上海市浦东新区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析

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高三数学试卷

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．

1.设全集，集合，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

由补集的运算法则可得解.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.

2.某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为___．

【答案】100

【解析】

【分析】

数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.

【详解】名同学的成绩由小到大排序为：，

这组数据的中位数为100.

故答案为：100

【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.

3.若函数，则__________．

【答案】1

【解析】

【分析】

由可得：，问题得解.

【详解】由可得：

故答案为：1

【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.

4.若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则__________．

【答案】0

【解析】

【分析】

直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.

【详解】是关于的实系数方程的一个根，

是关于的实系数方程的另一个根，

则，即，

，

.

故答案为：0

【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.

5.若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为          ．

【答案】1:8

【解析】

试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知体积比为

考点：球体的表面积体积

6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），则直线与圆的位置关系是________．

【答案】相交

【解析】

【分析】

由已知可得：直线的标准方程为，圆的标准方程为，再计算出圆心到直线的距离，问题得解.

【详解】由直线的参数方程，可得：

直线标准方程为：，

由圆的参数方程，可得：

圆的标准方程为：，圆心为，半径

圆心为到直线的距离

则直线与圆的位置关系是相交.

故答案为：相交

【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

7.若二项式展开式的第项的值为，则__．

【答案】

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式，得：，解得，再由等比数列求和公式，得：，从而极限可求.

【详解】由已知可得：，

即，解得，

，

.

故答案为：

【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.

8.已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知可得双曲线的右焦点为，即，由双曲线的渐近线方程为，可设其方程为：，再由可得：，求出，问题得解.

【详解】抛物线的焦点为：

双曲线的右焦点为：，即

双曲线的渐近线方程为，

双曲线的方程可设为：，

即，

由可得：，，

双曲线的方程是.

故答案为：

【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.

9.从（且）个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同．如果的概率和的概率相等，则_____________．

【答案】10

【解析】

【分析】

从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，事件表示选出的个人性别相同，共有情况，事件表示选出的个人性别不同，共有情况，由已知可得：，即，解之即可.

【详解】从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，

事件表示选出的个人性别相同，共有情况，

事件表示选出的个人性别不同，情况

，

，即

整理，得：，即

且，

故答案为：10

【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.

10.已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为________．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知可得：为R上偶函数，又函数的有且只有一个零点，所以，由此可得：，解得

【详解】显然，由，可得：

， 为R上的偶函数.

函数的有且只有一个零点，

由此可得：，解得

故答案为：

【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.

11.如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，由，可得：

再由，可得：，则，最后由可得解.

【详解】设

的面积为，

为中点，

又C、P、Q三点共线，，即

则

当且仅当时取得最小值.

【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.

12.已知数列满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知得：，；，，由此可得：，再由等比数列求和公式可得解.

【详解】，

两式相加可得：

，

是公比为2的等比数列，首项

两式相乘可得：

是公比为2的等比数列，首项

，

由等比数列求和公式，得：

故答案为：

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13.若、满足 ， 则目标函数的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.

【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：

由图可知目标函数中z取最大值的最优解为：

.

故选：B

【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.

14.如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（    ）

A. 有一条 B. 有二条

C. 有无数条 D. 不存在

【答案】C

【解析】

【分析】

易知当时即可满足要求，所以存在无数条.

【详解】若平面，使得，

又平面，平面，

平面，

显然满足要求的直线l有无数条.

故选：C

【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.

15.已知函数.给出下列结论：

①是周期函数；  

② 函数图像的对称中心；

③ 若，则；

④不等式的解集为.

则正确结论的序号是（    ）

A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

【答案】D

【解析】

【分析】

由，可知是周期为的函数， 当时，；当时，，画出在一个周期内的函数图象，通过图象去研究问题.

【详解】

是周期为的函数，①正确；

当时，，

当时，，

可以画出在一个周期内的函数图象，如下

由图可知：函数的对称中心为，②正确；

函数的对称轴为

若，则，即，③错误；

不等式等价于：

由图可知：

解得，④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.

16.设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：只有1种情况；且，共有种情况；且，共有种 情况；以此类推……，有1（）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和，计算可得：.再思考可以分为等1949类，问题可得解.

【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：

集合只含2个元素：只有1种情况；

集合含有3个元素：且，共有种情况；

集合含有4个元素：且，共有 种情况；

以此类推……

集合含有72个元素：，有（）种情况.

所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：

①②两式对应项相加，得：

同理可得：所有子集元素个数之和都是，所以集合所有直径为的子集的元素个数之和为.

故选：C

【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．

（1）求此几何体的体积；

（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）（2）

【解析】

分析】

（1）先算底面积，再由算出体积；

（2）以点B坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出，即可得解.

【详解】（1）由已知可得：

．

．

（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，.

设异面直线与所成的角为，则

所以，异面直线与所成角为.

【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.

18.已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为．

（1）求的大小；

（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，，且，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知得：，故而，，再由可得解.

（2）由（1）得：，所以，由可得，再由可得，最后由正弦定理可得：，问题得解.

【详解】（1）由三角函数定义，得：

为锐角，

，

（2）由，为锐角，

得：，

由，得，又，

解得

由正弦定理可得：

【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.

19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．

【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）因为当时，，所以不满足条件② ；

（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.

【详解】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .

（2）由条件①可知，在上单调递增，

所以当时，满足条件；

当时，由可得

当时，单调递增，

，解得，

所以

由条件②可知，，即不等式在上恒成立，

等价于

当时，取最小值

综上，参数的取值范围是．

【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.

20.在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；

（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）由已知得：，问题得解；

（2）由已知可得：，设直线l方程为：，,，与椭圆方程联立可得：，由韦达定理，得：，，最后由，可得：，代入解方程即可；

（3）设直线l方程为：，由已知可得：，即，化简得：，有已知可得:，联立直线与椭圆方程得：，由，

和可求b的取值范围.

【详解】（1）由可得：，

从而，所以椭圆方程为.

（2）由于四边形是菱形，因此且.

由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；

并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即.

设直线l方程为：，且,

与椭圆方程联立可得：，

，，

由，可得：

解得，即直线方程为.

（3）设直线l方程为：，

，由已知可得：

，即.

，

化简得：.

若，则经过，不符合条件，

因此.

联立直线与椭圆方程得：.

因为，即

由得：

将代入得：，

解得：

令，则

当时，，

在或上单调递减，

或

所以b的取值范围为：.

【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

21.若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

①等差数列：；

②等比数列：；

（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.

（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.

【答案】（1）① 等差数列：不是跳跃数列；② 等比数列：是跳跃数列.（2）证明见解析（3）

【解析】

【分析】

（1）①数列通项公式为，计算可得：，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：，计算可得：，所以它是跳跃数列；

（2）必要性：若，则是单调递增数列，若，是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，命题成立，若时，可得：，所以当时命题也成立；

（3）有已知可得：，，若，则，解得；若，则，解得，

由，则，得；当，则，得，问题得解.

【详解】（1）①等差数列：通项公式为：

所以此数列不是跳跃数列；

②等比数列：通项公式为：

所以此数列是跳跃数列

（2）必要性：

若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；

若，是常数列，不是跳跃数列.

充分性：（下面用数学归纳法证明）

若，则对任何正整数，均有成立.

当时，， ，

，

，

所以命题成立

若时，，

则，

，

所以当时命题也成立，

根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，

故是跳跃数列.

（3）

若，则，

解得；

若，则，

解得；

若，则，所以，

若，则，所以，

所以，

此时对任何正整数，均有

【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.