得出两圆的公共弦直线方程后求解

【详解】设，∵圆O：的两条切线分别为PA、PB，切点分别为A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，设这个圆为圆C，即AB是圆O与圆C的公共弦，

则圆心C的坐标是，且半径的平方是，

∴圆C的方程是，

则公共弦AB所在的直线方程为：，即，

则，得，，∴直线AB经过定点．

故答案为：

四、解答题

17．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：

(1)甲、乙恰好有一人击中的概率；

(2)目标被击中的概率．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；

（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.

【详解】（1）设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.

（2）目标被击中的概率为.

18．一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．

(1)与直线垂直；

(2)交轴、轴的正半轴于，两点，且取得最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用垂直关系求出直线的斜率，从而可求直线的方程；

（2）设直线方程为，求出的坐标后可求，利用基本不等式可求其最小值，从而可求直线方程.

【详解】（1）由于直线的斜率，所以所求直线的斜率．

故过点，斜率的直线方程为，即．

（2）设过点的直线方程为，

令，得；

令，得．从而有，，

所以．

当，即（舍去）时，取得最小值．

所求的直线方程为．

19．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.

(1)求角B的大小；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理得到化简求解；

（2）由，再由，结合正弦定理和三角形面积公式求解.

【详解】（1）解：由，

得，

因为B，，

则且，

所以，

即，

则，

得，

所以.

（2），

，

，

又，

所以，

所以，

故.

20．如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）推导出，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面．

（2）取中点为，连接，推导出，平面，．以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

【详解】（1）证明：因为，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

又平面，所以，

因为为中点，且为等边三角形，所以，

又，所以平面；

（2）取中点为，连接，

因为为等边三角形，所以，

由平面平面，因为平面，

所以平面，

所以，由，，

可知，所以．

以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

所以，，，，0，，，2，，，0，，，2，，

则，0，，，，，

因为为中点，所以，1，，

由 （1）知，平面的一个法向量为，3，，

设平面的法向量为，，，

由，取，得，

由，

所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．

21．已知圆M：，Q是x轴上的动点，、分别与圆相切于两点.

(1)若，求切线方程；

(2)求四边形面积的最小值；

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；

（2）设点的坐标，根据求出面积，再分析面积的最小值即可.

【详解】（1）由题意，过点且与轴垂直的直线显然与圆相切，此时，切线方程为，

当过点的直线不与轴垂直时，设其方程为，即，由解得，此时切线方程为.

（2）

连接，因为圆的方程为，所以，，设，所以，根据勾股定理得，所以，所以当时，四边形的面积最小，.

22．已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义可得，进而可求其方程，

（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.

【详解】（1）由椭圆的定义，

可知

解得，又.

椭圆C的标准方程为.

（2）设直线l的方程为，

联立椭圆方程，得，

，得

设，则，

，

点到直线的距离，

.

当且仅当，即时取等号；

面积的最大值为.