2022-2023学年广东省佛山市南海区平洲二中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区平洲二中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  是不大于的数，则下列表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列判断不正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3.  若等腰三角形两边长分别是和，则它的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

4.  如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知点和点，把线段向右平移个单位，则点的坐标变为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在上的点处．已知，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一副三角板如图摆放，点是角三角板的斜边的中点，当角三角板的直角顶点与点重合，直角边，分别与，相交于点，，有以下结论：；四边形的面积保持不变；面积的最大值为其中正确的是(    )

A. 、、 B. 、 C. 、 D. 、

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如图，在中，，，，于点，则        ．

12.  如图，一次函数的图象交轴于，且函数图象经过，则不等式的解集为______．

13.  将点向下平移个单位，向左平移个单位得到点，点恰好落在轴上，则点的坐标是______．

14.  如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则        ．

15.  已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是        ．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

16.  大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、．
请你结合图形来证明：；

当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是求点的坐标．
 

四、解答题（本大题共7小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求一元一次不等式的负整数解．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，有三幢公寓楼分别建在点、点、点 处，、、 是连接三幢公寓楼的三条 道路，要修建一超市，按照设计要求，超市要在的内部，且到、的距离必须相等，到两条道路、的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市的位置．
不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹．

20.  本小题分
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点．
画出中边上的高；提醒：别忘了标注字母；
请画出平移后的；
平移后，求线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．

21.  本小题分
如图，在中，，是上的一点，，，求的面积．

22.  本小题分
随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：

若该公司三月份的利润为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
如果该公司四月份投入成本不超过万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：购买元会员卡后，乙型口罩一律折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．
斜边上的高是        ；
若点在的角平分线上，则的值为        ；
在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值提示：三角形的两边中点的连线等于第三边的一半

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是不大于的数，
．
故选：．
本题考查了不等式的应用，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键，根据已知列出不等式即可．
本题考查了不等式，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，正确，不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
D、当时，，原变形错误，符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质进行判断．
本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：当腰为时，则三边为、、，此时，不满足三角形的三边关系，不满足题意；
当腰为时，则三边为、、，满足三角形的三边关系，周长为；
故选：．
分腰为和两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，
由勾股定理得，，
分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，
，
的周长为，
故选：．
首先利用勾股定理得，再根据可得答案．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由线段向右平移个单位的平移规律可知，此题规律是，照此规律计算可知点的坐标变为．
故选：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查图形的平移变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

6.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，，，
．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，以此即可选择．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
不等式的解集为．
故选：．
由题意知，不等式两边都除以后即可求解，注意改变不等号方向．
考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

8.【答案】 

【解析】解：经过点，
，
解得：，
，
关于的不等式的解集是，
故选：．
首先利用待定系数法求出点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，平分，

又

又
则
．
故选B．
由题意可得，平分，，根据角平分线的性质和所对直角边等于斜边的一半求解．
此题考查翻折变化和角平分线的性质，对于折叠问题找准相等关系，得平分，是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，
在等腰直角中，，，
是的中点，
平分，，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故符合题意；
≌，
，
，
，
，
，
四边形的面积为，
故符合题意；
，，
是等腰直角三角形，
四边形的面积恒为，
当的面积取得最小值时，面积取得最大值，
的面积，
当取得最小值时，的面积最小，
此时，
，，
，
的最小值为，
的面积最小值为，
的面积最大值为．
故符合题意，
综上所述，正确的有，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得平分，，，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，即可判断选项；
根据全等三角形的性质，可知，，求出的面积，即可判断选项；根据四边形的面积恒为，当的面积取得最小值时，面积取得最大值，再根据的面积，可知取得最小值时，的面积取得最小值，的面积取得最大值，进一步求解即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等，添加合适的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据，，可得到，从而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象交轴于，且函数图象经过，
，解得，
，
令，则，
一次函数的图象交轴于，
由图象得：一次函数中，时，图象在轴上方，，
则不等式的解集为，
故答案为：．
利用待定系数法求得一次函数解析式，进一步求得一次函数的图象交轴于，利用图象即可得到关于的不等式的解集是．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意：，
，
，
．
故答案为．
利用平移的性质构建方程即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意学会利用参数构建方程解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，再根据求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
关于的不等式组的整数解共有个，
则这四个整数解为：，，，，
当时，不等式组的整数解为：，，，，
．
故答案为：．
先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组有四个整数解进行分析，即可得到答案．
本题考查了解一元一次不等式组的知识；解题的关键是正确求得一元一次不等式组的解集．
 

16.【答案】证明：连接，由题意得，，，
，
，
，
又，，
，
．

解：如图所示：
．

解：在中，令得；令得，
所以，同理求得．
，，所以，
即为等腰三角形．
当点在边上时，由得：，，
把它代入中求得：，
所以此时
当点在延长线上时，由得：，，
把它代入中求得：，
所以此时
当点在的延长线上时，，不存在；
综上所述：点的坐标为或 

【解析】根据即可求出答案；
；
先求得为等腰三角形，再根据的结果分当点在边上时，当点在延长线上时，求得的坐标．当点在的延长线上时，，不存在；
的结果容易得到，解答时，注意要灵活应用的结果．
 

17.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
负整数解为，． 

【解析】求出不等式的解集，可得结论．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图：
 

【解析】如图，由于按照设计要求，在的内部，且到、的距离必须相等，因此确定在线段的垂直平分线上，又到两条道路、的距离也必须相等，由此确定在的平分线上，所以是线段的垂直平分线和的平分线的交点．
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由已知能够确定点具有的性质是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所做边上的高；
如图，为所作；

线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积． 

【解析】利用网格特点和三角形高的定义画图；
利用点、的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出、的对应点、即可；
线段扫过的部分所组成的封闭图形为矩形，利用矩形的面积公式计算即可．
本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

21.【答案】解：，，
．
是直角三角形且．
设，则．
在中，．
，解得：，即 ．
． 

【解析】先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形且，再根据勾股定理解决此题．
本题主要考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩万只，乙型口罩万只．
设生产甲型口罩万只，则生产乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩万只；
设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为元，选项方案二所需费用为元．
当时，；
当时，；
当时，．
答：当购买数量少于只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠． 

【解析】设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，结合该公司三月份生产两种口罩万只，且该公司三月份的利润为万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
设生产甲型口罩万只，则生产乙型口罩万只，根据该公司四月份投入成本不超过万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题；
设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为元，选项方案二所需费用为元，三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出：当购买数量少于只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；分三种情况，求出的取值范围或的值．
 

23.【答案】 或 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
设斜边上的高为，
，
，
．
斜边上的高为；
故答案为：；
当点在的角平分线上时，过点作，如图：
平分，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：．
当与重合时，也满足条件，此时．
故答案为：或；
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，
当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，
此时，
，
，
；
当点在线段上时，若，
则点运动的长度为：
，
，
；
若，如图，过点作于点，则，
在中，，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
点运动的长度为：，
，
；
若，如图所示，过点作于点，
则，，
，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
点运动的长度为：，
，
．
综上，的值为或或或．
由勾股定理可求得的值，再设斜边上的高为，由面积法可求得答案；
如图，当点在的角平分线上时可先利用三角形全等，求出，分别表示各线段，在直角三角形中，利用勾股定理求出的值．
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，当点在线段上时，又分三种情况：；；，分别求得点运动的路程，再除以速度即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．