2023年重庆市巴南区中考春招数学试卷（含答案）

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2023年重庆市巴南区中考春招数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，两条平行线，被第三条直线所截若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下面四个图案中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，某地区一天小时的气温变化情况从图象中可以看出，这一天中的最高气温大约是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估算的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，，则第个图形中棋子的颗数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  为积极响应国家“双减政策”，某中学校年第三季度平均每周作业时长为分钟，经过年第四季度和年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为分钟设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，已知，点在边上，以为直径的与边相切于点，若，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  对于五个整式，：，：，：，：，：，有下列三个结论：无论为何值，多项式的值一定是正数；存在实数，，使得的值为；若关于的多项式为常数不含的一次项，则该多项式的值一定大于其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  若，是方程的两个根，则的值为______ ．

13.  如图，与位似，点是它们的位似中心，且它们的周长比为：，则与的面积之比是______ ．

14.  某校开展“课后延时服务”后，组建了四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈，学校规定每人只能选择参加一个社团，小宇和小智准备随机选择一个社团报名，则小宇和小智两人刚好选择同一个社团的概率为______ ．

15.  如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交弧于点，则图中阴影部分的面积为______ ．

16.  如图，点是反比例函数图象上的一点，连接，点是的中点，过点作轴的平行线，与反比例函数的图象和轴分别交于点，点，连接，，若的面积为，则的值为______ ．

17.  若关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之积是______ ．

18.  一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为，则称它为“合十数”例如，对于，因为，所以是“合十数”在“合十数”中，十位数字的倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”满足，则满足条件的“合十数”的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知：如图，矩形中，点是边上一点，且．
用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点保留作图痕迹，不写作法，不下结论；
求证：，请将下面证明过程补充完整：
证明：，．
又在矩形中，，
______ ；
在矩形中，，
______ ；
又，
≌______
______ ．
，
．

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
某学校调查八年级学生对“二十大”知识的了解情况，并进行了“二十大”知识竞赛，从中随机抽取了男生和女生各名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，
名男生的成绩分别是：，，，，，，，，，．
名女生的成绩在组中的数据是：，，．
通过数据分析，列表如下：
八年级抽取的学生成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述，，的值；
根据以上数据，在“二十大”知识竞赛中，你认为是八年级男生成绩较好还是八年级女生成绩较好？请说明理由写出一条即可；
八年级男女生各人参加此次竞赛活动，估计参加此次“二十大”知识竞赛成绩优秀的学生总人数是多少？

22.  本小题分
某校组织七年级学生去距学校的实践中心开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果乘汽车的学生比骑车的学生提前到达实践中心，已知汽车速度是骑车学生速度的倍．
求骑车学生的速度是多少速度单位：？
汽车追上骑车学生的地点距离实践中心的路程有多远？

23.  本小题分
如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上．
求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度是多少结果保留根号？
求教学楼的高度结果取整数．
参考数据：，，，

24.  本小题分
如图，在中，，，，点是线段的中点，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止，设点运动的路程为，点是射线上一点，且，连接，记的面积为，的面积为．
请直接写出，与之间的函数关系式以及对应的取值范围；
在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合图象完成下列问题：
写出函数的一条性质；
直接写出当时，的取值范围．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两交点分别是，，与轴交于点，连接．
求该抛物线的解析式；
点为直线上方抛物线上的点，过作于点，交于点，为射线上的点，连接，且，求的最大值，以及此时点的坐标；
在的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后抛物线对称轴上的点，为平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形为菱形的点的坐标．
 

26.  本小题分
如图，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，．
若，，求的长；
若点是线段的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由；
如图，在的条件下，若，是线段上两个动点，点在线段上，且，当周长最小时，直接写出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在．
求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加一个“”，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的含义，可得
的相反数是：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可解答．
本题主要考查平行的性质，解题关键是熟知平行线性质定理：定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简单说成：两直线平行，同位角相等．定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简单说成：两直线平行，内错角相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：从图象中可以看出，这一天中的最高气温大约是．
故选：．
由图象可知，时的气温最高，是．
本题考查了函数的图象的读图能力，正确根据图象的性质和数据进行分析，读出实际意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，而，
，
即，
，
故选：．
根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：第个图形有颗棋子，
第个图形一共有颗棋子，
第个图形一共有颗棋子，
第个图形有颗棋子，
，
第个图形一共有颗．
第个图形一共有颗．
故选：．
仔细观察图形的变化，找到变化规律，利用规律求解即可．
本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用该学校年第一季度平均每周作业时长该学校年第三季度平均每周作业时长每季度平均每周作业时长的下降率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，如图，
与边相切于点，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即，，
，
，
在中，，
，
在中，．
故选：．
连接，过点作于点，如图，根据切线的性质得到，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解方程求出，则，，接着利用面积法求出的长，然后利用勾股定理计算出，从而可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：



，
，
，
无论为何值，多项式的值一定是正数，
故结论正确；
当时，
，
，
，，
存在实数，，使得的值为，
故结论正确；


，
由题意可得，
，
，
结论错误．
故选：．
根据整式的混合运算，完全平方公式以及非负数的性质，结合特殊值代入求解即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】： 

【解析】解：与位似，它们的周长比为：，
，，
∽，
与的面积比为：：，
故答案为：：．
根据位似变换的概念得到，证明∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈分别记作、、、，
画树状图如下：

由树状图知，一共有种等可能结果，其中小宇和小智两人刚好选择同一个社团的有种结果，
小宇和小智两人刚好选择同一个社团的概率为，
故答案为：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

在中，，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
≌，且和都是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
连接，，根据，求解即可．
本题考查扇形的面积公式，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：作轴，交轴于，
轴，
，
点是的中点，
是的中点，
设，则，
，，
的面积为，
，
．
故答案为：．
作轴，交轴于，根据点是的中点，得出是的中点，故设，则，根据三角形面积公式得到，即可求得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出、两点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
一元一次不等式组至少有个整数解，
，
解得：，
，
，
解得：，
分式方程的解是正整数，
且，
且，
且，
分式方程的解是正整数，
或，
所有满足条件的整数的值之积是，
故答案为：．
先解一元一次不等式组，可得：，再根据已知可得，从而可得得：，然后解分式方程，可得，再根据已知可得且，从而可得且，进而可得或，最后进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，分式方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设一个“合十数”的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则有，
则，，
，
，
，
，
，
，
、、都是一位正整数，
也是正整数，
当时，不符合条件，舍去，
当时，不符合条件，舍去，
当时，，
当时，不符合条件，舍去，
当时，不符合条件，舍去，
故，，符合题意，则，
故答案为：．
根据“合十数”定义，我们可以设一个“合十数”的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则有，然后根据题意得到，，然后通过，进行因式分解，然后讨论可得对应的值，就可求出的值．
本题考查了因式分解的应用，通过给定的新定义，列出整式，通过因式分解，得到对应的式子，通过讨论，得到最后的值．
 

19.【答案】       

【解析】解：如图，

证明过程补充为：
证明：，
．
又在矩形中，，
；
在矩形中，，
；
又，
≌．
．
，
．
故答案为：；；；．
利用基本作图．过点作的垂线即可；
先根据矩形的性质得到，，则，则可根据“”判断≌，得到，从而得到．
本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质和矩形的性质，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：


；




． 

【解析】利用平方差公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，多项式乘多项式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：，则；
；
；
女生成绩更好，理由如下：
因为男生和女生的平均数、但女生的中位数、众数比男生高，说明女生高分的同学更多；女生的方差比男生小，说明女生两极分化差距小．
人，
答：估计参加此次“二十大”知识竞赛成绩优秀的学生总人数大约是人． 

【解析】利用扇形统计图，用分别减去、、组的百分比可得到的值；根据中位数的定义可得的值；根据众数的定义可得的值；
比较平均数、中位数、众数和方差可得答案；
利用样本估计总体，分别用乘以样本中男生和女生成绩优秀的学生的优秀率即可．
本题考查方差、中位数、众数以及用样本估计总体，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设骑车学生的速度是，则汽车速度是，
由题意得：，
去分母的得，，
解得，，
经检验是原方程的解，
答：骑车学生的速度是．
设骑车学生出发小时后，汽车追上骑车学生，
由题意得：，
解得，，
，
答：汽车追上骑车学生的地点距离实践中心的路程是． 

【解析】设骑车学生的速度是，根据骑车的时间汽车的时间建立方程，求解即可．
设骑车学生出发小时后，汽车追上骑车学生，根据时间差，路程相等建立方程，求出，再求得结果．
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找出合适等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，米，米，
在中，，
米，
米，
此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度是米；
在中，，
米，
米，
教学楼的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点作于点，于点．

，．
，
，
同法可证，
当时，
．
当时，．
综上所述，．
；

函数图象如图所示：

函数的性质：当时，随的增大而减小．
当时，随的增大而增大．

观察图象可知两个函数的图形的交点为，
当时，． 

【解析】过点作于点，于点首先利用三角形中位线定理求出，，分两种情形求出，利用三角形的面积公式求出即可；
画出函数图象，可得结论；
利用图象法解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，三角形中位线定理，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
 

25.【答案】解：二次函数与轴交于点，，
，解得．
抛物线的解析式为：；

，
当时，，
．
设直线的解析式为：，
直线过点，
，解得．
直线的解析式为：．
设点，则，
，，．
，，，
过点作于，

轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
此时；

将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将该抛物线向左移动个单位，向上移动个单位，
平移后的抛物线的解析式为：，
平移后的抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线与轴的交点，
设；
当线段为菱形的对角线时，，
，，
，
，
，解得，
，
；
当线段为菱形的边时，
，，
，
，
，
当时，，即，无解；
当时，，即，
或；
或；
或
综上，点的坐标为或或 

【解析】将点，代入二次函数，求得，的值即可；
先求出直线的解析式为：，设点，则，过点作于，则轴，，根据正弦函数的定义可得，由得，可得，则，利用二次函数的性质可求出最值；
先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式，然后设出点，分两种情况：线段为菱形的对角线时；线段为菱形的边时，利用菱形的性质求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了勾股定理，待定系数法，二次函数的性质，菱形的性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练运用所学知识，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题．
 

26.【答案】解：，，
，
将线段绕点顺时针旋转至线段，
，，
；
，理由如下：
如图，连接，，

四边形是正方形，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
点是的中点，
，，
，
；
如图，过点作，且，连接，

四边形是平行四边形，
，
周长，
如图，作点关的对称点，连接，连接交于点，连接，交于，连接，此时周长的最小值为，
，，，，
，
，
，
，
的面积． 

【解析】由勾股定理可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得结论；
由轴对称的性质可求，，，，由平行线分线段成比例可求的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．