2023届上海市浦东新区高三下学期综合练习（三模）数学试题含答案

浦东新区2022学年度第二学期综合练习卷

高三数学

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1. 已知集合，集合，则__________.

2. 不等式的解集是__________.

3. 已知球的体积为，则此球的表面积为__________.

4. 函数的定义域是__________.

5. 空间向量的单位向量的坐标是__________.

6. 的二项展开式中项的系数为__________.

7. 已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________.

8. 公司库房中的某种零件的60%来自甲公司，40%来自乙公司，两个公司的正品率分别为98%和95%. 从库房中任取一个零件，它是正品的概率为__________.

9. 已知复数满足，则__________.

10. 已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数__________（精确到0.001）.

11. 已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是__________.

12. 陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）. 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为__________.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.

13. 以下能够成为某个随机变量分布的是（    ）

A.    B.   C.   D.

14. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．与垂直   B.与平面垂直

C．与平行   D.与平面平行

15. 设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件   D．既非充分又非必要条件

16. 已知定义在上的函数. 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”. 有以下两个命题：
①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；
②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增.
那么（    ）
A. ①是真命题，②是假命题    B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题      D. ①、②都是假命题

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤.

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.

（1）求直线和平面所成角的大小；

（2）求该几何体的表面积.

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知向量，. 设.

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、. 若，，三角形的面积为，求边的长.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某农科所为了验证蔬菜植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性之间是否存在关联，随机抽取88棵植株，获得如下观察数据：33棵植株感染红叶螨，其中19株无枯萎病（即对枯萎病有抗性），14株有枯萎病；55棵植株未感染红叶螨，其中28株无枯萎病，27株有枯萎病.

（1）以植株“是否感染红叶螨”和“对枯萎病是否有抗性”为分类变量，根据上述数据制作一张列联表；

（2）根据上述数据，是否有95%的把握认为“植株感染红叶螨”和“植株对枯萎病有抗性”相关？说明理由.

附：，.

20. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知，曲线.

（1）若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；

（2）若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；

（3）设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，，，三点共线.

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知实数，，.

(1) 求；

(2) 若对一切成立，求的最小值；

(3) 证明：当正整数时，.

浦东新区2022学年度第二学期综合练习卷

高三数学答案

一、填空题

1.     2.     3.     4.     5.      6. 210

7. .    8. 0.968.    9.     10.     11.     12.

二、选择题

13. B  14. C  15. D  16. D

三、解答题

17. 【解】（1）联结，由题意，平面，故直线在平面上的射影为直线，因此直线和平面所成角等于.…………………2分

因为是以为直径的等腰直角三角形，所以.…………4分

因此，由知.…………………5分

即直线和平面所成角的大小为.………6分

（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积.

因为圆锥的高，圆锥的底面半径，所以圆锥的母线长为，表面积为.……………………………………8分

在和中，，，所以，得. 同理.………10分

因此.……………………………………12分

而.…………………………………………………………13分

因此，所求表面积为.………………………………………………14分

18. 【解】（1）由题意，……………………1分

………………………………………………………………2分

……………………………………………………………4分

……………………………………………………………………5分

因此所求最小正周期为.………………………………………………………6分

（2）由得，……………………………………………7分

因为，所以，解得.……………………………9分

从而由和知，.……………………11分

再由余弦定理解得.……………13分

即.………………………………………………………………………14分

19. 【解】（1）见下表.

说明：

①表头（两个分类变量）1分；“总计”栏（五个数值）1分；四个数值各1分. 共6分.

②交换表的行列（即：以“是否感染红叶螨”为行）也可.

（2）①提出原假设：植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关.………8分

②确定显著性水平.………………………………………………………9分

③计算的值. 将列联表的数据代入的计算公式得

.………………………………………………12分

④统计决断：由，而，小概率事件没有发生，故不能否定原假设.……………………………………………………………………13分

因此，植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关.…………………………14分

20. 【解】（1）若曲线为圆，则…………………………2分

圆方程为： ，此时圆心到直线的距离……………………3分

此时；…………………………………………………………4分

（2）曲线的方程为

当焦点在轴上时，…………………………………………5分

此时…………………………………6分

此时椭圆的标准方程为…………………………………………7分

当焦点在轴上时，…………………………………………8分

此时…………………………………9分

此时椭圆的标准方程为；………………………………………10分

（3）当时，方程为，，，设，

直线的方程为：，…………………………………………11分

令…………………………………………………………12分

联列

，………………………………………………14分

因为，……………………………………15分

分子

……………………17分

即，因而，，三点共线.……………………………………18分

21. 【解答】(1) 解：函数的导数为……………2分

. 故. ………………………………………4分

(2) 解：设. 则. ……………5分

当时，对一切，，故函数在区间上严格增，………………………………………………………………………6分

从而由知对一切，，即对一切成立；………………………………………………………………………………7分

当时，取，得，即不成立. ……………………………………………………………9分

综上，的最小值是. ………………………………………………………10分

(3) 证：当时，. （可用计算器验证，证明不作要求）…11分

由(2)得，对一切成立，即. ……13分

在不等式中取得（k为正整数）

……15分

故时，.…17分

而当时，证毕. ………18分