2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．与的等差中项是      ．

【答案】8

【分析】根据等差中项的定义求解即可.

【详解】设与的等差中项是，

则，

.

故答案为：8

2．抛物线的准线方程是      ．

【答案】

【分析】根据抛物线的方程即得.

【详解】因为抛物线的方程为，

所以抛物线的准线方程是.

故答案为：.

3．直线x+y+1=0的倾斜角为       ．

【答案】

【详解】试题分析：由直线方程可知直线的斜率为，根据直线斜率与倾斜角的关系可知，所以，因为，所以．

【解析】直线的斜率与倾斜角．

4．函数的导数                 .

【答案】.

【分析】根据初等函数的导数法则和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得.

故答案为：.

5．空间向量的单位向量的坐标是          ．

【答案】

【分析】单位向量只需根据即可求出.

【详解】，，.

故答案为：

6．已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是          ．

【答案】．

【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.

【详解】 是焦点在x轴的双曲线，

，即 ；

故答案为： .

7．过点且与直线平行的直线方程是      ．

【答案】

【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.

【详解】设与直线平行的直线方程是，

依题意，，解得，

所以所求直线方程是.

故答案为：

8．直线与直线的夹角是           （用反三角表示）

【答案】

【分析】由两直线的夹角公式，将两直线的斜率代入运算即可得解.

【详解】解：因为直线与直线的斜率分别为

设直线与直线的夹角为，则

，

即，

即直线与直线的夹角是，

故答案为.

【点睛】本题考查了两直线的夹角公式，重点考查了运算能力，属基础题.

9．圆的圆心到直线的距离是      ．

【答案】

【分析】根据圆的方程和点到直线的距离公式求解即可.

【详解】，

即：，

故圆心为：

所以圆心到直线的距离：.

故答案为：

10．在等比数列中，其前n项和为，若，，则      ．

【答案】

【分析】根据等比数列求和公式列方程组解得首项与公比，再代入等比数列通项公式得结果.

【详解】设等比数列的公比为，

当时，显然不符合题意；

当时，，解得，

所以．

故答案为：.

11．若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为      ．

【答案】

【分析】由已知可得双曲线的右焦点为，根据条件可得，进而即得.

【详解】抛物线的焦点为，

双曲线的右焦点为，可设双曲线方程为，

又双曲线的一条渐近线方程为，

，

所以，

双曲线的方程是.

故答案为：.

12．已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为      ．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出，再利用三角形面积公式计算作答.

【详解】依题意，，，

，而，则，

所以以、为一组邻边的平行四边形的面积.

故答案为：

二、单选题

13．“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ）

A．充分非必要条件；

B．必要非充分条件；

C．充要条件；

D．既不充分又非必要条件．

【答案】B

【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合等比数列的概念即得.

【详解】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列，

由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”，

故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件.

故选：B.

14．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．或  D．或

【答案】B

【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可.

【详解】因为直线和直线互相垂直，

所以，解得，

故选：B

15．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（    ）

A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心

C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再求出圆心到直线l的距离判断作答.

【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，

因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，

于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.

故选：C

16．在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.

【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意，

对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确.

故选：A.

三、解答题

17．已知，.

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.

【详解】（1）由已知可得，，

∴.

（2），，

∵，∴存在实数使得，

∴，，，联立解得.

18．已知圆内有一点，直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为.

(1)当时，求弦AB的长；

(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长；

（2）根据直线垂直斜率乘积为，即可得直线的斜率，进而根据点斜式即可求方程，

【详解】（1）当时，直线l的方程为：，即，

圆心到直线l的距离，

又圆的半径，

所以；

（2）当弦AB被平分时，，

∵，∴，

∴直线l的方程为：，即.

19．已知数列的前项和为，且N

(1)求证:数列是等比数列;

(2)数列，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用与的关系以及等比数列的定义即可证明；

（2）求出数列的通项公式可判断数列为等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解.

【详解】（1）令时，，解得，

由已知得①，当时，②，

①②两式相减得，

∴，∴，∴可知数列的首项为

∴数列是以为首项，公比为的等比数列，

（2）数列的通项公式为，则，

∴，

∴数列是以首项，为公差的等差数列，

∴数列的前项和 .

20．已知函数

（1）求出函数的单调区间

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）增区间为：，，减区间为：；（2）最大值为，最小值为.

【解析】（1）利用导数求函数的单调区间即可.

（2）根据（1）的单调性求最值即可.

【详解】（1），

令，解得，.

，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数.

所以的增区间为，减区间为.

（2）由（1）知：，为增函数，，为减函数，

，为增函数.

，，，.

所以在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】本题第一问考查利用导数研究函数的单调性，第二问考查函数的最值，属于简单题.

21．椭圆C：．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；

(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解即可；

（2）设P点坐标，由列出一个方程，再结合P在椭圆C上，联立方程即可求解；

（3）联立直线l与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，利用弦长公式列出方程即可解出.

【详解】（1）椭圆C：，

，

（2）由（1）可知：，

设，，

，

可得，且，

联立解得：，

所以或或或

（3）设直线l与椭圆的交点分别为,

联立，整理得：，

；

所以弦长，

解得: ，

所以直线的方程：