专题02 动力学两类问题 斜面模型-冲刺高考物理大题突破+限时集训

专题02  动力学两类问题  斜面模型

  【例题】（2023·山东枣庄·高三统考期末）如图所示，质量为的一只长方体形空铁箱，在水平拉力作用下沿水平地面向右匀加速运动，铁箱跟水平地面之间的动摩擦因数为。这时铁箱内靠在竖直左侧面上的一个质量为的木块，在离箱底内表面高处由静止滑下，经滑到箱底内表面上，不反弹。已知木块与铁箱内表面间的动摩擦因数处处相同，木块可视为质点，取重力加速度。求：

（1）木块在下滑过程中对铁箱竖直左侧面的压力大小；

（2）木块与铁箱内表面的动摩擦因数的大小；

（3）当铁箱的速度为时撤去拉力F，又经的时间，木块从铁箱的左侧面到达右侧面，则铁箱内部左右侧面之间的距离是多少？

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）设在水平拉力F作用下，铁箱加速度大小为，木块受铁箱竖直左侧面的压力大小；木块下落过程中竖直向下的加速度大小为，受摩擦力大小；木块受力如图所示，则

铁箱受力如图所示，则

其中

解得

（2）由于

解得

（3）由（1）得

设当铁箱的速度为时，运动时间为t，则

解得

因，故，撤去拉力F时，木块已滑到箱底内表面上。设撤去拉力F后，铁箱加速度大小为，则

设从撤去拉力F时到铁箱停止运动历时为，则

解得

因，故木块滑到右侧面之前，铁箱已停下。设从撤去拉力F时到铁箱停止运动，铁箱的位移为，则

解得

设撤去拉力F后，木块的加速度大小为，则

设从撤去拉力F时到木块停止运动历时为，则

解得

因，故，木块运动到铁箱右侧面时，速度并未减小到0。故时间内木块的位移为

解得

所以，铁箱左右侧面之间的距离为

解得

1、从受力确定运动情况

（1）基本思路

分析物体的受力情况，求出物体所受的合力，由牛顿第二定律求出物体的加速度；再由运动学公式及物体运动的初始条件确定物体的运动情况．

（2）流程图

2、从运动情况确定受力

（1）基本思路

分析物体的运动情况，由运动学公式求出物体的加速度，再由牛顿第二定律求出物体所受的合力；再分析物体的受力，求出物体受到的作用力．

（2）流程图

3、多过程问题分析

（1）当题目给出的物理过程较复杂，由多个过程组成时，要明确整个过程由几个子过程组成．将复杂的过程拆分为几个子过程，分析每一个子过程的受力情况、运动性质，用相应的规律解决问题．

（2）注意分析两个子过程交接的位置，该交接点速度是上一过程的末速度，也是下一过程的初速度，它起到承上启下的作用，对解决问题起重要作用．

4、斜面模型和等时圆模型

模型一：斜面模型

斜面是力学中常见的一种物理模型，该模型中存在一些规律．

1．光滑斜面

结论：m滑到底端时的速率v＝，滑到底端所用的时间t＝ .

2．粗糙斜面

模型二：等时圆模型

1．定义

所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间．

2．判断应使用哪类等时圆模型

小提示：推导等时圆模型的公式mgsin θ＝ma，x＝at2.

【变式训练】（2023春·湖南衡阳·高三校考开学考试）质量分布均匀的圆柱形构件通过两根平行细滑杆形成的轨道从高处向低处运送，如图所示，两根滑杆与水平面的夹角为，圆柱形构件的横截面是半径为R的圆，构件轴线平行于滑杆，开始时两滑杆间的距离为，构件从滑杆顶部由静止释放，沿着滑杆加速下滑，当运动到滑杆正中间时，两滑杆间的距离突然变为，不考虑此过程的能量损失。构件开始减速下滑，到达滑杆底端时速度恰好减到零，构件的长度与滑杆长度相比可忽略不计。试求：

（1）构件加速下滑时，其中一根滑杆对构件的弹力与构件重力的比值；

（2）滑杆与构件间的动摩擦因数μ。

【答案】  （1）；（2）

【解析】（1）设构件质量为，把构件的重力分解为沿滑杆方向的分力和垂直滑杆方向的分力，有

滑杆间距离为时，设每根滑杆对构件的弹力与垂直滑杆所在平面向上方向间的夹角为，弹力大小为；垂直滑杆所在平面方向有

由几何关系有

联立得

（2）滑杆间距离变为时，设每根滑杆对构件的弹力与垂直滑杆所在平面向上方向间的夹角为，弹力大小为，垂直滑杆所在平面方向有

由几何关系有

构件加速下滑时，设加速度大小为，有

构件减速下滑时，设加速度大小为，有

设滑杆总长为L，当构件运动到滑杆正中间时构件的速度为；加速下滑过程有

减速下滑过程有

联立解得

1．（2023·上海浦东新·统考一模）如图，粗细相同的水平直杆与圆弧杆BC在B点平滑连接，固定在竖直平面内，直杆的AB部分长，圆弧杆BC的半径。一个质量、直径略大于杆截面直径的小环（可视为质点）穿在水平直杆上的A点。现让小环以的初速度由A向B运动的同时，在竖直面内对小环施加一个垂直杆AB的恒力F作用，运动到B点时撤去F，之后小环沿圆弧杆BC上滑的最大高度为。已知小环与直杆AB的动摩擦因数、与圆弧杆BC的摩擦不计，重力加速度g取，试求：

（1）小环在B点的速度v的大小；

（2）小环在杆AB上的加速度a的大小；

（3）小环在杆AB上所受的恒力F的大小；

（4）小环沿圆轨道BC上滑至最高点的时间t。

【答案】  （1）；（2）；（3）或1N；（4）

【解析】（1）小环沿圆弧杆BC上滑过程根据动能定理有

代入数据解得

（2）小环由A向B运动时，根据运动学关系有

代入数据解得加速度的大小

（3）小环由A向B运动，当AB杆下面受到小环摩擦力时，根据牛顿第二定律有

解得

方向竖直向上；

当AB杆上面受到小环摩擦力时，根据牛顿第二定律有

解得

方向竖直向上；

（4）小环沿圆弧杆BC上滑过程可看成单摆运动过程，根据

故小环沿圆轨道BC上滑至最高点的时间

2．（2023·福建泉州·校考二模）如图所示，在粗糙水平面上有两个质量均为m的木块A和B，中间用劲度系数为k的轻弹簧连接，木块与地面之间的动摩擦因数均为μ。现用一水平向右的恒力F拉木块B，使两木块一起做匀加速运动。

（1）求A和B的加速度大小为多少？

（2）求做匀加速过程中弹簧的形变量？

【答案】  （1）；（2）

【解析】（1）对A、B整体进行分析，稳定后A、B一起做匀加速运动，加速度相同，根据牛顿第二定律可得

F-2μmg=2ma

解得

（2）设弹簧的弹力为T，对物块A，根据牛顿第二定律得

T-μmg=ma

解得

弹簧伸长量为

3．（2023·新疆·校考模拟预测）设雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的横截面积成正比，与雨点下落的速度的平方成正比，即（其中为比例系数）。雨点接近地面时近似看做匀速直线运动，重力加速度为。若把雨点看做球形，其半径为，球的体积为，设雨点的密度为，求：

（1）每个雨点最终的运动速度（用、、、表示）；

（2）雨点的速度达到时，雨点的加速度为多大（用表示）?

【答案】  （1）；（2）

【解析】（1）依题意，当雨滴匀速运动时，雨滴速度达最大，此时根据平衡条件可得

结合

联立求得每个雨点最终的运动速度

（2）雨点的速度达到时，根据牛顿第二定律有

即

联立求得雨点的加速度

4．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）如图所示，光滑的水平面上有一质量为的物块，在和的作用下，以的初速度向左做匀速直线运动，拉力大小为，与水平方向之间的夹角，当物块运动至A点时，仅将大小改变为，运动后，将反向，再运动后，运动至B点（图中未画出）。g取，试求：

（1）的大小；

（2）物块运动至B点时的速度大小；

（3）若两点距离为，的大小。

【答案】  （1）；（2）；（3）或

【解析】（1）物体匀速运动时有

解得

（2）取向左为正方向，根据动量定理可知

，

解得

故物块运动至B点时的速度大小为。

（3）由于B点可能在A点左侧，也可能在A点右侧，故

根据运动学方程，时间内

，

时间内

，

总位移为

解得，B点在A点左侧时

B点在A点右侧时

5．（2023·云南·统考一模）如图为“山东舰”上进行“歼—15”舰载机起降训练的示意图，起飞跑道由长度为的水平跑道和长度为的倾斜跑道两部分组成，水平跑道与倾斜跑道末端的高度差。一质量为的飞机，其喷气发动机的推力大小恒为，方向与速度方向相同，在运动过程中飞机受到的平均阻力大小为飞机重力的。假设“山东舰”处于静止状态，飞机可看成质点且质量不变，g取。

（1）求飞机到达倾斜跑道末端时的速度大小；

（2）为了使飞机在倾斜跑道的末端达到起飞速度，外界还需要在整个水平跑道阶段对飞机施加助推力，求助推力的大小（结果保留2位有效数字）。

【答案】  （1）41m/s；（2）

【解析】（1）飞机在水平跑道上加速运动，由牛顿第二定律

解得

由匀变速直线运动规律得

飞机在倾斜跑道上运动

又因

由公式

解得

（2）飞机在水平跑道上运动施加助推力，沿倾斜跑道运动加速度仍为，在水平跑道上运动时，有

在倾斜跑道上运动时，起飞速度为，则

联立解得

6．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图所示是某航空母舰的水平跑道电磁弹射区和起飞区示意图，质量为m的飞机在舰上起飞时，电磁弹射区的直流电机可提供的恒定牵引力，飞机的喷气式发动机可以提供的恒定推力，当飞机开始启动时，发动机立即开始工作。已知飞机在跑道所受阻力恒为，在起飞区末端离舰起飞的速度为v，飞机在起飞区运动的时间是弹射区运动时间的3倍，重力加速度为g，假设航空母舰始终处于静止状态，飞机可看作质量恒定的质点沿直线运动，求：

（1）飞机在电磁弹射区与起飞区的加速度大小之比；

（2）飞机离开电磁弹射区的速度大小；

（3）飞机在该跑道上运动的总位移。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）飞机在电磁弹射区水平方向受到恒定牵引力、恒定推力和跑道阻力，根据牛顿第二定律有

解得

飞机在起飞区水平方向受到恒定推力和跑道阻力，根据牛顿第二定律有

解得

则

（2）设离开电磁弹射区的速度大小为，飞机在电磁弹射区运动的时间为

飞机在起飞区运动的时间为

由题意可知

解得

，，

（3）设飞机在该跑道上运动的总位移为s，弹射区的位移为

起飞区的位移为

则飞机在该跑道上运动的总位移为

联立解得

7．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图所示为自动卸货矿车的示意图。缓冲弹簧下端固定在斜面轨道底端，上端连接轻质装置P，P静置于B点。矿车从斜面轨道上A处由静止开始下滑，撞击P后与P一起压缩弹簧，当矿车速度减为零时装置P自动锁定，卸下全部货物后，装置P解除锁定，矿车借助弹簧的弹力作用，恰能返回到A点。已知斜面轨道的倾角θ=37°，轨道A、B间的距离L=99.5m，矿车在轨道A、B间运动时受到的阻力为矿车重力的0.4倍，缓冲弹簧的劲度系数k=4.0×105N/m，允许的最大压缩量为xm=0.5m，弹簧弹性势能表达式为，重力加速度大小g取10m/s2，sin37°=0.6。

（1）试估算矿车从A处开始下滑到速度减为零时所需要的时间t（误差不超过0.1s）；

（2）求矿车将斜面轨道A处旁边质量为M0=2t的货物从A处运送至C处，需要运送的最少次数n。

【答案】  （1）10s（10s~10.1s均得分）；（2）10次

【解析】（1）设矿车含货物总质量为，矿车从处开始匀加速下滑到点的加速度为，到达点时的速度为，矿车从处到速度减为0时所需要的时间为

解得

若将全程看做匀加速直线运动，由

可得

若将到的过程看做匀减速直线运动，则

解得

故估算时间时可以将全程看做是匀加速直线运动

解得

（10s~10.1s均得分）

（2）设矿车空载时的最大质量为，每次装载货物的最大质量为，根据动能定理得

矿车下滑过程

矿车上行过程

解得

次

8．（2023·湖北·高三统考期末）如下图所示，斜面质量为m高为h，放置于在水平面上，在斜面顶端有一个可视为质点的小物块m，系统开始处于静止状态：

（1）若斜面光滑且固定，求小物体沿斜面下滑到底端速度大小？

（2）若斜面与地面均光滑，斜面不固定，小物块落地时竖直分速度为v，求斜面体速度？

（3）若地面粗糙、斜面光滑，小物块在下滑过程斜面体始终处于静止状态，求地面与斜面间摩擦因数应满足什么条件，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）设小物块在最低点速度为v，由机械能守恒定律得

可得小物体速度为

（2）设斜面水平速度为，小物块水平速度为，系统在水平方向上动量守恒，则

系统机械能守恒

解可求得斜面体速度为

（3）设斜面倾角为，通过对小物块受力分析可知其对斜面压力为

为了不让斜面相对地面滑动，对斜面受力分析得

由两式可得

整理后得

由双钩函数得，当时，摩擦因数有最小值，故

9．（2023·上海静安·统考一模）如图所示，倾角、长L＝3m的固定斜面，顶端有一质量m＝1kg的小物体，物体与斜面间的动摩擦因数。现用大小F＝5N、方向水平向左的恒力，从静止起拉动小物体沿斜面运动，取，，。

（1）求物体的加速度a；

（2）求物体沿斜面运动到底端的时间t；

（3）改变水平外力F的大小，使物体以最短时间沿斜面到达底端，求最短时间。

【答案】  （1）；（2）1s；（3）0.6s

【解析】（1）由牛顿第二定律得

解得

（2）由运动学公式得

解得

（3）当

时物体沿斜面运动加速度最大，所用时间最短

解得

10．（2023·北京丰台·高三统考期末）如图，人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个力，力的大小均为，方向都与竖直方向成37°，重物离开地面后人停止施力，最后重物自由下落砸入地面的深度。已知地面对重物的阻力与砸入地面的深度成正比，比例系数为k。重物的质量为，取重力加速度，，忽略空气阻力。求：

（1）人停止施力时的重物速度；

（2）重物相对地面上升的最大高度；

（3）请定性画出阻力f与砸入地面的深度d的函数图像，并求比例系数k。

【答案】  （1）；（2）30cm；（3）见解析，

【解析】（1）对重物进行受力分析如图

由牛顿第二定律得

重物被抬起时做匀加速直线运动，由，解得

（2）撤去拉力后，重物做竖直上抛运动

解得

所以重物相对地面上升的最大高度为

（3）由地面对重物的阻力与砸入地面的深度成正比，比例系数为k，可得，所以阻力f与砸入地面的深度d的函数图像如图

由f-d图像可求地面阻力对重物所做的功即为图像与横轴围成的面积，所以

从离地面25cm到砸入地面下2cm对重物列动能定理

代入数据解得

11．（2023·广东肇庆·统考二模）水面救生无人船已经成为水面救援的重要科技装备。在某次测试中，一质量为20kg的无人船在平静水面上沿直线直奔目标地点。无人船先从静止出发，做匀加速运动10s后达到最大速度4m/s，接着立即做匀减速运动，匀减速运动了16m的距离后速度变为零。已知无人船运行过程中受到水的阻力恒定且大小为4N，不计空气阻力，g取10m/s2。求：

（1）在匀加速过程中，无人船发动机提供的动力的大小F1；

（2）在匀减速过程中，无人船发动机提供的阻力的大小F2；

（3）无人船在上述测试中，运动的总时间t及总位移大小x。

【答案】  （1）12N；（2）6N；（3）18s，36m

【解析】（1）匀加速阶段加速度为

解得

a1＝0.4m/s2

由牛顿第二定律得

F1－f＝ma1

解得

F1＝12N

（2）匀减速阶段有

解得

a2＝0.5m/s2

由牛顿第二定律得

F2＋f＝ma2

解得

F2＝6N

（3）匀减速阶段的时间为

t2＝＝8s

运动总时间为

t＝t1＋t2＝18s

匀加速阶段的位移为

x1＝t1＝20m

运动总位移大小为

x＝x1＋x2＝36m

12．（2023·山东烟台·高三统考期末）如图所示，一倾角的光滑斜面与一足够长的水平面通过一小段光滑圆弧平滑连接，质量为的小物块B静止于水平面的最左端。现将另一质量为的小物块A在斜面某位置处由静止释放后沿斜面下滑，刚进入水平面时与B发生弹性碰撞，碰撞时间极短可忽略不计。碰撞后A被弹回，B获得的速度沿水平面向右运动。已知物块A、B与水平面间的动摩擦因数均为，重力加速度，，不计物块通过斜面与水平面交接处的动能损失。求：

（1）物块A被弹回后，沿斜面向上运动的最大距离；

（2）物块A与物块B第二次相碰时，距水平面最左端的距离；

（3）物块A在整个运动过程中克服摩擦力所做的功；

（4）最终物块A与物块B之间的距离。

【答案】  （1）；（2）；（3）；（4）

【解析】（1）进入水平面时与B发生弹性碰撞，碰撞时，动量守恒

机械能守恒

整理得

，

由题意可知B获得的速度沿水平面向右运动，带入上式解得

，

物块A被弹回后，根据牛顿第二定律

解得

设物块A被弹回后，沿斜面向上运动的最大距离为xm，由运动学关系得

解得

（2）物块A被弹回后在斜面上运动的时间

物块A、B与水平面间的加速度为

物块A与物块B第二次相碰时，位置相同，则有

解得

物块A与物块B第二次相碰时，距水平面最左端的距离

（3）物块第二次相碰前的速度分别为

，

第二次相碰时，动量守恒得

根据机械能守恒得

联立解得

，

根据动能定理，对物块A在整个运动过程中克服摩擦力所做的功有

（4）物块A与物块B第二次相碰后，A减速到0需要滑动的位移为

物块在第二次碰撞后向斜面运动，为到达斜面已经停下，碰撞后两物块方向反向运动，故最终物块A与物块B之间的距离

1．（2022·浙江·统考高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，sin15°=0.26，求雪车（包括运动员）

（1）在直道AB上的加速度大小；

（2）过C点的速度大小；

（3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。

【答案】  （1）；（2）12m/s；（3）66N

【解析】（1）AB段

解得

（2）AB段

解得

BC段

过C点的速度大小

（3）在BC段有牛顿第二定律

解得

2．（2022·天津·高考真题）冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示，运动员在水平冰面上将冰壶A推到M点放手，此时A的速度，匀减速滑行到达N点时，队友用毛刷开始擦A运动前方的冰面，使A与间冰面的动摩擦因数减小，A继续匀减速滑行，与静止在P点的冰壶B发生正碰，碰后瞬间A、B的速度分别为和。已知A、B质量相同，A与间冰面的动摩擦因数，重力加速度取，运动过程中两冰壶均视为质点，A、B碰撞时间极短。求冰壶A

（1）在N点的速度的大小；

（2）与间冰面的动摩擦因数。

【答案】  （1）；（2）

【解析】（1）设冰壶质量为，A受到冰面的支持力为，由竖直方向受力平衡，有

设A在间受到的滑动摩擦力为，则有

设A在间的加速度大小为，由牛顿第二定律可得

联立解得

由速度与位移的关系式，有

代入数据解得

（2）设碰撞前瞬间A的速度为，由动量守恒定律可得

解得

设A在间受到的滑动摩擦力为，则有

由动能定理可得

联立解得