江苏省常州市八校2021-2022学年高二下学期期中调研数学试卷（含答案）

江苏省常州市八校2021-2022学年高二下学期期中调研数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、在的二项展开式中，第二项的系数为(   )

A.4 B.-4 C.6 D.-6

2、对于空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点(   )

A.一定不共面  B.一定共面

C.不一定共面  D.与O点位置有关

3、下列说法不正确的是(   )

A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量

B.一个平面的所有法向量互相平行

C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D.如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量

4、因为支援某地抗击疫情，我市中医院派出8名护士，2名医生，将他们随机分给甲、乙两个医院，每个医院5人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为(   )

A. B. C. D.

5、在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则(   )

A. B.

C. D.

6、已知正方体的棱长为2，E，F分别为上底面和侧面的中心，则点C到平面AEF的距离为(   )

A. B. C. D.

7、盒中有4个红球、5个黑球，随机地从中抽取一个球，观察颜色后放回，并加上3个与取出球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，则第二次取出黑球的概率(   )

A. B. C. D.

8、在的展开式中，系数绝对值最大项是(   )

A.第10项 B.第9项 C.第11项 D.第8项

二、多项选择题

9、某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示：

参数数据：

已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是(   )

A.

B. y与x正相关

C. y与x的相关系数为负数

D.若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分

10、下列四个命题，其中真命题是(   )

A.若与,共面，则存在实数x,y，使得

B.若存在实数x,y，使得，则与,共面

C.若存在实数x,y，使，则点P,M,A,B共面

D.若点P,M,A,B共面，则存在实数x,y，使

11、下列说法正确的是(   )

A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量

B.如果随机变量，那么

C.甲、乙、丙、丁四个人到四个景点去旅游，每人只去一个景点，设事件A为“四个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则

D.已知随机变量X服从两点分布，且，，令，则

12、如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到M、N处，他们分别随机选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达M、N处为止，则下列说法不正确的是(   )

A.甲从M必须经过到达N处的方法有9种

B.甲乙两人在处相遇的概率为

C.甲、乙两人相遇的概率为

D.甲从M处到达N处的方法有120种

三、填空题

13、__________.（用数字作答）

14、如果随机变量，且，那么____________.

15、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片分给3个不同的学生，每个学生分两张，其中标号为5，6的卡片分给同一个学生，则不同的分法共有____________.

16、若，则____________.

四、解答题

17、计算：

（1）设，求；

（2）求.

18、回答下列问题.

（1）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为，求展开式中的常数项；

（2）已知的展开式中的系数为5，求a的值.

19、把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成两个垂直平面，O，E分别为BD，DC中点，以O为原点，方向，方向，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

20、科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：，，，，（单位：）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到及以上的为“大果”.

（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；

（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径服从正态分布，其中近似为样本平均数，，请估计对照园中果径落在区间内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

附：①；

②若X服从正态分布，则，，.

21、全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.

（1）从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；

（2）从5次训练中随机选取2次，用X表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X的分布列和数学期望；

（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.

（注：样本数据，，，的方差，其中）

22、在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.

（1）求CM与平面所成角的大小；

（2）在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1、答案： B

解析：的二项展开式的第二项为，

所以第二项的系数为-4，

故选：B

2、答案： B

解析：由

，

所以A，B，C，P四点共面，

故选：B

3、答案：D

解析：对于A，根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；

对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，都互相平行，故B正确；

对于C，如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；

对于D，如果与平面共面且，当,共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误.

故选：D.

4、答案： C

解析：2名医生恰好被分在不同医院的共有种情况，

所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为，

故选：C

5、答案： C

解析：有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，

，，

，．

故选：C

6、答案： A

解析：如图，以A为原点，AB,AD,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

易知，,,

设平面AEF的法向量，则，令，解得，

故点C到平面AEF的距离为.

故选：A.

7、答案： C

解析：设事件A表示第一次抽取的是黑球，，，

事件B表示第二次抽取的是黑球，因此有，

所以，

故选：C

8、答案：B

解析：二项式的通项公式为：，

设第项的系数绝对值最大，

所以有，

因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，

故选：B.

9、答案： ABD

解析：根据题意，由y关于x的回归直线方程为，易知y与x正相关且y与x的相关系数为正数，故B正确，C错误；

若数学成绩每提高5分，代入回归直线方程易得物理成绩估计能提高5.5分，故D正确；

对于选项A，因，，所以，解得，故A正确.

故选：ABD.

10、答案： BC

解析：对于A，若，，则不存在实数x,y，使得，A错误；

对于B，由空间向量共面定理可知：若存在实数x,y，使得，则与,共面，B正确；

对于C，若存在实数x,y，使，则,,共面，P,M,A,B四点共面，C正确；

对于D，若，，则不存在实数x,y，使，D错误.

故选：BC.

11、答案：ABD

解析：对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；

对于B，因为，所以，故B正确；

对于C： ，，所以 ，故C不正确；

对于D，由于，所以，又，所以，故D正确，

故选：ABD

12、答案：BD

解析：对于A，甲经过到达N，可分为两步：第一步，甲从M到的方法数有种，第二步，甲从到N的方法数有种，所以由分步计数原理可得甲从M经过到达N处的方法有种，所以A正确，

对于B，由题意可得甲从M处到达N处的方法有种，甲经过的方法数为种，同理可得乙从M处到达N处的方法有20种，乙经过的方法数为9种，所以甲乙两人在处相遇的方法数为，

所以甲乙两人在处相遇的概率为，所以B错误，

对于C，因为甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法，

所以，

所以甲、乙两人相遇的概率为，所以C正确，

对于D，甲从M处出发随机选择一条沿街的最短路径到达N处需走6步，共有的方法为种，所以D错误，

故选：BD

13、答案： 165

解析：

故答案为:165

14、答案：

解析：因为，

所以，

因为该正态分布曲线关于对称，

所以，

故答案为：.

15、答案：18

解析：将标号为1，2，3，4的卡片分成两组，有种分法，

故总的分法总数为，

故答案为：18.

16、答案：-20

解析：设，则，

而的展开式的通项公式为，

令，则，故，

故答案为：-20

17、答案：（1）4；   

（2）

解析：（1）由组合数的定义可知：

，因为，所以，

即；

（2）

18、答案：（1）；

（2）

解析：（1）的展开式的通项公式为，

第5项与第3项的二项式系数分别为，

整理得到：即，

所以，故，

令，则，所以展开式中的常数项为.

（2）展开式的通项公式为，

故该展开式中x的系数为，的系数为，

故的展开式中的系数为，

由题设有，故.

19、答案：（1）证明过程见解析；

（2）.

解析：（1）因为正方形ABCD的边长为2，

所以可得：，，，，

，

因为，

所以；

（2）设平面ADC的法向量为，

，

所以有，

因为ABCD是正方形，所以，

因为O为BD中点，所以，

因为平面平面BDC，平面平面，平面ABD，

所以平面BDC，因此向量是平面BDC的法向量，

所以二面角的余弦值为：.

20、答案： （1）列联表见解析，有的把握认为两者有关；

（2）.

解析：（1）由频率分布直方图可得：

采用实验方案大果的数量为个，

则非大果数量为个，

未采用实验方案大果的数量为个，

则非大果数量为个，

列联表如下：

，所以有的把握认为两者有关；

（2）由题中数据，，

则，

则.

21、答案：（1）；   

（2）分布列见解析，数学期望为；   

（3）乙选拔中更具竞争力，理由见解析.

解析：（1）在5次模拟训练中，甲的成绩高于乙的成绩有2次，乙的成绩高于甲的成绩有3次，

从5次训练中随机选取1次的试验有5个基本事件，它们等可能，甲的成绩高于乙的成绩的事件A有2个基本事件，

所以甲的成绩高于乙的成绩的概率.

（2）X的所有可能值是：0，1，2，

，

，

，

所以X的分布列为：

数学期望为.

（3）甲的平均成绩为，

乙的平均成绩为，

甲成绩的方差，

乙成绩的方差，

虽然，但，因此得乙的成绩更稳定，

所以乙在选拔中更具竞争力.

22、答案：（1）   

（2）存在，且

解析：（1）在中，因为，故，

故在四棱锥中，有，，

而，故平面，因平面，

所以，而，故，

而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，因为DE经过的重心G（如图），连接AG并延长，

交BC于H，则，故，

因为，故，,

在中，，

则，,,,

故，故，又,

设平面的法向量为，

则即，取，则，故，

故，故CM与平面所成角的正弦值为.

因为CM与平面所成角为锐角，故该角为.

（2）设，则，故，

又，，，

设平面CMN的法向量为，

则即，取，则，

故.

设平面DEN的法向量为，

则即，取，则，

故，

因为平面平面CMN，故，

所以，故，所以.