2023届四川省乐山市高三三模数学（理）试题含解析

这是一份2023届四川省乐山市高三三模数学（理）试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届四川省乐山市高三三模数学（理）试题

一、单选题
1．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合，利用并集的定义可求得实数的取值范围.
【详解】因为，，且，

所以，.
故选：D.
2．已知向量，满足，，则（    ）
A． B． C．0 D．4
【答案】A
【分析】由数量积的运算律计算．
【详解】由已知，．
故选：A．
3．工业生产者出厂价格指数（PPI）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月PPI涨跌幅折线图．（注：下图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）

下列说法中，最贴切的一项为（    ）
A．2021年PPI逐月减小
B．2022年PPI逐月减小
C．2022年各月PPI同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差
D．2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差
【答案】D
【分析】由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可.
【详解】对于A，由2022年10月，PPI同比为负可知，2021年10月PPI大于2022年10月PPI，
由2022年10月，PPI环比为正可知，2022年10月PPI大于2022年9月PPI，
由2022年9月，PPI同比为正可知，2022年9月PPI大于2021年9月PPI，
故2021年10月PPI大于2021年9月PPI，PPI逐月减小说法不正确，故选项A错误；
对于B，2022年2月、3月等月份，PPI环比均为正，相对于上月有增长，PPI逐月减小说法不正确，故选项B错误；
对于C，2022年PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，
因此2022年各月PPI同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；
对于D，2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度要小，
因此2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差，故选项D正确.
故选：D.
4．执行下图所示的程序框图，若输入N的值为8，则输出S的值为（    ）

A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】模拟程序运行，确定程序功能可得结论．
【详解】模拟程序运行可得：，
故选：C．
5．将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）
A．6种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】C
【分析】选2人去一个场馆，其余2人各去一个场馆，即可得．
【详解】由题意有且只有2名志愿者去一个场馆，因此不同的分配方案数为，
故选：C．
6．函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和单调性进行辨析即可.
【详解】由已知，定义域为，，都有，
，
∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除选项B和选项C.
又∵，
令，
则，
当时，，∴在区间上单调递减，
又∵，
∴当时，，∴当时，，
∴在区间单调递减，故排除选项D.
故选：A.
7．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（    ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
【答案】B
【分析】结合函数的周期性可直接判断AC，求出平移后相应函数的解析式并化简，结合余弦函数性质判断BD．
【详解】函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；
函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，
选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确；
选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误．
故选：B．
8．记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．
【详解】设公差为，
则，，
，
所以时，取得最小值．
故选：A．
9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.
【详解】依题意，由于H，得，即是正三角形，，

而，则直线的方程为，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又准线，
因此，
所以与的面积之比.
故选：C.
10．在直三棱柱中，，，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别取中点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求线面角的正弦值，然后结合函数知识得最大值。
【详解】分别取中点,则,即平面,
连接,因为,所以,
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知,,,,,
则,
因为，
，
，
易知平面的一个法向量是，
设直线AP与平面所成角为，则，
，
所以时，，即的最大值是．
故选：B．

11．已知函数有两个零点、，函数有两个零点、，给出下列个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】在同一坐标系作出与的图象，利用反函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】在同一坐标系作出与的图象，

设在处的切线方程过原点，，
则曲线在处的切线方程为，
将原点代入切线解得，故在处的切线方程为，
有两个零点，则，
由于与，与互为反函数，
故有两个零点，则，
设函数与图象交点坐标分别为、；
与图象交点坐标分别为、．
其中点、关于直线对称，、关于直线对称，
则，，且，
对于③，构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，
故当时，，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
故当时，，即（当且仅当时，等号成立），
若，则，又因为，可得，
所以，，与④矛盾，③错.
故选：D.
【点睛】结论点睛：互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于对称，
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；
⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.
12．设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义，的面积，直角中的锐角三角函数和中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又∵，∴在直角中，，
且.
在中，，的面积，
∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由双曲线定义，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵为直角，∴易知为钝角，∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又∵，将代入，解得.
∴双曲线的方程为：.
故选：D.
【点睛】本题的解题关键，是建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可以通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.

二、填空题
13．______；
【答案】
【分析】利用复数的除法运算直接计算作答.
【详解】.
故答案为：
14．已知x，y满足约束条件则的最小值为______．
【答案】
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图，内部（含边界），
作直线，
在直线即中，为直线的纵截距，因此直线向上平移时，减小，
由得，即，
平移直线，当它过点时，取得最小值．
故答案为：．

15．已知数列满足，，则______．
【答案】
【分析】凑配法得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论．
【详解】由得，又，
所以，即是等比数列，
所以，即．
故答案为：．
16．在三棱锥中，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】分别过和的外心作平面和平面的垂线，则垂线交点为三棱锥外接球的球心，再利用图形中的几何关系，将外接球半径的平方表示为函数关系，求其最值即可.
【详解】
如图，取中点，连接，，
由，则，，
由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，
而面，所以，
设，，则，
易知，，
取外接圆的圆心，易知在直线上，设外接圆半径为，
由正弦定理，，
同理，取外接圆的圆心，则在直线上，，
过，分别做平面和平面的垂线交于点，
易证，，
∴，为三棱锥外接球的球心.
①当时，，，，
，分别在线段，上，易知，
设三棱锥外接球的半径为，则，
，
由基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立.
②当时，，，，
，分别在线段，的延长线上，如下图所示，

此时，，
∵，∴，且无最小值.
综上所述，的最小值为，
∴三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决外接球问题方法的核心是找球心，找球心常用方法：
（1）定义法：到几何体所有顶点距离相等的点是外接球的球心；
（2）补形法：将几何体补形为正方体或长方体，则体对角线的中点为外接球的球心；
（3）垂线法：小圆圆心的垂线过球心.

三、解答题
17．某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线．现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两条生产线中各随机抽取了件产品，并对每件产品进行评分，得分均在内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于产品为“优质品”．

(1)求在甲生产线所抽取件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；
(2)将频率视作概率，用样本估计总体．在甲、乙两条生产线各随机选取件产品，记“优质品”件数为，求的分布列和数学期望
【答案】(1)91.75分
(2)分布列见解析，

【分析】（1）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和估计均值即可；
（2）由相互独立事件的概率求出每个取值的概率，再求数学期望即可.
【详解】（1）甲生产线抽取件产品中，评分在，，，，的频率分别为，，，，．
则评分均值为．
∴甲生产线抽取件产品的评分的均值为分．
（2）由频率分布直方图知，甲生产线抽取到“优质品”的频率为，
乙生产线抽取到“优质品”的频率为，
∴将频率视作概率，用样本估计总体．甲、乙生产线抽取到“优质品”的概率分别为，，
在甲、乙两条生产线各随机选取件产品，记“优质品”件数为，则.
则；
；
；
；
．
则的分布列为












故的数学期望为．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
(1)求c的值；
(2)求cosA的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由正弦定理可得；
（2）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解；
（3）由二倍角公式求得、，然后由两角差的正弦公式计算．
【详解】（1）在中，由正弦定理及，，
可得．
（2）由及正弦定理得，
再由余弦定理有．
（3）由（2）可得，
所以，
．
所以．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，，M为棱PD上一点．

(1)是否存在点M，使得直线平面BPQ?若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)当的面积最小时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，M为PD的中点时满足条件
(2)

【分析】（1）取M为PD的中点时满足条件，设O为AC，BD的交点，得，再证明，然后可得线面平行，从而得面面平行，最后可得到线面平行平面；
（2）确定时，的面积最小，然后建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．
【详解】（1）当M为PD的中点时满足条件．证明如下：
设O为AC，BD的交点．
因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点，
故在中，OM为的中位线，即．
又因为PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，
所以，即四点A，C，P，Q共面，
又因为，所以四边形ACQP为平行四边形，所以．
而AC与OM相交，不在平面内，在平面内，
所以平面，平面，
又PQ与BP相交，且是平面内的直线，所以平面平面BPQ，
又因为平面ACM，所以直线平面BPQ．
（2）因为PA⊥平面ABCD，平面，所以．
因为四边形ABCD为正方形，所以，故AB⊥平面PAD．
又因为平面PAD，所以，即为直角三角形．
由于，故当最小时，最小，此时．
因为，，，
所以，，即．
由，，，可以以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示坐标系．

则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，4，0），C（4，4，0），P（0，0，2），
所以．
所以，
．
设平面一个法向量是，
则，取得平面DCM的一个法向量为．
又因为，，
设平面BCM的法向量为，则，
取，得平面BCM的一个法向量为．
所以．
注意到二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为．
20．已知椭圆C：的右焦点为，短轴长等于焦距．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线交C于P，Q，交直线于点N，记OP，OQ，ON的斜率分别为，，，若，求的值．
【答案】(1)
(2)6

【分析】（1）求出可得椭圆方程；
（2）设，，，直线PQ的方程为，其中,直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得,代入得，利用已知得，用分别表示出的坐标，计算可得结论．
【详解】（1）由题意，从而，
于是C的方程为．
（2）设，，，直线PQ的方程为，其中．
由得，
故，．
从而
．
因为，所以．
从而，
即，于是，
由得．
设，．
由得：，即．
同理可得．
故

．

【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交中定值问题的处理方法，设交点坐标，，设直线方程，由韦达定理得出（或），把此结论代入已知条件后可得出参数间的关系结论，利用新结论（有时是韦达定理的结论）代入待求定值的式子化简可得定值．
21．已知函数．
(1)若在区间(0，1)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)若，，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求出，对分类讨论确定是否在上可能成立即可得；
（2）引入新函数，由，求出确定的单调性，
对需要再引入新函数进行求导操作，以便确定单调性得出正负，由于含有三角函数，可对自变量的范围分类讨论，结合不等式性质确定正负．
【详解】（1）由，得，
①若，则，此时f（x）在区间(0,1)上单调递增，满足条件；
②若，令，可知时，g(x)单调递增，
由于f（x）在区间(0,1)上存在单调递增区间，则即在(0,1)上有解，
由于在(0,1)上单调递减，则，此时．
综上所述，若f（x）在区间(0,1)上存在单调递增区间，则a的取值范围是．
（2）令，原不等式即为，
可得，，，
令，则，
又设，则，则，，可知t(x)单调递增，
若，有，，则；
若，有，则，
所以，，，则u(x)即单调递增，
i）当即时，，则h（x）单调递增，
所以，恒成立，则符合题意．
ii）当即时，，，
存在，使得，
当时，，则h（x）单调递减，所以，与题意不符，
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，一般把不等式化为，然后利用导数确定的单调性，由函数的最小值大于或等于0，得出结论．难点在于需要对（或其中部分函数）再一次求导（也可能几次求导），结合不等式的性质、分类讨论思想得出结论．
22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)设射线和射线分别与曲线交于、两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程；
（2）求出、，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得，结合可求得的最大值.
【详解】（1）解：由可得，
即，故曲线的普通方程为，
因为，，
所以曲线的极坐标方程为，即.
（2）解：由题意知，，
∴
，
因为，则，
所以当，即当时，的面积最大，且最大值是.
23．已知函数．

(1)画出f（x）的图象，并写出的解集；
(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足，证明：．
【答案】(1)作图见解析，
(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出函数图象，由图象得不等式的解集；
（2）由（1）得最小值，然后用基本不等式得出的范围，再用基本不等式得，利用二次函数性质得的范围，从而可得不等式成立，注意等号取得的条件是否一致．
【详解】（1）由题，得，图象如图所示．


由图可知，的解集为．
（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为，则．
只需证明即可．
由已知，，，则，所以．
于是，
因为


，
由于，则，即，
所以，当且仅当时，等号成立．