上海市浦东新区2023届高三上学期一模数学试题及答案

上海市浦东新区2023届高三上学期一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合，，则______.

2．若幂函数的图象经过点，则实数______.

3．函数的定义域为______.

4．的二项展开式中的系数为______.

5．若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．

6．已知为锐角，若，则______.

7．已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为______.（精确到0.01）

8．已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为______.

9．某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.

10．如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.

11．已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.

12．已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.

二、单选题

13．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

14．虚数的平方是（    ）

A．正实数 B．虚数 C．负实数 D．虚数或负实数

15．已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（    ）

①平面内的所有直线均与直线l异面；

②平面内存在与直线l垂直的直线；

③平面内不存在直线与直线l平行；

④平面内所有直线均与直线l相交.

A．1 B．2 C．3 D．4

16．已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（    ）

A．0个 B．4个 C．8个 D．12个

三、解答题

17．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.

18．如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.

(1)求证：；

(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.

19．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？

(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.

(1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；

(2)若直线过点且与圆相切，求弦长的值；

(3)若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.

21．已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.

(1)分别判断函数、是否为函数；

(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；

(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.

参考答案：

1．

【分析】根据交集的定义计算即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：.

2．4

【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可.

【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，

所以，所以，

故答案为：4.

3．

【分析】由真数大于0求出定义域.

【详解】由题意得：，解得：，

故定义域为.

故答案为：.

4．80

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的二项展开式中含的项为，

所以的系数为.

故答案为：

5．

【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果.

【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径，母线，

故圆锥的侧面积.

故答案为：.

6．

【分析】由条件结合诱导公式可求，再由同角关系求，结合两角和正切公式求.

【详解】因为，所以，又为锐角，所以，，所以.

故答案为：.

7．0.36

【分析】先求样本数据的平均数，再由方差的定义求方差.

【详解】由已知样本数据的平均数为，

所以样本数据的方差    

化简可得，，

所以.

故答案为：0.36.

8．12

【分析】由条件结合抛物线的定义求出点横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可求点到x轴的距离.

【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点的坐标为，其准线方程为，

设点的坐标为，因为，所以点到准线的距离为12，即，

所以，因为点在抛物线上，

所以，所以，

所以点的坐标为或，故点到轴的距离为12.

故答案为：12.

9．

【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率.

【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率.

故答案为：

10．8

【分析】以向量为基底，表示向量,结合平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求的最小值.

【详解】设，，则，，，，所以，

所以，又，

所以，所以，

因为，，所以，，所以，

即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理

所以，

当且仅当，即，时取等号；

所以的最小值为8．

故答案为：8．

11．和

【分析】由偶函数的性质求，再由导数与函数的单调性的关系求的严格递减区间.

【详解】因为函数在为偶函数，

所以恒成立，即，

所以，所以，又，故，

所以，其中，

所以，令，或，解得或，所以的严格递减区间为和，

故答案为：和.

12．9

【分析】首先通过试值法可知，当或3不满足题意，当或时满足题意，然后证明当，不满足题意即可.

【详解】当时，显然不合题意;

当时,因为,

所以,不符合题意;

当时,数列为，此时,

符合题意，

当时,数列为.

此时,符合题意;

下证当时,不存在满足题意.

令,

则,且,

所以有以下三种可能: ①；

②；  ③

当时,因为,

即.

所以或.

因为数列的各项互不相同,所以.

所以数列是等差数列.

则是公差为1(或的等差数列.

当公差为1时,由得或,

所以或,与已知矛盾.当公差为时,

同理得出与已知矛盾.

所以当时,不存在满足题意.

其它情况同理可得.

综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9.

故答案为：9.

【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知或，但对于不合题意的证明是一个难点，我们通过找到的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列是等差数列，则有或，从而得到与已知条件相矛盾的结论.

13．B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；

【详解】解：若，则x，y同号，则成立，所以“”是“”的必要条件；但成立时，x，y不异号，即，所以不一定成立，故“”不是“”的充分条件．因此“”是“”的必要而不充分条件．

故选：B．

14．D

【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断.

【详解】设，则，

若，则，即负实数；

若，则，即虚数；

故选：D.

15．B

【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确.

【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线，

则直线l与平面相交，满足条件，

对于命题①，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题①错误，

对于命题④，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题④错误，

对于命题②，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线；若直线l与平面不垂直，如图，，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，，所以，又，，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题②正确，

对于命题③，如图，假设平面内存在直线与直线l平行；

因为，，，所以，与矛盾，所以平面内不存在直线与直线l平行；命题③正确，

故选：B.

16．D

【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，通过联立方程组求曲线、公共点的个数.

【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即，

则当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，，

所以曲线是以、、、为顶点的矩形，

设曲线上的点为，满足，即，所以的轨迹为椭圆，

当时，联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理可得与椭圆没有交点，

联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理直线与椭圆没有交点，所以曲线、公共点的个数0，

当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有一个交点，同理可得与椭圆有一个交点，

联立可得，解得，即直线与椭圆有一个交点，同理直线与椭圆有一个交点，所以曲线、公共点的个数4，

当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有两个交点，同理可得与椭圆有两个交点，

联立可得，解得，即直线与椭圆有两个交点，同理直线与椭圆有两个交点，所以曲线、公共点的个数8，

故选：D

17．(1)；

(2)或时，取得最大值.

【分析】（1）根据题意列出关于公差的方程，求得d，可得答案；

（2） 等差数列的前n项和公式求，结合二次函数性质求最大值.

【详解】（1）设数列的公差为d，，由，，成等比数列，得，即，解得.

所以数列的通项公式为.

（2）由

得，，

当或5时，取得最大值，最大值为10.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)由面面垂直性质定理证明底面，由此证明，再证明，由线面垂直判定定理证明平面，最后证明；(2)结合线面角的定义可得，结合锥体体积公式求四面体PAOC的体积.

【详解】（1）连接，因为，所以，

侧面垂直于底面，平面，平面平面，

所以底面，底面，所以，

是斜边为的直角三角形，且，所以，

又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，

又E为OC的中点，所以，

因为，，，，

所以平面，又平面，

所以；

（2）由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，

因为，所以，在中，，

，所以.

19．(1)247.4m

(2)应使得，来修建观赏步道.

【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理求出m；

（2）解法一：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.

解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，，由余弦定理得到，结合基本不等式求出，，此时，得到结论.

【详解】（1），

解得：，

因为C是钝角，所以.

由余弦定理得：

，

故需要修建247.4m的隔离防护栏；

（2）解法一：，

当且仅达时取到等号，此时m，设，，

在中，，

解得：，

故

，

因为，所以，

故当，即时，取的最大值为1，

，

当且仅当时取到等号，此时

答：修建观赏步道时应使得，.

解法二：，

当且仅达时取到等号，此时，

设，.则由余弦定理，

，

故由平均值不等式，，

从而，

等号成立当且仅当.

答：修建观赏步道时应使得，.

20．(1)左焦点、右焦点，离心率；

(2)2；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.

【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，

所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.

（2）圆的圆心为原点，半径为1，

当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为，则.

联列方程：

，化简得，方程的判别式，设，，则，

所以，

即弦长的值为2；

（3）设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的

左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，

由题可知，所以，，故，

因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，

设，直线，

联立，，

同理，，

所以，，

设，

则，化简得，

所以

同理

所以

，所以

所以

，所以

因而

因而直线直线PQ.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．(1)不是，是；

(2)存在，；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，得到，，根据单调性得到结论；

（2）令，分与两种情况，先得到时，严格增，根据时，要想严格增，得到，验证后得到函数为函数；

（3）根据是R上的严格增函数求出，再证明时，得到时，从而为函数.

【详解】（1）当时，不是严格增函数，

故不是函数；

当时，，是严格增函数，

故是函数；

（2）令，

当时，由，得，

令，，

则在上恒成立，故在上单调递增，

所以，

故此时，得，从而严格增.

当时，，后者严格增，

当且仅当，即，

又因为当时，，

从而上，严格增，

故为所求.

（3），

令，，

若“严格增”等同于（或），

当时，恒成立，故符合要求，

当时，，解得：，

当时，，等号成立当且仅当，

故在与上分别严格增，且当时，；

当时，.故此时也是R上的严格增函数.

综上：，

下设.则对任意，.

令，则.

当时，，等号成立当且仅当.

因，故同上可知，为上的严格增函数，且.

因而，当时，从而为函数.

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.