云南省楚雄彝族自治州民族中学2022-2023学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

云南省楚雄彝族自治州民族中学2022-2023学年高一下学期期中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设集合，则(   )

A. B. C.  D.

2、复数?在复平面内对应的点为，则(   )

A.8  B.4  C.  D.

3、下列说法正确的是(   )

A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段

C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

4、已知两个非零向量,, 则 “” 是 “” 的(   )

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

5、直径为6 cm 的一个大金属球, 熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球, 如果不计损耗, 可铸成这样的小 球的个数为(   )

A. 3 B. 6 C. 9 D. 27

6、如图, 是斜二测画法画出的水平放置的 的直观图, 是 的中点, 且 轴, 轴, ,, 则(   )

A.的面积为 4

B. BC 的长度大于AC 的长度

C.的面积为 2

D.

7、的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知 ,,的面积为, 则AC 等 于 ( )

A. 4 B. C. D.

8、八卦是中国文化的基本学概念, 图1是八卦模型图, 其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH, 其中 给出下列结论, 其中正确的结论为(   )

A.与 的夹角为

B.

C.

D.在 上的投影向量为 (其中 为与 同向的单位向量)

二、多项选择题

9、已知函数, 则下列判断中错误的是(   )

A.是奇函数

B.的图像与直线 有两个交点

C.的值域是

D.在区间 上是减函数

10、下列说法正确的是(   )

A. 在中, 若, 则 一定是针角三角形 ;

B. 在中, 角A、B、C 的对边分别为a,b、c, 若, 则 的形状是等腰三角形;

C.在中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 若, 则 一定是等腰三角形;

D.在 中, 若, 则 是一定钝角三角形 .

11、将函数 的图象上所有点的纵坐标不变, 横坐标缩短到原来的, 再将所得图象向右平 移 是个单位长度后得到函数 的图象, 则下列说法正确的是 (   )

A.函数 是奇函数

B.函数 的一个对称中心是

C.若, 则

D.函数 的一个对称中心是

12、在中, 点P 满足, 过点P 的直线与AB、AC 所在的直线分别交于点M、N, 若, , 则下列说法正确的是(   )

A.

B.

C. 为定值

D. 的最小值为

三、填空题

13、在中, 角A、B、C 的对边分别为a,b、c, 若,,, 则角 A的值为_________.

14、已知平面向量,, 则向量 与 的夹角为_______.

15、设, 若, 则 _________.

16、在矩形ABCD 中,, 点E 为边AB 的中点, 点F 为线段 BC上的动点, 则 的取值范围是_________.

四、解答题

17、已知复数,, 其中 i为虚数单位.

(1)若z 是纯虚数, 求实数 m的值;

(2)若, 设, 试求 的值.

18、平面内给出三个向量,,, 求解下列问题:

( 1) 若向量 与向量 的夹角为锐角, 求实数m 的取值范围;

(2) 若, 求实数k 的值.

19、如图, 在平行四边形ABCD 中, 点E 是AB 的中点, F,G是AD,BC 的三等分点. 设,.

(1)用,表示,;

(2)如果, 用向量的方法证明:.

20、如图, 某地计划在一海滩处建造一个养殖场, 射线 OA,OB为海岸线, , 现用长度为 1 千米的 网依托海岸线围成一个的养殖场.

(1)已知, 求OP 的长度;

(2)问如何选取点P,Q, 才能使得养殖场 的面积最大, 并求其最大面积.

21、在①, ②, ③这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中, 并解答.

记 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知

(1) 求角C 的大小.

(2) 若, 求 的取值范围.

22、如图, 一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱(棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上), 若棱柱侧面落在圆锥底面上. 已知正三棱柱底面边长为, 高为 2 .

(1)求挖掉的正三棱柱 的体积;

(2)求剩余几何体的表面积.

参考答案

1、答案： D

解析：已知，, 根据交集的定义可知. 选D.

2、答案： C

解析：复数z 在复平面内对应的点为, 则复数, 所以, 则. 故选: C.

3、答案：B

4、答案：C

解析：由 得, 即 或, 因为 为非零向量, 所以, 即, 故  “”是 “” 的充要条件.

5、答案：D

解析：小球的体积为:, 大球的体积为:, 所以可铸成这样的小球的个数为: 27 .

6、答案： B

解析：由图象知:，, ，D为BC 的中点

所以, B 错误;

的面积, A 正确;

因为，,

所以 的 上的高,

的面积 ，C错误,

, 所以, D 错误.

故选: B

7、答案： D

解析：因为 ，，的面积为,

所以,

所以.

由余弦定理得:.

故选: D.

8、答案： C

解析：由图可知, , 故A 错误;

因为, 故 不成立, 故 错误;

，, 所以, 故C 正确;

在 上的投影向量的方向与 的方向相反, 故D 错误.

故选C.

9、答案：ABD

解析：A选项:，, 故, 故 不是奇函数, A错误;

B选项: 当 时, , 则; 当 时, , 故方程 只有个根, 即 的图像与直线 有 1 个交点, B错误;

C选项: 当 时,; 当 时, , 故 的值域是 ，C正 确;

D选项: 当 时, , 则 在区间 上是增函数, D错误.

10、答案：BD

解析：A 选项: 当 时, 不成立, 故A 错;

B 选项:

, 所以, 故 B 对;

C选项: 或, 所以 或, 故 C 错;

D 选项:, 所以C 为针角, 故 是针角三角形, 故 D对.

11、答案：AC

解析: 由题得. 选项 A: 由, 得 是奇函数, 故 A 对; 选项 B:, 所以 不是 的对称中心, 故 B 错;

选项 C: 由, 得,

, 故 C 对; 选项 D:, 故 D 错.

12、答案：BCD

解析:如下图所示:

, 即，,

，,

，,

，M,P,N三点共线, 则.

,

当且仅当 时, 等号成立, 因此, 的最小值为,

 故选:BCD

13、答案：

解析：因为，，, 由正弦定理, 即, 所以, 因为, 所以. 故答案为:

14、答案：

解析：因为, 所以, 因为, 所以. 故答案为:.

15、答案：

解析：由题得:,

所以.

16、答案：

解析：以 D为坐标原点, 建立如图所示直角坐标系, 由题意得，,

因为E 为AB 中点, 所以, 设, 则,

， 则，

故答案为:.

17、答案： (1)

(2)

解析：(1)由题意可得:, 且, 解得;

(2)若, 则,

所以,

，，.

18、答案： (1) 且

(2)

解析: (1)，,

因为 与 的夹角为锐角, 所以, 且 与 不 同向共线, 即, 解得 且.

(2)，,

因为, 所以, 解得.

19、答案： (1)

(2)见解析

解析: (1) 因为点E 是AB 的中点, 所以.

因为，, 所以.

所以，.

(2)由 (1) 可得:，.

因为,

所以,

所以.

20、答案： (1)

(2) 平方千米

解析: (1)在 中, 由正弦定理可得:,

代入数据得, 解得

(2)在 中, 由余弦定理可得

令 ，可得,

所以, 当且仅当 时取得 “=” 又 平方千米, 千米时, 取得最大值 平方千米.

21、答案： (1)

(2)

解析: (1) 选择条件①.

由余弦定理得. 整理得,

所以由余弦定理得.

又因为, 所以.

选择条件②.

由正弦定理得, 整理得, 由余弦定理得.

又因为, 所以.

选择条件③.

由正弦定理得.

整理得,

所以.

因为, 所以.

显然, 所以.又因为,

所以.

(2) 因为,,

所以由正弦定理得, 即.

因为, 所以,

所以.

因为, 所以, 所以, 故 的取值范围是.

22、答案： (1)

(2)

解析:(1) 因为正三棱柱 的底面边长为 , 高为 2 ,

则 

所以正三棱柱 的体积.

(2) 在正三棱柱 中, 由 (1) 知, ,

, 圆锥DO的底面圆圆心O 是矩形 的中心，

令圆 O半径为r, 有, 即,

令BC 的中点为E, 连接AE, 则, 且，，,

于是, 解得, 则圆锥的母线长,

圆锥的底面圆面积, 侧面积,

所以