初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程学案

一元二次方程的应用—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；

2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【要点梳理】

要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　　答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释：

列方程解实际问题的三个重要环节：
　　　一是整体地、系统地审题；
　　　二是把握问题中的等量关系；
　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.

要点二、一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字

只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用

其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位

数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
　　(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　　 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　　 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　　 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2.平均变化率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

3.利息问题
(1)概念：
　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.
　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
　　本息和：本金和利息的和叫本息和.
　　期数：存入银行的时间叫期数.
　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:
　　利息=本金×利率×期数
　　利息税=利息×税率
　　本金×(1+利率×期数)=本息和
　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

4.利润(销售)问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数
　　

5.形积问题
　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
 

要点诠释：

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【典型例题】

类型一、数字问题

1.（2015春•兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数．

【答案与解析】

解：设这两个连续奇数为x，x+2，

根据题意x（x+2）=143，

解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，

则当x=﹣13时，x+2=﹣11．

答：这两个数是﹣13，﹣11．

故答案为：﹣13，﹣11．

【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．

类型二、平均变化率问题

2. （2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）

A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9

【思路点拨】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【答案】A．

【解析】

解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，

根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，

故选：A．　　　

【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

举一反三：

【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是(   )

        A．1331     B．1210     C．1100     D．1000

【答案】

设每人每轮传染x人，则(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，

第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．

类型三、利润（销售）问题

3.  有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?

【答案与解析】

解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．

    根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，

    整理，得x2-50x+625＝0，∴  x1＝x2＝25． 答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．

【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．

举一反三：

【变式】（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．

【答案】

解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，

由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，

化简得：x2﹣35x+300=0，

解得：x1=15，x2=20，

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴选x=20，

答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.

类型四、行程问题

4. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹

车后又滑行25m后停车．

（1）从刹车到停车用了多少时间？

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？

【答案与解析】

解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者

的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即，于是刹车到停车的时间为“行驶路程平均车速”， 即．

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度末速度）车速变化时间”，

      即．

（3）设刹车后汽车行驶到15m用了 s，由（2）可知，这时车速为．这段路程内的

平均车速为，即．

由速度×时间=路程，得．

解方程，得．

根据问题可知，，即x＜5，又x＜2.5；所以．

刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9  s．

【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.