2022-2023学年江苏省南京十三中红山校区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京十三中红山校区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.“两次投掷一枚硬币，两次正面朝上”这一事件是( )
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件
3.下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是( )
A. 了解某品牌LED灯的使用寿命B. 了解全市每年使用塑料袋的个数
C. 了解某远程弹道导弹的飞行距离D. 了解八年级(1)班学生的近视情况
4.下列从左到右变形正确的是( )
A. ab=acbcB. ab=a−cb−cC. a3b3=abD. ac2bc2=ab
5.将分式2xy3x+2y中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变B. 扩大为原来的2倍C. 扩大为原来的4倍D. 缩小到原来的12
6.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分
7.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是BC边上异于BC中点的一点，∠ADE=∠DAC，DE=AC.运用这个图(不添加辅助线)可以说明下列哪一个命题是假命题
( )
A. 有一组对边平行的四边形是矩形
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8.如图，Rt▵ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC= 2，将▵ABC绕点C逆时针旋转60∘，得到▵MNC，连结BM，则BM的长是( )
A. 3+1B. 4C. 2+2D. 7
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.使分式1x−1有意义的x的取值范围是_________．
10.当x=________时，分式x2−4x+2的值为零．
11.分式12x，x4y2的最简公分母是_________．
12.平行四边形ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠B=_________度．
13.如图，为某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出奶油口味雪糕的数量是_____支．
14.如图，在菱形ABCD中，若AC=12，BD=16，则菱形ABCD边长是___．
15.如图，在矩形ABCD中，AD=10,AB=6，点E为BC上的一点，EA平分∠BED，则BE的长为_____．
16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件________时(填一个条件)，能够判定四边形ACED为菱形．
17.如图，矩形ABCD中，AB=15，AD=8，E为CD边的中点，P为AB边上的一动点(含端点)，F为CP的中点，则EF长度的最大值为___________________．
18.如图，在▵ABC中，若∠BAC=45∘，AD⊥BC，BD=3，AD=9，CD=________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)根据分式的基本性质填空：2m−3= m2−9；
(2)先化简，再求值：2x2−8y2x2+4xy+4y2，其中x=2，y=15．
20.(本小题8分)
如图，某商场活动中，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘上分别由一等奖、二等奖、三等奖区域组成．规定：顾客购物50元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
(1)完成上述表格：a=______，b=_______；
(2)假如你去转动该转盘一次，你获得“一等奖”的概率约是________.(精确到0.01)
21.(本小题8分)
学校准备购买一批课外读物．学校就“我最喜爱的课外读物”从“文学”“艺术”“科普”和“其他”四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图如图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查，样本容量是_________；
(2)①条形统计图中，n=_________；
②扇形统计图中，其他类读物所在扇形的圆心角的度数是_________；
(3)若该校有1500名学生，试估计喜欢艺术类读物的学生有多少人？
22.(本小题8分)
在▵ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，EF/​/AB，求证：F是BC中点．
23.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，D是BC中点，过点D作DE/​/AC，连接AE、BE，若EB⊥BC，求证：四边形AEBD是矩形．
24.(本小题8分)
阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数．
例如：53=1+23=113．
类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：x+1x=1+1x,x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1．
材料2：为了研究字母x和分式6x得变化关系，小明制作了如下表格：
请根据上述材料完成下列问题：
(1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；
x+6x=_______，2x+2x−2=_______．
(2)随着x值的变化，分式x+6x的值是如何变化的？
(3)当x大于2时，随着x的增大，分式2x+2x−2的值无限趋近于一个数，这个数是_______．
25.(本小题8分)
如图，折叠平行四边形纸片ABCD，使得B落在对角线AC上的M处，得到折痕AE，使得D落在对角线AC上的N处，得到折痕CF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠BAE=13∠BAD，连接EN、FM，求证：四边形NEMF是菱形．
26.(本小题8分)
已知直线l及直线外l有一点A.请仅用圆规按下列要求作图．
(1)在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；
(2)在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．(保留作图痕迹，写出必要的说明)
27.(本小题8分)
【概念认识】
在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点(不含端点)，若四边形EFGH为菱形，则称四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形．
【初步研究】
(1)如图①，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，对角线EG、FH都经过点O，且EG⊥FH，求证：四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形．
【深入思考】
(2)在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，若矩形ABCD的内接菱形EFGH有一条对角线长为a，
①如图②，已知线段a，利用直尺和圆规，在矩形ABCD中作出菱形EFGH.(保留作图痕迹，不写作法)
②直接写出矩形ABCD中存在的满足条件的内接菱形EFGH的个数及对应的a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、不属于中心对称图形；
B、属于中心对称图形；
C、不属于中心对称图形；
D、不属于中心对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据事件发生的 可能性大小判断．
【详解】解：“两次投掷一枚硬币，两次正面朝上”这一事件是随机事件，
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】A.了解某品牌LED灯的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故 A不符合题意；
B. 了解全市每年使用塑料袋的个数，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故B不符合题意；
C. 了解某远程弹道导弹的飞行距离，，调查具有破坏性，适合抽样调查， 故C不符合题意；
D. 了解八年级(1)班学生的近视情况，人员不多，适合普查，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据分式的基本性质依次判断．
【详解】解：A、若c≠0时，ab=acbc成立，故该项错误；
B、分式的分子、分母不能同时加减同一个数，故该项错误；
C、该分式的分子乘以a2，而分母除以b2，故该项错误；
D、分式的分子分母同时除以c2，且c2≠0，故该项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案．
【详解】解：2⋅2x⋅2y3⋅2x+2⋅2y=8xy6x+4y=8xy2(3x+2y)=4xy3x+2y=2⋅2xy3x+2y，
分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是平行四边形，通过三角形全等证得AB=DE，∠ABD=∠AED，即可得出答案．
【详解】
在△ADC和△DAE中
DE=AC∠ADE=∠DACAD=AD
∴△ADC≌△DAE(SAS)
∴∠AED=∠ACD DE=AC
又∵AB=AC
∴AB=DE ∠ABD=∠ACD=∠AED
∵四边形ABDE不是平行四边形
一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形是错误的．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定方法，解题的关键是通过三角形全等得出一组对边相等，一组对角相等但四边形不是平行四边形．
8.【答案】A
【解析】【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60∘，得到△ACM为等边三角形，根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=12AC=1，OM= 3，最终得到答案BM=BO+OM=1+ 3．
【详解】解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60∘，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60∘；
∵∠ABC=90∘，AB=BC= 2，
∴AC=2=CM，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO=12AC=1，∠OMC=∠OMA=12∠AMC=30∘
∴OC=12CM=1，OM= CM2−OC2= 3，
∴BM=BO+OM=1+ 3，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的变换−旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，准确把握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】x≠1
【解析】【详解】根据题意得：x−1≠0，即x≠1．
故答案为：x≠1．
10.【答案】2
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出x的值．
【详解】解：∵分式x2−4x+2的值为零，
∴x2−4=0x+2≠0,
∴x=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零．
11.【答案】4xy2
【解析】【分析】根据最简公分母的定义求解．
【详解】解：分式12x，x4y2的最简公分母为4xy2，
故答案为 ：4xy2．
【点晴】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
12.【答案】120
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解．
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
又∵∠A+∠C=120°，
∴∠A=120°÷2=60°，
∴∠B=180°−∠A=120°．
故答案为：120．
【点睛】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
13.【答案】150
【解析】【分析】根据扇形统计图得到售出红豆口味的雪糕的数量和所占的百分比，求出冷饮店一天售出各种口味雪糕数量，计算即可．
【详解】解：由扇形统计图可知，售出红豆口味的雪糕200支，占40%，
则冷饮店一天售出各种口味雪糕数量为200÷40%=500支，
则售出奶油口味雪糕的数量是500×30%=150支，
故答案为：150．
【点睛】本题考查了扇形统计图，解题的关键是能够求出冷饮店一天售出雪糕的总量．
14.【答案】10
【解析】【分析】根据菱形的性质求出OC，OD的长即可利用勾股定理求出CD的长，即可得到答案．
【详解】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=12AC=6,OD=12BD=8，
∴∠COD=90°，
∴CD= OC2+OD2=10，
故答案为10．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义可得DE、DC的长，再根据勾股定理即可得到EC的长，最后计算出BE的长即可．
【详解】解：∵EA平分∠BED，
∴∠AEB=∠AED，
∵四边形ABCD是矩形，AD=10,AB=6，
∴AB=CD=6,AD=BC=10,AD//BC,∠C=90∘，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=ED=10，
∴EC= DE2−CD2= 102−62=8，
∴BE=BC−EC=10−8=2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
16.【答案】AC=BC
【解析】【详解】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC= //DE，∴四边形ACED为平行四边形，当AC=BC时，则DE=EC，∴平行四边形ACED是菱形．故答案为AC=BC．
点睛：本题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AC= //DE是解题的关键．
17.【答案】172
【解析】【分析】连接DP，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接DP，
∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF为△CDP的中位线，
∴EF=12DP，
当PD取得最大值时，EF的值最大，
故当点P与点B重合时，PD最大，
∴PD=BD= 152+82=17，
∴EF长度的最大值为172，
故答案为：172．
【点晴】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．
18.【答案】4.5
【解析】【分析】先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90∘；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出DC的长即可．
【详解】解：分别以AB、AC为对称轴，画出▵ABD、▵ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，
由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45∘．
∴∠EAF=90∘．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90∘，∠F=∠ADC=90∘．
又∵AE=AD,AF=AD，
∴AE=AF．
∴四边形AEGF是正方形，
∴AD=AE=AF=EG=GF=9，BE=BD=3，CF=DC=x，
∴BG=EG−BE=6，CG=GF−CF=9−x．
在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，
∴(3+x)2=(9−x)2+62，
解得：x=4.5，
∴DC=4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
19.【答案】解：(1)2m−3=2(m+3)(m+3)(m−3)=2m+6m2−9；
故答案为：2m+6；
(2)原式=2(x+2y)(x−2y)(x+2y)2
=2(x−2y)x+2y
=2x−4yx+2y，
当x=2,y=15时，
原式=2×2−4×152+2×15=20−410+2=43．

【解析】【分析】(1)把分式2m−3的分子分母都乘以(m+3)即可；
(2)先把分子分母因式分解，再约分化简，然后把x、y的值代入计算计算．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了分式的基本性质．
20.【答案】【小问1详解】
解：由题意得a=50×0.24=12,b=40200=0.200，
故答案为：12，0.200；
【小问2详解】
解：估计当n很大时，频率将会接近0.20，假如转动该转盘一次，获得“一等奖”奖品的 概率约是0.20，
故答案为：0.20．

【解析】【分析】(1)根据表格中的数据和计算公式进行求解即可
(2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得一等奖”的概率；
【点睛】本题考查利用频率估计概率、频数与频率分别表，解答本题的关键是明确题意．
21.【答案】【小问1详解】
根据条形图得出文学类人数为70，利用扇形图得出文学类所占百分比为35%，
故本次抽样调查，样本容量是：70÷35%=200．
故答案为：200；
【小问2详解】
①根据科普类所占百分比为30%，
则科普类人数n=200×30%=60；
故答案为：60；
②扇形统计图中，其他类读物所在扇形的 圆心角的度数是360∘×30200=54∘，
故答案为：54∘；
【小问3详解】
由题意得，m=200−70−30−60=40，
1500×40200=300(人)，
答：估计喜欢艺术类读物的学生约有300人．

【解析】【分析】(1)根据文学类的人数和所占的百分比求出总人数；
(2)①用样本容量乘以科普所占的百分比求出n的值；
②用360∘乘以其他类读物所占的百分比即可得出答案；
(3)用1500乘样本中喜欢艺术类读物的学生所占比例可得答案．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．
22.【答案】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
又∵EF//AB，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴DE=BF，
∴BF=12BC，
∴点F为BC的中点．

【解析】【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质可以证明结论成立．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，∠ABD=∠C，
∵EB⊥BC，
∴∠EBD=∠ADB=∠ADC=90∘，
∴BE/​/AD，
∵DE/​/AC，
∴∠EDB=∠C，
∴∠EDB=∠ABD，又BD=BD，∠EBD=∠ADB=90∘，
∴▵EBD≌▵ADBASA，
∴BE=AD，又BE/​/AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵∠ADB=90∘，
∴平行四边形AEBD 是 矩形．

【解析】【分析】先由已知条件证得四边形AEBD是平行四边形，再由∠ADB=90∘，即可得到四边形AEBD是矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，证明四边形AEBD是平行四边形是解决问题的关键．
24.【答案】【小问1详解】
解：x+6x=1+6x，
2x+2x−2=2(x−2)+6x−2=2+6x−2，
故答案为：1+6x，2+6x−2；
【小问2详解】
根据表格可知，当x>0或x0或x