2022-2023学年江苏省南京师大附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京师大附中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京师大附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分．）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A．a3÷a2＝a B．（2a）3＝6a3 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a5
2．如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab
3．如图，△ABC沿着直线BC向右平移得到△DEF，则①BE＝CF；②AB∥DE；③AG＝DG；④∠ACB＝∠DFE，其中结论正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．②④ D．①③④
4．将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　）

A．103° B．104° C．105° D．106°
5．为说明命题“若m＞n，则m2＞n2”是假命题，所列举反例正确的是（　　）
A．m＝3，n＝6 B．m＝6，n＝3 C．m＝﹣3，n＝﹣6 D．m＝﹣6，n＝﹣3
6．如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是（　　）

A．87464 B．87500 C．87536 D．87572
二、填空题（每题2分，本大题共10小题，共20分．）
7．苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示0.0000084是 　．
8．如图，图中以BC为边的三角形的个数为　 　．

9．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处1m宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 　m2．

10．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是 　三角形．
11．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是 　（填写所有符合题意的序号）．
12．如图，AB∥DP，AP∥CD．若∠B+∠C＝124°，则∠P＝　 　°．

13．如图，P是∠BAC内一点，∠ABP＝37°，∠ACP＝25°，过点P作直线EF，交AB，AC分别于E，F．若∠BEP＝∠BPC＝∠PFC，则∠BAC＝　 　°．

14．已知（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式4a﹣2b+c的值为　 　．
15．若a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝　 　．
16．若23+43+63+83+103+123+143+163+183＝16200，则33+63+93+123+153+183+213+243+273＝　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）﹣22+（π﹣3）0+0.5﹣1；
（2）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）；
（3）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2．
18．先化简再求值：（x﹣2）2+（2+x）（x﹣2）﹣2x（2x﹣1），其中x＝﹣2．
19．积的乘方公式为：（ab）m＝　 　．（m是正整数）．请写出这一公式的推理过程．
20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
21．按图填空，并注明理由．已知：如图，DE∥BC，∠DEF＝∠B．求证：∠A＝∠CEF．
证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠B＝　 　（ 　 　）．
∵∠DEF＝∠B（已知）
∴∠DEF＝　 　．
∴　 　∥EF（ 　 　），
∴∠A＝∠CEF（ 　 　）．

22．如图，AE与AD分别是△ABC的角平分线和高．若∠B＝70°，∠C＝60°，求∠DAE度数．

23．如图，∠1+∠2＝∠AEC．求证：AB∥CD．

24．如图，在边长为1个单位的正方形网格中有一个△ABC（A，B，C是格点），根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关问题．
（1）画出△ABC的高线CH；
（2）①画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的△A′BC；
②连接AA′、BB′，则这两条线段的关系是 　 　．

25．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
（1）试求12☆3和4☆8的值；
（2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．
26．【问题提出】
如图1，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，边长为a的正方形EFGH的边EF在射线AD上移动，BG交射线AP于点M．探索S△GMF，S△BMD与S长方形ABCD之间的数量关系．

【问题思考】
特殊化，如图2，当D，F重合时，．
【问题解决】
一般化，
（1）如图3，当M在AD上，说明．
（2）如图4，当M在DP上，猜想S△GMF，S△BMD与S长方形ABCD之间的数量关系，并说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A．a3÷a2＝a B．（2a）3＝6a3 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a5
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a3÷a2＝a，故A符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab
【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示各自的面积，再由面积之间的关系得出答案．
解：这个正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
组成这个正方形的四个部分的面积分别为a2，ab，ab，b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提．
3．如图，△ABC沿着直线BC向右平移得到△DEF，则①BE＝CF；②AB∥DE；③AG＝DG；④∠ACB＝∠DFE，其中结论正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．②④ D．①③④
【分析】根据平移后两个三角形全等，逐一进行判断即可．
解：∵△ABC沿着直线BC向右平移得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠B＝∠DEF，∠ACE＝∠DFE，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，AB∥DE，
∴BE＝FC，
故①②④正确，
条件不足，无法得到AG＝DG，故③错误．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握平移后的两个三角形全等，是解题的关键．
4．将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　）

A．103° B．104° C．105° D．106°
【分析】互补关系求出∠3，互余关系求出∠4，再用互补关系即可得出结果．
解：如图，

∵∠3＝180°﹣∠1＝16°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝74°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝106°；
故选：D．
【点评】本题考查余角和补角的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
5．为说明命题“若m＞n，则m2＞n2”是假命题，所列举反例正确的是（　　）
A．m＝3，n＝6 B．m＝6，n＝3 C．m＝﹣3，n＝﹣6 D．m＝﹣6，n＝﹣3
【分析】根据所举反例应满足：m＞n，m2≤n2，逐一进行判断即可．
解：A．3＜6，故选项错误，不符合题意；
B．6＞3，62＞32，故选项错误，不符合题意；
C．﹣3＞﹣6，（﹣3）2＜（﹣6）2，可以推出原命题是假命题，故选项正确，符合题意；
D．﹣6＜﹣3，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握举反例时，应满足条件不变，结论相反，是解题的关键．
6．如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是（　　）

A．87464 B．87500 C．87536 D．87572
【分析】根据题意，列式计算即可．
解：∵每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，
∴16个阴影空格中填入的数之和是：61×（86+87+88+89）+62×（86+87+88+89）+63×（86+87+88+89）+64×（86+87+88+89）
＝（61+62+63+64）×（86+87+88+89）
＝250×350
＝87500；
故选B．
【点评】本题考查有理数的混合运算．正确的理解题意，列出算式，是解题的关键．
二、填空题（每题2分，本大题共10小题，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示0.0000084是 　8.4×10﹣6　．
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
解：用科学记数法表示0.0000084是8.4×10﹣6．
故答案为：8.4×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
8．如图，图中以BC为边的三角形的个数为　4　．

【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
9．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处1m宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 　b　m2．

【分析】根据平移的性质可得：草坪可看作长为（a﹣1）m，宽为bm的矩形，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
ab﹣b（a﹣1）
＝ab﹣ab+b
＝b（m2）．
故“曲径”的面积为bm2．
故答案为：b．
【点评】本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式进行计算是解题的关键．
10．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是　直角　三角形．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，代入得出2∠A＝180°，求出即可．
解：∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠A的度数，注意：三角形的内角和等于180°．
11．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是 　②③　（填写所有符合题意的序号）．
【分析】利用三角形的三边关系，逐一进行判断即可．
解：①1+2＝3，不能构成三角形；
②2+3＞4，可以构成三角形；
③3+4＞5，可以构成三角形；
④3+6＝9，不能构成三角形；
综上，能作为三角形的三边长的是②③；
故答案为：②③．
【点评】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边，三条线段能构成三角形，是解题的关键．
12．如图，AB∥DP，AP∥CD．若∠B+∠C＝124°，则∠P＝　56　°．

【分析】延长AP交BC于点E，由平行线的性质可得∠A＝∠APD，∠C＝∠AEB，再由三角形的内角和即可求解．
解：延长AP交BC于点E，如图，

∵AB∥DP，AP∥CD，
∴∠A＝∠APD，∠C＝∠AEB，
∵∠B+∠C＝124°，
∴∠B+∠AEB＝124°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠AEB）＝56°，
∴∠APD＝56°．
故答案为：56．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
13．如图，P是∠BAC内一点，∠ABP＝37°，∠ACP＝25°，过点P作直线EF，交AB，AC分别于E，F．若∠BEP＝∠BPC＝∠PFC，则∠BAC＝　56　°．

【分析】如图，连接BC，由题意知，∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP＝180°，则∠PBC+∠PCB＝118°﹣∠BAC，由∠BEP＝∠BPC＝∠PFC，可知，则，根据∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，即，计算求解即可．
解：如图，连接BC，

由题意知，∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝118°﹣∠BAC，
∵∠BEP＝∠BPC＝∠PFC，
∴，，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴，
解得∠BAC＝56°，
故答案为：56．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
14．已知（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式4a﹣2b+c的值为　0　．
【分析】首先利用多项式的乘法法则，然后根据多项式相等，则对应项的系数相等，据此求得a、b、c的值，然后代入求值即可．
解：（x﹣1）（x+2）
＝x2﹣x+2x﹣2
＝x2+x﹣2
＝ax2+bx+c，
则a＝1，b＝1，c＝﹣2．
故原式＝4﹣2﹣2＝0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了多项式乘法法则以及多项式相等的条件，正确理解多项式的乘法法则是关键．
15．若a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝　13　．
【分析】先把a+b＝5两边平方得（a+b）2＝25，展开为a2+2ab+b2＝25，再整体代入计算即可．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝13．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，一般情况下a2+b2与（a+b）2有着内在的联系，此题经常是通过完全平方式和整体代入ab的值来求得a2+b2的值．
16．若23+43+63+83+103+123+143+163+183＝16200，则33+63+93+123+153+183+213+243+273＝　54675　．
【分析】根据常用的求和公式，找到数的变化规律，根据求解即可．
解：∵23+43+63+83+103+123+143+163+183
＝23×（13+23+33+……+93）
＝
＝16200，
∴33+63+93+123+153+183+213+243+273
＝33×（13+23+33+……93）
＝
＝54675．
故答案为：54675．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，求和公式，积的乘方的逆用，解题的关键是找到数的变化规律．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）﹣22+（π﹣3）0+0.5﹣1；
（2）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）；
（3）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2．
【分析】（1）先分别计算乘方、零指数幂，负整数指数幂，然后进行加法运算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）先计算同底数幂的乘法、除法、积的乘方，然后进行加减运算即可．
解：（1）原式＝＝﹣4+1+2＝﹣1；
（2）原式＝x3+2x2y+4xy2﹣2x2y﹣4xy2﹣8y3＝x3﹣8y3；
（3）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6．
【点评】本题考查了乘方、零指数幂，负整数指数幂，多项式乘多项式，同底数幂的乘法、除法、积的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．
18．先化简再求值：（x﹣2）2+（2+x）（x﹣2）﹣2x（2x﹣1），其中x＝﹣2．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解：原式＝x2﹣4x+4+x2﹣4﹣4x2+2x＝﹣2x2﹣2x．
当x＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝﹣8+4＝﹣4．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．积的乘方公式为：（ab）m＝　ambm　．（m是正整数）．请写出这一公式的推理过程．
【分析】先写出题目中式子的结果，再写出推导过程即可解答本题．
解：（ab）m＝ambm，
推理过程：（ab）m＝
＝
＝
＝ambm
故答案为：ambm．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是明确它们的计算方法．
20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
21．按图填空，并注明理由．已知：如图，DE∥BC，∠DEF＝∠B．求证：∠A＝∠CEF．
证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠B＝　∠ADE　（ 　两直线平行，同位角相等　）．
∵∠DEF＝∠B（已知）
∴∠DEF＝　∠ADE　．
∴　AB　∥EF（ 　内错角相等，两直线平行　），
∴∠A＝∠CEF（ 　两直线平行，同位角相等　）．

【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠ADE，从而利用等量代换可得∠DEF＝∠ADE，然后利用平行线的判定可得AB∥EF，从而利用平行线的性质即可解答．
解：∵DE∥BC（已知），
∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∵∠DEF＝∠B（已知），
∴∠DEF＝∠ADE，
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠CEF（两直线平行，同位角相等），
故答案为：∠ADE；两直线平行，同位角相等；∠ADE；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
22．如图，AE与AD分别是△ABC的角平分线和高．若∠B＝70°，∠C＝60°，求∠DAE度数．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，由角平分线求出∠CAE的度数，根据互余关系求出∠CAD的度数，利用∠CAD﹣∠CAE即可得出结果．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°．
∵∠B＝70°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝50°．
∵AE为∠CAB的角平分线，
∴．
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝30°﹣25°＝5°．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，正确的识图，确定角度之间的和差关系是解题的关键．
23．如图，∠1+∠2＝∠AEC．求证：AB∥CD．

【分析】过点E作EF∥AB，得到∠1＝∠AEF，由∠1+∠2＝∠AEC推出∠2＝∠CEF，得到EF∥CD，即可证明问题．
【解答】证明：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠AEF，
∵∠1+∠2＝∠AEC，∠AEF+∠CEF＝∠AEC，
∴∠1+∠2＝∠AEF+∠CEF，
∴∠2＝∠CEF，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD．

【点评】本题考查平行线的判定，关键是过点E作EF∥AB，推出EF∥CD．
24．如图，在边长为1个单位的正方形网格中有一个△ABC（A，B，C是格点），根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关问题．
（1）画出△ABC的高线CH；
（2）①画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的△A′BC；
②连接AA′、BB′，则这两条线段的关系是 　平行且相等　．

【分析】（1）根据网格即可画出△ABC的高CE2
（2）①根据平移的性质即可画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后的△A′B′C′；
②连接AA′、BB′，结合①即可得这两条线段的关系．
解：（1）如图所示：
（2）①如图所示：
②由平移性质可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，
故答案为：平行且相等．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换、三角形的高，解决本题的关键是掌握平移的性质．
25．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
（1）试求12☆3和4☆8的值；
（2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．
【分析】（1）12☆3＝1012×103＝1015；4☆8＝104×108（1分）＝1012；
（2）因为（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，即证明（a+b）☆c与a☆（b+c）相等．
解：（1）12☆3＝1012×103＝1015；
4☆8＝104×108＝1012；
（2）相等，理由如下：
∵（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，
a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，
∴（a+b）☆c＝a☆（b+c）．
【点评】本题考查了同底数幂运算，熟练运用公式是解题的关键．
26．【问题提出】
如图1，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，边长为a的正方形EFGH的边EF在射线AD上移动，BG交射线AP于点M．探索S△GMF，S△BMD与S长方形ABCD之间的数量关系．

【问题思考】
特殊化，如图2，当D，F重合时，．
【问题解决】
一般化，
（1）如图3，当M在AD上，说明．
（2）如图4，当M在DP上，猜想S△GMF，S△BMD与S长方形ABCD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明△BMA≌△GMF（AAS），则S△BMA＝S△GMF，，结论得证；
（2）同（1）可知△BMA≌△GMF（AAS），则S△BMA＝S△GMF，根据，作答即可．
【解答】（1）证明：在△BMA和△GMF中，
，
∴△BMA≌△GMF（AAS），
∴S△BMA＝S△GMF，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
同（1）可知△BMA≌△GMF（AAS），则S△BMA＝S△GMF，
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质．