江苏省常州市第一中学、泰兴中学2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

江苏省常州市第一中学、泰兴中学2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是(   )

A. B. C. D.

2、如图，在三棱锥中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则(   )

A.  B.

C.  D.

3、如果随机变量，且，那么的值为(    )

A.0.2 B.0.32 C.0.4 D.0.8

4、在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是(   )

①点P关于x轴对称的点的坐标是；

②点P关于yOz平面对称的点的坐标是；

③点P关于xOy平面对称点的坐标是；

④点P关于原点对称点的坐标是.

A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④

5、8个人坐成一排，现要调换其中3个人的每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有(   )

A. B. C. D.

6、若的展开式中的系数为0，则(   )

A. B. C. D.

7、已知，则(   )

A. B. C. D.

8、太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲､乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C､D､E､F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(   )

A.，，  B.，，

C.，， D.，，

10、的展开式中系数最大的项是(   )

A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项

11、假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下

在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，B表示可买到的优质品，则(   )

A.  B.

C.  D.

12、如图，在菱形ABCD中，，，将沿对角线BD翻折到位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线PB和直线CD所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是(  )

A.PC与平面BCD所成最大角为45°

B.存在某个位置，使得

C.当时，的最大值为

D.存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为

三、填空题

13、设随机变量，若，则p的值为______.

14、已知四棱柱的底面ABCD是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．

15、第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的概率为__________．

16、有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是__________．

四、解答题

17、已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.

（1）求m的值；

（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

18、如图，在几何体SABCD中，平面SCD，平面SCD，，，又，．

（1）求SC与AB所成角的余弦值；

（2）求二面角的大小．

19、江苏省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式，即模式;2021年开始，高考总成绩由语数外+物理、历史（选1门）+化学、生物、政治、地理（选2门）等六门科目构成.现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布.

（1）求化学原始成绩在区间的人数;

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望.

(附:若随机变量，则，，)

20、如图，四棱柱，底面ABCD是平行四边形，,,,,E为AD的中点．

（1）求证： ；

（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

21、甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束)．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的运动员积3分，负者积0分，以取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．

（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分的概率分布列和数学期望；

（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率．

22、一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量．

（1）若，小虫爬行的方法有多少种？

（2）时，小虫最有可能爬行到的位置，并说明理由；

（3）求 的值．

参考答案

1、答案：C

解析：由，

解得.

故选：C.

2、答案：D

解析：由题意可得

.

故选：D

3、答案： A

解析：已知随机变量，，

则，

根据正态密度曲线的对称性得出.

故选：A

4、答案：D

解析：空间直角坐标系中，点.

对于①，点P关于x轴对称的点的坐标是，①错误；

对于②，点P关于yOz平面对称的点的坐标是，②错误；

对于③，点P关于xOy平面对称点的坐标是，③正确；

对于④，点P关于原点对称点的坐标是，④正确；

综上知，正确的命题序号是③④.

故选：D.

5、答案：C

解析：从8人中任取3人有种，

3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，

所以不同调换方式有种.

故选：C.

6、答案：C

解析：因为的展开式中的系数为，的系数为，

所以的展开式中的系数为，

由，得.

故选：C.

7、答案：A

解析：令，可得，则，

二项式的展开式通项为，则.

当为奇数时，，当r为偶数时，，

因此，.

故选：A.

8、答案：D

解析：由题设，甲乙选景点C的概率为，选其它景点的概率为，

则，，

所以.

故选：D

9、答案：ABD

解析：对于A中、、，

B中、、，

D中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；

对于C，、、，

满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．

故选：ABD．

10、答案： BC

解析：的展开式的通项公式为：

则第项的系数为：

设第项的系数最大，则

即，即

解得，所以或3时，的展开式中系数最大

即的展开式中系数最大是第3,4项,

故选：BC

11、答案： ABD

解析：依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD；

故选：ABD

12、答案： BC

解析：取BD的中点O，连接OP,OC，则，

又，可得平面OPC，平面BDC

所以平面平面BDC，PC与平面BCD所成的角为，

当时，为等边三角形，此时，故A错误；

由上可知为的平面角，即，

因为，

所以，

当时，，即，故B正确；

又，

当时，，,

所以，即的最大值为，故C正确；

点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，

若B到平面PDC的距离为，则平面平面PCD．平面平面PCD，

则有DB平面PCD，即，与是等边三角形矛盾，故D错误．

故选：BC．

13、答案：

解析：，

，

，解得.

故答案为：.

14、答案：

解析：由题可知四棱柱为平行六面体，，

所以

，

所以.

故答案为：.

15、答案：

解析：由题可知安排甲、乙、丙、丁四名志愿者三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，共有种，

其中甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，有两类办法：

若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；

若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，

综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为；

所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的概率为.

故答案为：.

16、答案：114

解析：根据题意，分4种情况讨论：

(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时种顺序,可以排出24个四位数;

(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;

(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,剩余位置安排两个2,则可以排出个四位数;

(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有 种取法,安排在四个位置中,有 种情况,剩余位置安排1,可以排出个四位数;所以一共有个四位数.

故答案为:114.

17、答案： （1）7；

（2）128；

（3）.

解析：（1）展开式的通项为，

展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，

，即,

（2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.

（3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即,2,4,6时为有理项，共4项，

由插空法可得有理项不相邻的概率为.

18、答案： （1）；   

（2）

解析：（1）以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示．

，，，，

设SC与AB所成角为，，

；

（2），

设平面BCS的法向量

所以，即，

解得，取，

因为，

设平面SAB的法向量，

所以，即，

解得，取，

设平面BCS与平面SAB所成的二面角的平面角为，

则，

又，

所以.

19、答案： （1）1637(人)；

（2）分布列见解析，

解析：(1)因为物理原始成绩，

所以

.

所以化学原始成绩在的人数为 (人).

(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间内的概率为

所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且，

所以，

，

，

所以X的分布列为

所以数学期望

20、答案：（1）证明见解析；

（2）

解析：（1）证明：由题知，在中，，，

所以由余弦定理得，

所以，即，

因为，，，平面，

所以平面,

因为平面，

所以.

（2）因为，，，EC,平面ABCD，

所以平面ABCD，

因为,

所以为二面角的平面角，

因为二面角的大小为60°，

所以，

所以在中，，，，

所以取BC中点F，连接EF，则，

所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系

则,,,

所以,

设平面的法向量为，

则，故，

因为，

所以，

设直线与平面所成角为，

则

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21、答案： 答案：（1）分布列见解析，数学期望为；   

（2）.

解析：（1）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，

，

，

，

，

X的分布列为：

数学期望；

（2）记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件M，

设第i场甲、乙两名运动员积分分别为，，则，

因两名运动员积分相等， ，即，则，

．

22、答案：（1）；   

（2）在原点处；理由见解析；   

（3）.

解析：（1）由题可知小虫爬行次后，共向前爬行n次，

故，小虫爬行的方法有种；

（2）设2020次爬行中有k次向前，

则~，，

所以，

所以，当时，取到最大，

此时，即小虫最有可能爬行到的位置在原点处．

（3）设小虫n次爬行中有k次向前，则，~，

，

所以，，

所以，，

=.