2022-2023学年江苏省南京外国语学校河西中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京外国语学校河西中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列调查中，适合采用抽样调查方式的是(    )

A. 调查你所在班级同学的视力情况 B. 调查黄河的水质情况
C. 对旅客上飞机前的安检 D. 检查神州十五号飞船的零部件状况

3.  下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 任意掷两枚均匀的骰子，点数之和一定小于
B. 打开电视，正在播放新闻
C. 三条长度分别为，，的线段可以组成一个三角形
D. 掷一枚硬币，正面朝上

4.  下列说法正确的是(    )

A. 分式的值为零，则的值为
B. 根据分式的基本性质，等式
C. 分式中的，都扩大倍，分式的值不变
D. 分式是最简分式

5.  如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )

A. 当时四边形是菱形
B. 当时四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时四边形是正方形
 

6.  如图，在矩形中，是的中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作▱，且点、分别在、上在动点运动的过程中，▱的面积(    )

A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  当 ______ 时，分式有意义．

8.  八年级某班名同学的一次小测成绩被分成组，第至组的频数分别为、、、，则第组的频率是        ．

9.  用反证法证明命题“若，则”时，应假设______ ．

10.  如图，转动转盘待停止后，指针落在______ 区域的可能性最小，指针落在______ 区域的可能性最大．

11.  格力公司管理层要了解近五年格力空调的销售量变化趋势，市场调研部门最应该提供的统计图是        ．

12.  如图，在▱中，，，的平分线交于点，则的长是______ ．

13.  如图，在中，，分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点连接、若，则 ______ ．

14.  如图，正方形的对角线与相交于点，的平分线分别交、于、两点，若，则正方形的边长为        ．

15.  如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点若线段，则的长为______ ．

16.  如图，在中，，，，为上的动点，以为斜边向右侧作等腰，使，连接，则线段的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  先化简，再求值，其中．

四、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：

假如摸一次，摸到黑球的概率 ______ ；
试估算盒子里黑颜色的球有多少只？

21.  本小题分
为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图图中信息不完整已知、两组捐款户数的比为：．
捐款户数分组统计表

请结合以上信息解答下列问题
       ，本次调查样本的容量是        ；
补全“捐款户数分组统计图”；
若该社区有户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于元的户数是多少？

22.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

将向右平移个单位长度得到，请画出．
画出关于点的中心对称图形．
若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为        ．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形．
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．
求证：四边形是矩形；
若，，求边的长．

25.  本小题分
已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．保留画图痕迹，不写画法
在图中，画，垂足为；
在图中，画，垂足为．
 

26.  本小题分
概念理解
一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
类比研究
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究．请根据示例图形，完成表．

演绎论证
证明等腰梯形有关角和对角线的性质．
已知：在等腰梯形中，，，、是对角线．
求证：______．
证明：
揭示关系
我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系．

请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：调查你所在班级同学的视力情况，工作量比较小，适合全面调查；
B.调查黄河的水质情况工作量非常大，适合抽样调查；
C.对旅客上飞机前的安检非常重要，适合全面调查；
D.检查神州十五号飞船的零部件状况非常重要，适合全面调查．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可．
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：、任意掷两枚均匀的骰子，点数之和一定小于，是必然事件，符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
C、三条长度分别为，，的线段可以组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
D、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案．
【解答】
解：、分式的值为零，则的值为，故此选项错误；
B、根据分式的基本性质，等式，故此选项错误；
C、分式中的，都扩大倍，分式的值扩大为倍，故此选项错误；
D、分式是最简分式，正确；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
又不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，，，，
连接，

四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，

，，
≌，
同理≌，




，
是的中点，
，
，
，
故选：．
设，，，，根据，由是的中点可得，进而判断．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．
先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：第组的频数为：，
第组的频率为：．
故答案为：．
根据第组的频数，求出第组的频数，即可确定出其频率．
本题考查频数与频率，解题的关键是熟练运用频数与频率的关系，本题属于基础题型．用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和．
 

9.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“若，则”时，应假设．
故答案为：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

10.【答案】黑色  红色 

【解析】解：红色的面积最大，黑色的面积最小，
转动转盘待停止后，指针落在黑色区域的可能性最小，指针落在红色区域的可能性最大．
故答案为：黑色，红色．
首先观察扇形图可得：红色的面积最大，黑色的面积最小，继而可求得答案．
此题考查了几何概率的知识．注意掌握几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

11.【答案】折线统计图 

【解析】解：格力公司管理层要了解近五年格力空调的销售量变化趋势，市场调研部门最应该提供的统计图是折线统计图，
故答案为：折线统计图．
根据折线统计图的特点，即可解答．
本题考查了统计图的选择，熟练掌握折线统计图的特点是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，然后由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得答案．
此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图．
分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
．
故答案为：．
首先根据作图得出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解即可．
本题考查了菱形的判定与性质，根据作图得出，进而判定四边形是菱形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
四边形为正方形，
，
，
平分，
，
在中，，
，
故答案为：．
作于，如图，根据正方形的性质得，则为等腰直角三角形，再求出，根据勾股定理即可求得．
本题考查了正方形，掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长，交于点，连接，

四边形为菱形，，
，
，，
点为的中点，
，
，
≌，
，，
点为的中点，点为的中点，
，
，分别为和的中点，
是的中位线，
，
，，
，
．
故答案为：．
连接并延长，交于点，连接，根据菱形的性质以及已知条件证明≌，得出，进而证明是的中位线，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，根据中位线的性质即可求解．
本题考查了菱形的性质，中位线的性质，勾股定理，添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于点，连接，
因为两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短，
所以当、、三点在同一直线上，且时，最短，
为等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
，，
，
为等边三角形，
，，，
．
根据两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短，所以当、、三点在同一直线上，且时，最短，由为等腰直角三角形，得到，可知垂直平分，所以，再由已知得到为等边三角形，从而得到，，，最后即可求出的值．
本题考查了线段的最小值，熟练掌握含角和角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：

；





． 

【解析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解；
根据分式与整式的加减进行计算即可求解．
本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】首先证得≌，得到，再根据平行四边形的判定定理即可求证．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：当很大时，摸到白球的频率将会接近，
摸到白球的概率为，
假如摸一次，摸到黑球的概率，
故答案为：．
盒子里黑颜色的球有只．
根据频率估计概率，概率的意义即可求解；
根据摸到黑球的频率即可得到白球数目
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
 

21.【答案】   

【解析】解：组的频数是：
；
调查样本的容量是：
，
故答案为：，；
组的频数是：，如图．

，
全社区捐款不少于元的户数是户；
答：估计全社区捐款不少于元的户数是户．
根据组的户数和所占的份数，计算每一份有户，组的频数是，样本的容量、两组捐款户数、两组捐款户数所占的百分比；
组的频数样本的容量组所占的百分比；
捐款不少于元的有、两组，捐款不少于元的户数、两组捐款户数所占的百分比；
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
旋转中心的坐标为，
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，对角线，交于点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，为中点，
． 

【解析】根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：由折叠可知，，，
，
，
，
同理，，
四边形是矩形；
解：，
，
，，
由折叠的性质，
，
，
在与中，
，
≌，
，
．
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】由折叠可知，，，再由，可得，同理可得，即可证明四边形是矩形；
证明≌，得出，进而得出，勾股定理得出，等面积法求得，继而根据折叠的性质即可求解．
本题考查了矩形的性质与判定，矩形的折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】连接、，它们相交于点，延长交于，则；
连接交于点，延长交于，连接交于，则可证明≌得到，再证明，则．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
 

26.【答案】中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
同一底上的两个角相等；
对角线相等；
，，；
方法一：
证明：过点作，交于点 

，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，即，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．

方法二：
证明：分别过点、作于点、于点 

，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在和中，

≌，
，即，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
如图所示．
 

【解析】解：中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
同一底上的两个角相等．
对角线相等．
，， 
故答案分别为中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等；，， 
见答案．


根据平行四边形、等腰梯形的性质即可解决问题．
结论：，，．
方法一：过点作，交于点 首先证明四边形是平行四边形，推出，又，推出，推出，推出，即，由，推出，，由，推出，再证明≌即可解决问题．
方法二：分别过点、作于点、于点 由≌，推出，即，由，推出，，由，推出，再证明≌，即可．
模仿三角形和一些特殊三角形之间的关系，画出图形即可．
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等腰梯形的性质的证明、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会圆转化的思想思考问题，把四边形问题转化为三角形问题解决，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．