2022-2023学年江苏省南京师大附中新城中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年江苏省南京师大附中新城中学八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. “新城初中”四个字中，可看成轴对称图形的是(    )

A. 新 B. 城 C. 初 D. 中

2. 若三角形的三边长为，，，且，则这个三角形是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

3. 下列说法：斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
   其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，若，，则直接判定≌的理由是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

6. 如图，四边形是正方形，，分别在边，上，且设，，则与之间的关系为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 如图，中，，，，若是的中线，则______．

8. 如图，中，，，，若是的高线，则______．

9. 如图，中，，，，若是的角平分线，则______．

10. 等腰三角形的两边长分别为和，则三角形周长为______ ．
11. 如图，≌，，分别与交于点，若，，则______

12. 如图，，，，分别是正方形各边的六等分点．依次连接对应点，得到线段与，则图中所有与线段相等的线段为______．

13. 如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，则______

14. 将四个全等的直角三角形分别拼成正方形如图，，边长分别为和若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形如图，其面积分别为，则______．
     
15. 如图，，交于点若，则______

16. 如图，在中，，若，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，为平分线上一点，交于点．
    求证：．
     
18. 本小题分
    如图：在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    的面积为______；

19. 本小题分
    今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？
20. 本小题分
    已知：如图，在中，，求证：．

21. 本小题分
    已知：如图，射线．
    求作：，使得要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹

22. 本小题分
    如图，在和中，，，求证．

23. 本小题分
    如图，和相交于点，，．
    求证．
    分别过点、作、的垂线，交于点若，，求的长．

24. 本小题分
    如图，和都为等腰直角三角形，，且点为线段上一个动点．
    求证；
    为上一点．若，则的最短长度为______；
    若，，则______．

25. 本小题分
    定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．
    下列三角形一定是“超厉害三角形”的是______．
    A.直角三角形
    B.等腰三角形
    C.等腰直角三角形
    D.等边三角形
    如图，是“超厉害三角形”，且若正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的面积是______．
    若是“超厉害三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______．
    如图，在四边形中，，是四边形外一点，且，求证：是“超厉害三角形”．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项D的汉字“中”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项A、、中的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
是直角三角形，
故选：．
根据，可以得到，然后根据勾股定理的逆定理即可判断该三角形的形状．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

已知：和，，，，，，
求证：≌，
证明：设点，分别为，的中点，则，
于，于，
，
≌，
，
，，
，，
，，
，
≌，故正确；
两个锐角分别等的两个直角三角形不一定全等，故不正确；
斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形可利用得出两个直角三角形全等，故正确；
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可利用得出两个直角三角形全等，故正确．
其中所有正确结论的序号是，
故选：．
根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌．
故选：．
由于，，再加上公共边，则可根据“”判断≌．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

5.【答案】 

【解析】解：当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
根据图形可知点符合．
故选：．
根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转得到，

≌，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
，
．
故选：．
将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质证明≌，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解决本题的关键是得到≌．
 

7.【答案】 

【解析】解：中，，，
．
是的中线，
．
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：中，，，
．
是的高线，
，即，解得．
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，则，再由，
是的角平分线，，
，
，设，则．
，，
，
∽，
，
，
，解得，
．
在中，．
故答案为：．
过点作于点，则，再由，是的角平分线可知，故CD，设，则，再由相似三角形的性质求出的值，利用勾股定理即可得出的长．
本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当为腰时，三边为，，，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形；
当为腰时，三边为，，，符合三角形三边关系定理，周长为：．
故答案为：．
根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三角形三边关系定理，分别讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
≌，
，
故答案为：．
根据三角形的没结婚的了和全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】，， 

【解析】解：由题意可知，，，，分别是正方形各边的六等分，

，，，
≌≌≌，
与线段相等的线段为，，，
故答案为：，，．
根据正方形的性质、全等三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，是等边三角形，
，，，
．
．
故答案为：．
根据题意知是等腰三角形，且根据三角形内角和定理及等腰三角形性质可求出底角的度数，然后利用等边三角形的性质即可求解．
此题考查了正方形、等边三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，，
根据图得：，
根据图得：，
联立解得：，
，
，
则．
故答案为：．
首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，，然后根据图、列出关于、的方程组即可求解．
此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形三角形内角和定理可得，进一步即可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作，与的延长线交于点，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
，
，，
．
故答案为：．
过点作于点，过点作，与的延长线交于点，证明≌，求得与，由勾股定理便可求得．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，关键在于构造全等三角形．
 

17.【答案】证明：平分，
，
，
两直线平行，内错角相等，
等量代换，
等角对等边． 

【解析】此题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，熟记等腰三角形的判定及平行线的性质是解题的关键．
由角平分线的定义可得，由两直线平行，内错角相等可得，则，由等角对等边即可得解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

的面积为，
故答案为：．
根据轴对称的性质，找出关键点、即可；
利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可．
本题主要考查了作图轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设折断处离地面尺，
根据题意可得：，
解得：．
答：折断处离地面尺． 

【解析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
 

20.【答案】证明：作斜边上的中线，则，
，，
．
．
是等边三角形，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得，再证明是等边三角形，即可证明结论．
本题主要考查了含度角的直角三角形，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】首先作等边三角形，再作的平分线即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

22.【答案】证明：如图，过作于点，过作于点，
则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】过作于点，过作于点，先证≌，得，再证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接，

由知，≌，
，
，，
，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】证明≌，即可得出结论；
连接，由全等三角形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，然后由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】证明：和都为等腰直角三角形，，
，，，，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，

，，
，
点在过点垂直于的射线上运动，
当时，有最小值，
，，，
，
故答案为：；
≌，
，
都为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得；
由可得点在过点垂直于的射线上运动，即当时，有最小值，即可求解；
由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】    

【解析】解：设等边三角形的边长为，
，
等边三角形一定是“超厉害三角形”；
故答案为：．
解：正方形和正方形的面积分别是和，
，，
是“超厉害三角形”，且，
，
，
，
正方形的面积是；
故答案为：；
解：是“超厉害三角形”，
是等腰直角三角形，
一条直角边长为，
斜边长；
故答案为：；
证明：如图，连接，

，
和均为直角三角形，
在中，，
，
，
即，
在中，，
，
，，
，
是“超厉害三角形”．
根据题中所给的“超厉害三角形”的定义及等边三角形的定义即可得出答案；
根据“超厉害三角形”的定义可得出，再根据已知可得，即可得出答案；
如果直角三角形是“超厉害三角形”，则这个三角形是等腰直角三角形，从而可以得出答案；
连接，证得，可得出，根据“超厉害三角形”的定义可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了“超厉害三角形”、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握新定义和勾股定理是解题的关键．