2022-2023学年广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2. 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A. x>5−yB. 2x−3<0C. 4>2D. x3. 若x>y，则下列式子中错误的是( )
A. x−5>y−5B. x5>y5C. x+5>y+5D. −5x>−5y
4. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么由这两个不等式组成的不等式组的解集为( )
A. x>1B. x≥−1C. −3−3
5. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是( )
A. 7cmB. 9cmC. 12cm或者9cmD. 12cm
6. 下列各式从左到右，属于因式分解的是( )
A. 2(x−1)=2x−2B. m(a+b)=ma+mb
C. (x+3)(x−3)=x2−9D. ma+mb+mc=m(a+b+c)
7. 已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为( )
A. (1,2)B. (2,9)C. (5,3)D. (−9,−4)
8. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是( )
A. AB= 5
B. AC=5
C. BC=2 5
D. ∠ACB=30°
9. 如图，已知直线y1=x+a与y2=kx+b相交于点P(−1,2)，则关于x的不等式x+a>kx+b的解集正确的是( )
A. x>1
B. x>−1
C. x<1
D. x<−1
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=1，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为( )
A. l.5B. 3C. 2D. 5
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 等腰三角形的一个内角是120°，则它的顶角的度数是______ ．
12. 如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为______ 米．
13. 分解因式：a2−4a=______．
14. 不等式组x+2>02−4x≥0的解集是______ ．
15. 一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少要答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得______ ．
16. 如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为______．
17. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 解不等式x−52+1>x−3．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题
(1)画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出将△ABC关于原点O对称的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
20. (本小题6.0分)
如图，已知AD平分△ABC的外角∠EAC，且∠EAD=∠C，求证：AB=AC．
21. (本小题8.0分)
如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC．
(1)按下列步骤用尺规作图(保留作图痕迹，不写出作法)：作∠BAC的平分线AD，交BC于D．
(2)在(1)中，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，若CD=4，则BC的长为______．
22. (本小题8.0分)
【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数y=2x−5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．

发现：一元一次不等式2x−5>0的解集是函数y=2x−5图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b>0(或kx+b<0)的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方(或x轴下方)部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
(1)如图1，一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P(3,2)，则不等式kx+b<2的解集是______ ．
(2)如图2，两条直线的交点坐标为______ ，方程2x−1=x+1的解是______ ；不等式2x−1>x+1的解是______ ．
【拓展延伸】
(3)如图3，一次函数y1=−x+1和y2=12x−2的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①求点A，C的坐标；
②结合图象，直接写出关于x的不等式组12x−2>−x+112x−2>0的解集是______ ．
23. (本小题8.0分)
2020年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，红星社区为了提高社区居民的身体素质，鼓励居民在家锻炼，特采购了一批跳绳免费发放，已知2根幸福牌跳绳和1根平安牌跳绳共需31元，2根平安牌跳绳和3根幸福牌跳绳共需54元．
(1)求幸福牌跳绳和平安牌跳绳的单价；
(2)已知该社区需要采购两种品牌的跳绳共60根，且平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24. (本小题10.0分)
已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：|m−3|−|m+2|．
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解为x>1？
25. (本小题10.0分)
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
(1)操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是______；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______．
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、x>5−y含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、2x−3<0是一元一次不等式，符合题意；
C、4>2不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、x故选：B．
根据一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可．
本题考查一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的要素是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、根据不等式的性质1，可得x−5>y−5，故A选项正确；
B、根据不等式的性质2，可得x5>y5，故B选项正确；
C、根据不等式的性质1，可得x+5>y+5，故C选项正确；
D、根据不等式的性质3，可得−5x<−5y，故D选项错误；
故选：D．
根据不等式的基本性质，进行判断即可．
本题考查了不等式的性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．本题也可用口诀来求解．求不等式组解的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】
解：由图示可知，两个不等式分别是：x≥−1，x>−3；
根据数轴上线的条数有2条的部分是x≥−1．
∴这两个不等式组成的不等式组的解集是x≥−1．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
B、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
C、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解．
本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．
7.【答案】A
【解析】解：∵点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴平移规律为向右5个单位，向上3个单位，
∵点B(−4,−1)，
∴点D的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据点A、C的坐标确定出平移规律，再求出点D的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8.【答案】D
【解析】解：根据勾股定理可得，AB= 12+22= 5，故A选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，AC= 32+42=5，故B选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，BC= 22+42=2 5，故C选项正确，不符合题意；
∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∵AC≠2AB，
∴∠ACB≠30°，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
首先根据勾股定理求出AB，AC，BC的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到∠ABC=90°，最后根据30°度角直角三角形的性质即可判断D选项．
此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9.【答案】B
【解析】解：当x>−1时，x+a>kx+b，
所以不等式x+a>kx+b的解集为x>−1．
故选B．
根据观察图象，找出直线y1=x+a在直线y2=kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标的范围．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA=DB，所以∠DAB=∠B=15°，再利用三角形外角性质得∠ADC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．
【解答】
解：由作法得MN垂直平分AB，则DA=DB，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，
在Rt△ACD中，AD=2AC=2．
故选C．
11.【答案】120°
【解析】解：∵2×120°=240°>180°，
∴120°是顶角，不是底角，
∴它的顶角的度数是120°，
故答案为：120°．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，即可得到答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，是解题的关键．
12.【答案】40
【解析】解：Rt△ABC中，∠A=30°．
∴BC=AB×sin30°=12AB=40(米)．
故答案为：40．
利用所给角的正弦函数求解．
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
13.【答案】a(a−4)
【解析】解：a2−4a=a(a−4)．
故答案为：a(a−4)．
由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
14.【答案】−2【解析】解：x+2>0①2−4x≥0②，由①得，x>−2，由②得，x≤12，
故不等式组的解集为：−2故答案为：−2分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】4x−(25−x)≥85
【解析】解：根据题意可得：
4x−(25−x)≥85，
故答案为：4x−(25−x)≥85．
根据题意列出相应的不等式，即可得到答案．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
16.【答案】20cm
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF=AD=2cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
故答案为：20cm．
先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
17.【答案】1.6
【解析】解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC−BD=3.6−2=1.6．
故答案为：1.6．
由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
18.【答案】解：将不等式x−52+1>x−3两边同乘以2得，
x−5+2>2x−6，
解得x<3．
【解析】此题考查的是一元一次不等式的解法，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为(−1,2)；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为(−3,−2)．

【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
20.【答案】证明：∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠C，
∴∠C=∠CAD，
∴AD//CB，
∴∠EAD=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【解析】根据角平分线定义可得∠EAD=∠DAC，然后证明AD//BC，再利用平行线的性质结合等量代换证明∠B=∠C，根据等角对等边可得AB=AC．
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边．
21.【答案】4+4 2
【解析】解：(1)如图，AD即为所作；
(2)∵AD平分∠BAC，AC⊥CD，DE⊥AB，
∴DC=DE=4，
设AC=BC=x，则BD=x−4，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD= 2DE=4 2，即x−4=4 2，
∴x=4+4 2，
即BC的长为4+4 2．
故答案为：4+4 2．
(1)利用基本作图作AD平分∠BAC；
(2)根据角平分线的性质得DC=DE=4，设AC=BC=x，则BD=x−4，利用等腰直角三角形的性质得到BD= 2DE，即x−4=4 2，然后解方程求出x即可．
本题考查了作图−基本作图：作一个角的平分线，还考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，属于基础题．
22.【答案】x>3 (2,3) x=2 x>2 x>4
【解析】解：(1)∵y=kx+b(k<0)的图象经过点P(3,2)，
∴观察图象，不等式kx+b<2的解集是x>3，
故答案为：x>3；
(2)通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为(2,3)；
∵2x−1=x+1的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为x=2；
由图象可得，当x>2时，2x−1>x+1，
∴不等式2x−1>x+1的解是x>2，
故答案为：(2,3)，x=2，x>2；
(3)①联立方程组y=−x+1y=12x−2，
解得x=2y=−1，
∴A(2,−1)，
当y=0时，12x−2=0，
∴x=4，
∴C(4,0)；
②由y2=12x−2的图象可知，当x>4时，y=12x−2>0，
当x>2时，12x−2>−x+1，
∴关于x的不等式组12x−2>−x+112x−2>0的解集为x>4，
故答案为：x>4．
(1)结合图象即可求解；
(2)通过观察图象求解即可；
(3)①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
②通过观察图象求解即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设幸福牌跳绳的单价为x元，平安牌跳绳的单价为y元，
依题意，得：2x+y=313x+2y=54,
解得：x=8y=15．
答：幸福牌跳绳的单价为8元，平安牌跳绳的单价为15元．
(2)设购进幸福牌跳绳m根，则购进平安牌跳绳(60−m)根，
依题意，得：60−m≥2m，
解得：m≤20．
设本次采购所花总金额为w元，则w=8m+15(60−m)=−7m+900．
∵−7<0，
∴w值随m值的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最小值，最小值为760，
∴当购进20根幸福牌跳绳、40根平安牌跳绳时，所花费用最少，最少费用为760元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
(1)设幸福牌跳绳的单价为x元，平安牌跳绳的单价为y元，根据“2根幸福牌跳绳和1根平安牌跳绳共需31元，2根平安牌跳绳和3根幸福牌跳绳共需54元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进幸福牌跳绳m根，则购进平安牌跳绳(60−m)根，根据平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设本次采购所花总金额为w元，根据总价=单价×数量可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
24.【答案】解：(1)由x+y=−7−mx−y=1+3m，
可得2x=2m−62y=−4m−8，
∴x=m−3y=−2m−4
∵x≤0，y<0，
∴m−3≤0−2m−4<0
解得−2∴m的取值范围是−2(2)因为−2∴m−3≤0，m+2>0，
|m−3|−|m+2|
=3−m−m−2
=1−2m；
(3)将不等式2mx+x<2m+1整理，
得(2m+1)x<2m+1．
∵x>1，
∴2m+1<0，
∴m<−12，
∴−2∴m=−1．
【解析】(1)求出方程组的解，根据x≤0，y<0，可得到关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可；
(2)根据(1)中得到m的取值范围，进行去绝对值，可求出化简结果；
(3)首先可将不等式2mx+x<2m+1变形，(2m+1)x<2m+1，根据已知条件解集为x>1，可知2m+1<0，结合(1)可求得m的取值范围，又m为整数，即可求得m的值．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握不等式的解法，属于中考常考题型．
25.【答案】(1)
①DE//AC；
②S1=S2 ．
(2)如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°−90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
∠ACN=∠DCM∠CMD=∠N=90°AC=CD，
∴△ACN≌△DCM(AAS)，
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，
即S1=S2；
(3)如图，过点D作DF1//BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D//BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，
∴∠CDF1=180°−∠BCD=180°−30°=150°，
∠CDF2=360°−150°−60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
DF1=DF2∠CDF1=∠CDF2CD=CD，
∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE//AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=12×4÷cs30°=2÷ 32=4 33，
∴BF1=4 33，BF2=BF1+F1F2=4 33+4 33=8 33，
故BF的长为4 33或8 33．
【解析】
解：(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE//AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=12AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，
即S1=S2；
故答案为：DE//AC；S1=S2；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=12AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
(2)根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
(3)过点D作DF1//BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个．

2022-2023学年广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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