2022-2023学年江苏省南京五十中等四校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京五十中等四校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京五十中等四校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 汉字是中华民族几千年文化的瑰宝，更是民族灵魂的纽带.以下是“南京小镇”四个字的篆体，其中能看作既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 南京市今年共约有65000名考生参加体育中考，为了了解这65000名考生的体育成绩，从中抽取了2000名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是(    )
A. 该调查方式是普查
B. 每一名考生是个体
C. 抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本
D. 样本容量是2000名考生
3. 如果分式x−3x+1有意义，那么x的取值范围是(    )
A. x≠−1 B. x>−1 C. x=3 D. x=0
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，添加选项中的条件后不能判定四边形BFDE是平行四边形的是(    )

A. BE//DF B. BE=DF C. BF=DE D. AE=CF
5. 若4−kx−2表示的是一个最简分式，则k可以是(    )
A. 4 B. x C. 2x D. x2
6. 如图，图①是表示四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，在图②的四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，四边形ABCD称为筝形.若用阴影部分在图①中画出筝形的大致区域，下列画图正确的是(    )


A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. “双减”过后，某市教育局想要了解全市八年级学生的数学课后作业完成的时间，这种调查适合采用______ 的方式.(填“普查”或“抽样调查”)
8. 如果分式2−|x|x−2的值为0，那么x的值是______ ．
9. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘(转盘均被等分)，小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______ .(填序号)

10. 分式14x2yz和16xy2的最简公分母是______ ．
11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AD，垂足为E，若AB=6，则OE的长为______ ．


12. 一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同.从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n= ______ ．
13. 若a3=b2，则a+3b2a−b= ______ ．
14. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=30°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，得到四边形AB′C′D′，连接B′D，若∠BAD′=84°，则∠ADB′的度数为______ ．


15. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点P在AC上运动，以CE为边向外作正方形CFGE，连接PD、PG，若BC=2，则PD+PG的最小值为______ ．


16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，点M在边BC上，点N在直线CD上，且M是BC的中点，连接AM、MN，若AM=MN=2，则DN的长为______ ．



三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题7.0分)
计算：
(1)1x+3+6x2−9；
(2)m1+m÷m2−1m2+2m+1．
18. (本小题6.0分)
先化简，(a2a−2−a)÷4aa2−4，然后从−2、0、1、2中选一个你喜欢的值代入求值．
19. (本小题6.0分)
草长莺飞二月天，某校近期打算组织八年级600名学生进行春游活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：华昌龙之谷、B地：珍珠泉、C地：红山动物园、D地：南京国防园(每位同学只选一个地点)，根据调查结果制作了如下统计图．

由图中给出的信息解答下列问题：
(1)所抽取的样本容量为______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为______ ；
(4)请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去红山动物园的学生有多少人？
20. (本小题6.0分)
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似看成点)，记录如下：
掷小石子所落的总次数(小石子所落的有效区域内，含边界)m
50
150
300
600
…
小石子落在正方形内(含正方形边上)的次数n
10
35
78
149
…
n：m
0.200
0.233
0.257
0.248
…

(1)根据如表，如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内(含正方形边上)的概率约为______ (精确到0.01)；
(2)当掷小石子所落的总次数m=1000时，小石子落在正方形内(含正方形边上)的次数n最可能为______ ；
A.105
B.249
C.518
D.815
(3)请你利用(1)中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积约是多少平方米？
21. (本小题6.0分)
(1)如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在⊙O上，仅用无刻度的直尺画出△ABC关于点O的中心对称图形．

(2)如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．
22. (本小题7.0分)
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，E、F分别是对角线BD上两点，且BE=DF．

(1)求证：∠AFD=∠CEB；
(2)若OA=OE，求证：四边形AECF是矩形．

23. (本小题6.0分)
已知：如图线段m，n．
(1)作一个菱形，使它的边长为m，一条对角线为n(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若m=13，n=10，求该菱形的高．

24. (本小题7.0分)
如图，BD，CE分别为△ABC的中线，BD，CE交于点G，点M，N分别是BG，CG的中点.求证：
(1)EM//DN；
(2)CG=2EG．

25. (本小题8.0分)
定义：若两个分式A与B满足：|A−B|=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．
(1)下列三组分式：①1a+1与4a+1；②4aa+1与a−3a+1；③a2a−1与7a−32a−1.其中互为“美妙分式”的有______ (只填序号)；
(2)求分式a2a+1的“美妙分式”；
(3)若分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，且a、b均为不等于0的实数，求分式2a2−b2ab的值．
26. (本小题9.0分)
已知：如图，在矩形ABCD中，AB=7，BC=3.在AD上取一点E，AE=1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上.若AF=x，△BFM的面积为S．
(1)如图1，当四边形EFMN是正方形时，x的值为______ ，S的值为______ ；
(2)如图2，当四边形EFMN是菱形时，
①求证：∠DNE=∠MFB；
②求S与x的函数关系式；
(3)当x ______ 时，△BFM的面积S最大；当x= ______ 时，△BFM的面积S最小；
(4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：______ ．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A.该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B.每一名考生的体育成绩是个体，故B不符合题意；
C.抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本，故C符合题意；
D.样本容量是2000，故D不符合题意；
故选：C．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

3.【答案】A 
【解析】解：分式x−3x+1有意义，
则x+1≠0，
解得：x≠−1．
故选：A．
直接利用分式有意义的则分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵BE//DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
由BE=DF，不能判定四边形BFDE是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：A、原式=0，不符合题意；
B、原式=4−xx−2，符合题意；
C、原式=4−2xx−2=−2(x−2)x−2=−2，不符合题意；
D、原式=4−x2x−2=−(x+2)(x−2)x−2=−(x+2)=−x−2，不符合题意．
故选：B．
把选项中的各式代入分式，利用最简分式定义：分式的分子分母没有公因式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的判定方法是解本题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵平行四边形的对边平行且相等，且菱形和正方形都是特殊的平行四边形，而筝形中AB=AD，CB=CD，
∴筝形属于四边形中的一个小类，而不属于平行四边形这一类，
则A符合题意，B，C，D均不符合题意，
故选：A．
根据筝形的性质，结合特殊平行四边形的性质进行判断即可．
本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，掌握它们的性质是解题的关键．

7.【答案】抽样调查 
【解析】解：“双减”过后，某市教育局想要了解全市八年级学生的数学课后作业完成的时间，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
根据全面调查与抽样调查的特点解答即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的关键．

8.【答案】−2 
【解析】解：由题意得：2−|x|=0，且x−2≠0，
解得：x=−2，
故答案为：−2．
根据分式值为零的条件可得2−|x|=0，且x−2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

9.【答案】③①② 
【解析】解：根据“指针落在灰色区域内”的可能性大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为③①②．
故答案为：③①②．
指针落在阴影区域内的可能性是：阴影面积总面积，比较阴影部分的面积即可．
此题主要考查了可能性大小的比较：只要总情况数目(面积)相同，谁包含的情况数目(面积)多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况(面积)相当，那么它们的可能性就相等．

10.【答案】12x2y2z 
【解析】解：∵分式14x2yz和16xy2的分母分别是4x2yz，6xy2，其中系数的最小公倍数是12，字母的最高次幂的积是x2y2z，
∴最简公分母是12x2y2z.
故答案为：12x2y2z.
分式14x2yz和16xy2的最简公分母等于各个分式分母系数的最小公倍数与字母的最高次幂的积的乘积．
本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

11.【答案】3 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，点O是BD的中点，
∵OE⊥AD，
∴AB//OE，
∴OE是Rt△ABD的中位线，
∴OE=12AB=3．
故答案为3．
先根据矩形的性质得出OE//AB，再由点O是BD的中点得出OE是Rt△ABD的中位线，所以OE=12AB=3．
本题考查了矩形的性质和三角形的中位线的性质，培养学生综合运用知识解题的能力．

12.【答案】1 
【解析】解：一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n=1，
故答案为：1．
根据必然事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

13.【答案】94 
【解析】解：∵a3=b2，
∴2a=3b，
∴a=32b，
则a+3b2a−b=32b+3b3b−b=92b2b=94．
故答案为：94．
直接利用已知得出a=32b，进而代入化简得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形代入是解题关键．

14.【答案】78° 
【解析】解：∵∠BAD=∠B′AD′=30°，∠BAD′=84°，
∴∠DAB′=∠BAD′−∠BAD−∠B′AD′=84°−30°−30°=24°，
∵AD=AB′，
∴∠ADB′=12(180°−24°)=78°．
故答案为：78°．
利用角的和差定义求出∠DAB′=54°，再利用等腰三角形的性质解决问题．
本题考查作图−旋转变换，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

15.【答案】 10 
【解析】解：如图：连接BG，交AC于点P．

∵B与D关于直线AC对称，
∴PD+PG的最小值是BG的长，
∵正方形ABCD的边长为2，E为DC的中点，
∴CE=GE=1，BF=3，
在Rt△BFG中，DE= BF2+GF2= 32+12= 10，
则PB+PE的最小值是 10；
故答案为： 10．
根据正方形的轴对称性可知，D点关于AC的对称点为B点，连接BG，根据勾股定理求出BG的长，进而得到答案．
本题主要考查的是轴对称−最短路径问题、正方形的性质，掌握轴对称−最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．

16.【答案】6或154 
【解析】解：当点N为AM与DC的延长线的交点时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，CD=AB=3，
∴∠MCN=∠B，
∵M是BC的中点，BC=5，
∴CM=BM=12BC=12×5=52，
在△NCM和△ABM中，
∠MCN=∠BCM=BM∠NMC=∠AMB，
∴△NCM≌△ABM(ASA)，
∴NM=AM=2，NC=AB=3，
∴AM=MN=2，DN=CD+NC=3+3=6；
当点N′在CN上，且AM=MN′=2时，则MN′=MN，
作ME⊥CN于点E，则∠MEN=∠MEC=90°，EN=EN′，
∵MN2−EN2=CM2−CE2=ME2，且CE=3−EN，
∴22−EN2=(52)2−(3−EN)2，
∴EN=98，
∴NN′=2EN=2×98=94，
∴DN′=6−94=154，
故答案为：6或154．
分两种情况，一是点N为AM与DC的延长线的交点，可证明△NCM≌△ABM，得NC=AB=3，此时AM=MN=2，DN=6；二是点N′在CN上，且AM=MN′=2，则MN′=MN，作ME⊥CN于点E，则EN=EN′，由勾股定理得22−EN2=(52)2−(3−EN)2，则EN=98，可求得DN′=154，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：(1)1x+3+6x2−9
=x−3(x+3)(x−3)+6(x+3)(x−3)
=x−3+6(x+3)(x−3)
=x+3(x+3)(x−3)
=1x−3；
(2)m1+m÷m2−1m2+2m+1
=mm+1⋅(m+1)2(m−1)(m+1)
=mm−1． 
【解析】(1)先通分，再计算加法；
(2)先因式分解，将除法变为乘法，再约分计算即可求解．
本题考查了分式的混合运算．分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．

18.【答案】解：(a2a−2−a)÷4aa2−4
=a2−a(a−2)a−2⋅(a+2)(a−2)4a
=a2−a2+2aa−2⋅(a+2)(a−2)4a
=2aa−2⋅(a+2)(a−2)4a
=a+22，
∵a=±2，0时，原分式无意义，
∴a=1，
当a=1时，原式=1+22=32． 
【解析】先通分括号内的式子，然后计算除法，再从−2、0、1、2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

19.【答案】80  36° 
【解析】解：(1)所抽取的样本容量为：32÷40%=80，
故答案为：80；
(2)B地的人数为：80−32−24−8=16，
补全条形统计图如下：

(3)扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为：360°×880=36°，
故答案为：36°；
(4)600×2480=180(人)，
答：估计该校八年级最喜欢去红山动物园的学生大约有180人．
(1)用A地的人数除以A地所占百分百可得答案；
(2)用样本容量分别减去其他三地的人数可得B地人数，进而补全条形统计图；
(3)用360°乘D地人数所占比例可得答案；
(4)用该校八年级人数乘样本中最喜欢去红山动物园的学生所占比例可得答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】解：(1)0.25；
(2)B；
(3)设封闭图形的面积为a，
根据题意得：(0.5)2a=0.25，
解得：a=1，
估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米． 
【解析】
解：(1)观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在正方形内(含正方形边上)的频率值稳定在0.25，
所以如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内(含正方形边上)的概率约为0.25；
故答案为0.25；
(2)当掷小石子所落的总次数m=1000时，小石子落在正方形内(含正方形边上)的次数n最可能为1000×0.25=250，
只有249比较接近，
故答案为B；
(3)见答案．
【分析】
(1)观察数据，找到稳定值即可，大量试验时，频率可估计概率；
(2)利用概率公式解答；
(3)利用概率公式，求出正方形的面积比总面积的值，计算出总面积．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．  
21.【答案】解：(1)如图①中，△A′B′C′即为所求；
(2)如图②中，点O即为所求．
 
【解析】(1)分别作出A，B，C关于点O的对称点A′，B′，C′即可；
(2)正方形的对角线的交点即为旋转中心．
本题考查作图−旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠ADF=∠CBEDF=BE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD=∠CEB；
(2)∵△ADF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠CEF，
∴AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∵OA=OE，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD=CB，且AD//CB，证明△ADF≌△CBE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠AFD=∠CEB；
(2)证明四边形AECF是平行四边形，证出AC=EF，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)如图，菱形ABCD即为所求；

(2)设菱形的高为h．
由题意OA=OC=5，AD=13，AC⊥BD，
∴OD=OB= AD2−AO2= 132−52=12，
则有13×h=12×10×24，
∴h=12013． 
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用勾股定理求出OD=OB=12，再利用面积法求解．
本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

24.【答案】证明：(1)连接AG，
∵BD，CE分别为△ABC的中线，点M，N分别是BG，CG的中点，
∴AE=BE，BM=GM，AD=CD，CN=GN，
∴EM//AG，DN//AG，
∴EM//DN；
(2)由(1)知AE=BE，BM=GM，AD=CD，CN=GN，
∴EM=12AG，DN=12AG，
∴EM=DN，
∵EM//DN，
∴∠MEG=∠DNG，∠EMG=∠NDG，
∴△EMG≌△NDG(ASA)，
∴EG=GN，
∴CG=2EG． 
【解析】(1)连接AG，根据三角形中位线定理即可得到结论；
(2)根据三角形中位线定理得到EM=DN，根据平行线的性质得到∠MEG=∠DNG，∠EMG=∠NDG，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．

25.【答案】②③ 
【解析】解：(1)①|1a+1−4a+1|=|−3a+1|≠3；②|4aa+1−a−3a+1|=|3a+3a+1|=3；③|a2a−1−7a−32a−1|=|−6a+32a−1|=|−3|=3；
故答案为：②③．

(2)设分式a2a+1的“美妙分式”为A，则|A−a2a+1|=3，
所以，A=a2a+1+3，或A=a2a+1−3．
当A=a2a+1+3时，A=a2a+1+3=a2a+1+6a+32a+1=7a+32a+1；
当A=a2a+1−3时，A=a2a+1−3=a2a+1−6a+32a+1=−5a−32a+1=−5a+32a+1；
故a2a+1的“美妙分式”为7a+32a+1或−5a+32a+1．

(3)由题意可得：|4a2a2−b2−aa+b|=3，
即|−3a2−aba2−b2|=3．
 所以，3a2+aba2−b2=3，或者3a2+aba2−b2=−3．
当3a2+aba2−b2=3时，化简得3b2+ab=0，即b(3b+a)=0，
又因为a，b均不等于0，所以，3b+a=0，即a=−3b，
所以，2a2−b2ab=18b2−b2−3b2=17b2−3b2=−173．
当3a2+aba2−b2=−3时，化简得6a2−3b2+ab=0，即ab=−(6a2−3b2)，
所以，2a2−b2ab=2a2−b2−(6a2−3b2)=2a2−b2−3(2a2−b2)=−13．
故2a2−b2ab的值为−173或−13．
本题虽有新定义，但其实就是考查分式的加减法．只要理解了什么是互为“美妙分式”，剩下的就是分式的加减运算问题．
第(1)问就是计算每组两个分式差的绝对值，结果是3即为互为“美妙分式”，否则就不是互为“美妙分式”．
第(2)问其实就是求与a2a+1的差的绝对值是3的代数式，也就是求a2a+1+3，与a2a+1−3的值．
第(3)问就是根据|4a2a2−b2−aa+b|=3推出a与b的关系，再代入到所求分分式中求值即可．
分式加减乘除运算的考查有时是直接给出算式计算，这种会简单一些；有时就像本题一样会通过新定义、实际情景等方式让学生自己列出式子再运算，这时难度会稍大一些，在解题时一定要认真审题，先保证所列式子是正确的，再进行正确运算即可．

26.【答案】2  5  3 267  7− 3 
【解析】(1)解：如图1中，

∵四边形EFMN是正方形，
∴EF=EN，∠FEN=∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEN=90°，
∴∠AFE=∠DEN，
∴△AEF≌△DNE(AAS)，
∴AF=DE，
∵AD=3.AE=1，
∴DE=2，
∴x=AF=2．
过点M作MH⊥FB于点H.同法可证△MHF≌△FAE，
可得MH=AF=2，
∴S=12⋅FB⋅MH=12×5×2=5．
故答案为：2，5；

(2)①证明：如图2中，

如图，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF=90°，∠MQF=∠A
∵四边形FEMN是菱形，
∴EN=FM，EN//FM，
∴∠ENF=∠NFM，
∵矩形ABCD中，DC//AB，
∴∠DNF=∠NFQ，
∴∠DNF−∠ENF=∠NFQ−∠NFM，即∠DNE=∠MFQ，
②解：∵∠D=∠FQM=90°，∠QNE=∠MFQ，NE=FM，
∴△DNE≌△QFM(AAS)，
∴MQ=DE=2，
∵AB=7，AF=x，
∴S△FBM=12×FB×MQ=12×(7−x)×2=7−x．
∴S与x的函数关系式S=7−x；

(3)①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，
在Rt△AEF中，x= 22−12= 3，
∴S的最大值=7− 3．
②如图4中，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小，
此时易证CN=AF=x，
∵EN=EF，
∴1+x2=22+(7−x)2，
∴x=267，
∴S的最小值为267．

故答案为： 3，267．

(4)如图3中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长=BF的长=7− 3，
故答案为：7− 3．
(1)只要证明△AEF≌△DNE即可解决问题；
(2)①连接FN，理由平行线的性质证明即可；
②如图，作MQ⊥FB于Q，想办法证明△DNE≌△QFN，可得MQ=DE=2，由此即可解决问题；
(3)①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，在Rt△AEF中，x= 22−12= 3，S的最大．②如图4中，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小；
(4)如图3中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长=BF的长=7− 3；
本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题．