专题6.8期中大题易丢分培优训练（期中真题压轴80道，八下人教）-八年级数学下学期复习备考高分秘籍人教版

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八年级数学下学期复习备考高分秘籍人教版
专题6.8期中大题易丢分培优训练（期中真题压轴80道，八下人教）
一、解答题
1．（2022秋·湖南永州·八年级统考期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD=6cm，BC=10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．

(1)t取何值时，四边形EFCD为矩形？
(2)M是BC上一点，且BM=4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠ABC=60°，点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP=4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设CQ=m．

(1)当平行四边形BPDQ的面积为63时，求m的值；
(2)求证：△DEF≌△QCF；
(3)如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积．
3．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿BC边，以3厘米/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问：

(1)t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
(3)t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
4．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）（1）如图1，点E为▱ABCD中AB边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺在CD上找一点F，使得DF=BE．
（2）如图2，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点(BE>DE)，请你仅用无刻度的直尺画一个菱形，使得AE为菱形的一边．

5．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）如图1，有一个正方形ABCD，将边CB绕点C旋转得到线段CE，连接BE，点F是BE的中点，过点A作AG⊥BE交直线BE于点G．

(1)如图2，当点E落在正方形内部时，易得：
①CF与BE的位置关系是 ；
②线段AG与FB的数量关系是 ；
③CF，AG，GF的数量关系是 ．
(2)若点E落在正方形外部（点B，C，E不在同一直线上）时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论．
6．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．

(1)在图1中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为10+213
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，BF=_________．
7．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
8．（2022春·广东肇庆·八年级校考期中）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°,30°,15°等大小的角，可以采用下面的方法：
第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．

(1)请问图中∠1、∠2和∠3有什么关系？证明你的结论．
(2)在第（1）题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为5−12），若已知AB=4，求BC的长．
9．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，长方形ABCD沿直线EF翻折，使点C落在点C′处，点B落在点B′处．

(1)如图1，当延长FC′恰好经过点A时，C′B′交AB于点H，连接C′E．已知H为C′B′中点．
①求证：△AHC′≌△EHB′．
②若HB=11，BC=211．求AF的长．
(2)如图2，当C′与点A重合时，作AO⊥EF，若ADCF=35，求OFAO的比值．
10．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕两端点分别在AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10．设AE=x．

(1)当BF的最小值等于______时，才能使点B落在AD上一点E处；
(2)当点F与点C重合时，求AG的长．
(3)当AE=3时，点F离点B有多远？
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图1矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts.

(1)当t=2时，求△PBQ的面积；
(2)当t为何值时，△DPQ是以PQ为底的等腰三角形；
(3)当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中， DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）▱ABCD中，点E、F分别在C、AD上，且DF=BE．

(1)如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)如图2，若E为BC中点，连接BF、DE、EF，AE与BF相交于点G，CF与DE相交于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除▱ABCD和▱AECF以外的所有平行四边形．
13．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）▱ABCD中，点E在边AD上，∠B+∠AEC=180°．

(1)如图1，求证：CD=CE；
(2)如图2，延长BA、CE交于点F，点G在线段CE上，连接AG、DG，若∠AGE=∠CDG，求证：△AFG≌△GCD；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，若DF=DG，∠ADG=2∠BFC，BC=4，求AE的长．
14．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点P的运动时间为t秒．

(1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长；
(2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值；
(3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值；
(4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值．
15．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．

(1)初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP= ______时，△ABP与△CBP为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长；
(3)综合应用：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形．
16．（2022春·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考期中）如图，将一张矩形ABCD的纸片沿BD向上折叠，顶点C落在点E处，BE交AD于F．

(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)过D作DG∥BE交BC于G，连接FG，交BD于O．
①判断四边形BFDG的形状；
②若AB=6，AD=8，求FG的长．
17．（2022春·湖南怀化·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．

(1)若动点M,N同时出发，t秒时，N走过___________cm，M走过___________cm；
(2)若动点M,N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
(3)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M,N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A,E,M,N组成平行四边形？
18．（2022春·福建厦门·八年级统考期中）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．

(1)求证：PB=PE；
(2)若正方形ABCD的边长为6．
①过点E作EF⊥AC于点F，如图2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
②连接BE交AC于点G，在点P运动的过程中，当CE=2，求PG的长．
19．（2022春·山东德州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，动点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
20．（2022春·江西赣州·八年级校考期中）如下图所示，在平面直角坐标系中，四边形AOCB的点O在坐标原点上，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（15，8），点C的坐标为（21，0），动点M从点A沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，动点N从C点沿CO的方向以每秒2个单位长度的速度运动.点M、N同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒.

(1)当t=2时，点M的坐标为___________，点N的坐标为___________；
(2)运动过程中，当t=5时，四边形MNCB时什么四边形？
21．（2022春·贵州黔东南·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）若AB=3cm，求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
探究：
（3）若AB=3cm，在整个运动过程中是否存在一个时间，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由．
能力提升：
（4）探究：如果要使第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形，则线段AB的长又要等于多少？

22．（2022春·江西赣州·八年级校考期中）阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O.
简单应用：

(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是___________；
(2)当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=___________°；
(3)当图③中的四边形AECF为菱形时，求证OD′CB′为完美筝形.
23．（2022春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．

(1)如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；
(2)如图2，若∠ACB＝45°，试探究AF，FO，EG之间的数量关系，并证明．
24．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，经过折叠使点A落在BC边上的点E处，折痕为PQ．当点E在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动.规定点P、Q分别在AB，AD上移动．

(1)当点A落在图1中E点处，如果PA=2，求BE的长为多少？
(2)当点E恰好是BC的中点时，AP和DQ的长分别是多少？
(3)点E在BC边上可移动的最大距离是多少？
25．（2022春·广西玉林·八年级校考期中）在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；

(2)如图2，当点E在线段CA的延长线上时，若BM∥CE交ED的延长线于点M，连接FM，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

26．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

(1)已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”， ∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请证明此结论：
②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”，你认为他的猜想 （填正确或不正确）．
(3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线的长为 ．
27．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P．

(1)求∠ECP的度数；
(2)求证：AE=EP；
(3)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，在边长为4的正方形ABCD中，将线段AB沿射线BD平移，得到线段GF，连接CG,CF，则直接写出CG+CF的最小值是 ．
28．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，∠A=∠B=∠C=∠D=∠=∠F=90°，AB、EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线．

(1)下列四副图中，直线L是该“L图形”等积线的是_________(填写序号)

(2)如图2，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“L图形”中，AB=6，BC=10，AF=2．
①若CD=2，在下图中画出与AB平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为 ．
29．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，△ABC中，AB=AC，点N为AC中点，点D为AB上一点，连结CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．动点P从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BA向终点A运动，设点P运动的时间为t（秒）．
　
(1)求证：CD⊥AB．
(2)若△BPN为等腰三角形时，求t的值．
(3)如图2，动点P出发的同时，另有一点Q从点D出发沿线段DC向终点C运动，速度为13个单位/秒，连结BQ,PQ，将线段BQ,PQ绕点Q分别向顺时针和逆时针方向旋转90∘，得到线段QE和QF，当E,C,F三点共线时，直接写出t的值为______．
30．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点P是边BC上一点，连接AP，AP=CP．

(1)如图1，求证：AP⊥AB；
(2)如图2，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，延长AP交CD于点Q，求证：AP=2PQ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BQ，在CP上取一点E，连接AE，使∠CAE=∠DBQ，若AQ=6，求PE的长．
31．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是______．

（2）如图2，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC,CA,AB上的动点，
①PM+MN的最小值为______；②求PM+MN+NP的最小值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE,DP，求DE+DF的最小值．
32．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．

(1)如图1，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=150°，∠D=30°， AB=BC=2，则AD= ___________ ；CD= ___________．
(2)小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD=BD，∠BAD=∠BCD=60°，BC=5，CD=3，求AC的长．
小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC．请你按照小军的思路求AC的长．
(3)如图3，在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=120°，BC=23，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
33．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）在△ABC中， ∠BAC=90°,AB=AC,D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

(1)如图①,当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变:
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;
②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
34．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图所示，△ABC是一个边长为4的等边三角形，D是直线BC上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE=120°，并以AB、AE为边作平行四边形ABFE．

(1)当点D在线段BC上时，AD交BF于点G，求证：△ABD≌△BCF；
(2)求线段BF的最小值： ．
(3)当直线AE与△ABC的一边垂直时，请直接写出▱ABFE的面积．
35．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形ABCD的边长为8，点P、G分别在射线BC、边AB上，连接PG，点B关于PG的对称点为Q，连接BQ．

(1)如图1，取AD、BC的中点E、F，连接EF，若点Q刚好落在线段EF上，且点P在线段FC上，则∠PBQ的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在AD边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当PC=2时，求AG的长；
②若线段PQ与CD相交于点N，连接BN，试探索点Q落在不同位置时，∠QBN的度数是否发生变化，若不变，求出∠QBN的度数；若变化，请说明理由．
36．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．

(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度数；
(2)如图（2）延长BD，EC交于点M，
①证明：A，M，H在同一条直线上；
②若BC=2CM，证明：BD=HD．
37．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）（1）如图1，四边形ABCD是正四边形，∠EAF在∠BAD的内部绕点A转动，若AE平分∠BEF．求证：AF平分∠DFE．

（2）如图2，四边形ABCD是正四边形，∠EAF=45°，∠EAF绕点A旋转，∠EAF的边与CB的延长线交于点E，与DC的延长线交于点F，判断BE、EF、DF的数量关系并证明．

38．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）（1）如图1，将长方形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=58°，则∠DBE=　 　°；
（2）小明手中有一张长方形纸片ABCD，AB=CD=4，AD=BC=9．
【画一画】
如图2，点E在这张长方形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【算一算】
图3，点F在这张长方形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=73，求B′D的长．

39．（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）【问题初探】（1）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，试判断EF,BE,DF之间的关系．聪明的小明是这样做的：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ．

【类比探究】（2）如图2在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠B=∠ADC=90°，点E，F分别在四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小明的发现给你的启示写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明．

40．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A9,0，B(9,4)，AD=1，CE=5，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（0
(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当∠PED为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当△PED是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
41．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
1×12=1−12；12×13=12−13；13×14=13−14；14×15=14−15 ……
(1)请用含n的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)；
(4)计算：11+2+12+3+13+2+⋯+13+10．
42．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示−5，设点B所表示的数为p．
①则p的值=　　；
②若p的小数部分为k，求k+52的值．
（2）已知4a2+b2+4ab与3b+12互为相反数，
①则2a−3b的平方根　　；②解关于x的方程ax2+4b−2=0．
（3）已知正实数x的平方根是m和m+b．
①当b=8时，则m　　；②若m2x+m+b2x=32，求x的值．
43．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
44．（2022春·山西临汾·八年级统考期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：4+23=1+3+21×3=12+2×1×3+32=1+32，
5−26=3+2−23×2=32−2×3×2+22=3−22．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简4+23=1+32=1+3，5−26=3−22=3−2．
(1)请你依上述方法将4−23化成一个式子的平方，并直接写出4−23的值．
(2)化简：4−23+8−215+12−235+16−67．
(3)若a+26=m+n且a、m、n均为正整数，则a=________．
45．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝23和b＝32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝42，d＝27大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝25+6，n＝23+14之间的大小，并证明．
(3)化简：4p−8p−1+4p+8p−1＝ （直接写出答案）．
46．（2022春·北京·八年级北理工附中校考期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：4+23=1+3+23=12+23+(3)2=(1+3)2．
这样小明就找到了一种把类似4+23的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)结合小明的探索过程填空： + 5=(1+25)2；
(2)7+43的算术平方根为 ；
(3)化简：3−22+5−26+7−212+⋯+2n+1−2n(n+1) ．(?为正整数)
47．（2022春·重庆丰都·八年级期中）如果记y=x1+x=fx，并且f1表示当x=1时y的值，即f1=11+1=12；f2表示当x=2时y的值，即f2=21+2；f12表示当x=12时y的值，即f12=121+12=12+1；…
（1）计算下列各式的值：
f2+f12=__________.
f111+f1111=__________.
（2）当n为正整数时，猜想fn+f1n的结果并说明理由；
（3）求f1+f2+f12+f3+f13+⋅⋅⋅+f100+f1100的值.
48．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）小明在解决问题：已知a＝12+3，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝12+3＝2−32+32−3＝2－3，
所以a－2＝－3.
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： 12+1=    － .
(2)计算：12+1+13+2+14+3＋…＋1100+99；
(3)若a＝12−1，求4a2－8a＋1的值．
49．（2022春·广西崇左·八年级统考期中）先观察下列等式，再回答问题：
①12+2+(11)2 =1+1=2；
②22+2+(12)2=2+ 12=2 12；
③32+2+(13)2=3+13=313；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
50．（2022春·江西南昌·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式23+1的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−1=3−1
方法二：23+1=3−13+1=(32)−13+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1
（1）请用两种不同的方法化简：25+3；
（2）化简：14+2+16+4+18+6+⋯+12020+2018．
51．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）像(5+2)(5﹣2)＝1、a•a＝a(a≥0)、(b+1)(b﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，5与5，2 +1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：233；
(2)计算：12−3+13−2；
(3)比较2018−2017与2017−2016的大小，并说明理由．
52．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为a×a=a，2+12−1=1，所以a与a，2+1与2−1互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)3−2的有理化因式是________；化简：3+23−2=________；
(2)化简：13+1+15+3+17+5+⋯⋯+1289+287
(3)拓展应用：已知，a=2020−2019，b=2021−2020，c=2022−2021，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
53．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
①13+2=1×3−23+23−2=3−232−22=3−2；
②11−10=11−101=11−1011+101×11+10=111+10．
(1)直接写出结果1n+1+n= ；
(2)化简：12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+1100+99；
(3)比较大小：2023−2022与2022−2021．
54．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知x=15−2，y=15+2
(1)求x2+2xy+y2的值．
(2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求ax+by的平方根．
55．（2022春·广东肇庆·八年级校考期中）先观察下列等式，再回答下列问题：
①1+112+122=1+11−11+1=112；
②1+122+132=1+12−12+1=116；
③1+132+142=1+13−13+1=1112．
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想1+142+152的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；
(3)请利用上述规律来计算5049+164（仿照上式写出过程）．
56．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，门上针子P处挂萡一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD，则得AB=10cm，AD=24cm．如图1，当挂牌水平悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳AP=DP=20cm，此时点P到BC所在直线的距离为______cm．将该门挂的挂绳长度缩短4cm后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现AC与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了______cm．

57．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=2，求m2+1+n2+4的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．

①用含m的代数式表示CE= ，用含n的代数式表示DE= ；
②据此写出m2+1+n2+4的最小值 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式x2+25+x−162+49的最小值是 ；
(3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，画出图形，并写出a2+b2+b2+c2+c2+a2的最小值；
②若a，b为正数，写出以a2+b2，4a2+b2，a2+4b2为边的三角形的面积 ．
58．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，CD，BE是△ABC的两条高线，且它们相交于Q，F是BC边的中点，连接DF，DF与BE相交于点P，已知BD=CD．

(1)求证BQ=AC
(2)若BE平分∠ABC．
①求证：DP=DQ；
②若AC=8，求BP的长．
59．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线．求中线AD的取值范围；（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE）
（2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边的中点，∠EDF=90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE2+CF2=EF2；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且EF⊥EG，若AF=4，DG=23，求GF长．

60．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在等边△ABC的AC、BC边上各取一点D、E，AE、BD相交于点F，∠BFE=60°．

(1)求证：AD=CE；
(2)如图2，过点B作BG⊥AE于点G．

①若BE=2EC=2，求BG的长；
②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE的度数．
61．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2−1，AC=2n.

(1)试判断△ABC的形状，并证明：
(2)当n=2时，点D从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线A→B→C→A运动，设运动时间为t秒，
①当BD平分∠ABC时，求t的值：
②当点D落在边AB的垂直平分线上时，求t的值；
③在整个运动过程中，直接写出△BCD为等腰三角形时t的值.
62．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．

(1)对于①等边三角形，②直角三角形，下列说法一定正确的是________．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D.①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=6，则该三角形的面积为________；
(3)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2，求AD的长．
63．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−B−C−A运动，设运动时间为t秒t>0．

(1)点P运动结束，运动时间t=______；
(2)当点P到边AB、AC的距离相等时，求此时t的值；
(3)在点P运动过程中，是否存在t的值，使得△ACP为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
64．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AE为BC边上的中线．
　
(1)求AE的长；
(2)动点P的速度为2cm/s，运动时间为t秒．
①如图2，当点P从点B开始沿BC边向点C移动时，若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t的值．
②如图3，当点P从点C开始沿AC边向点A移动时，将△CPE沿直线PE对折，点C的对称点为C′，当△C′PE与△AEP重叠部分为直角三角形时，请直接写出t=_____．
65．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD=AE，根据∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD=CE，位置关系为BD⊥CE；

(1)探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．
①则线段BC，DC，CE之间满足的等量关系式为　 　；
②求证：BD2+CD2=2AD2；
(2)拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求AD的长．
66．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．

(1)动点P运动2秒后，求△ABP的周长．
(2)问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
67．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=1+12=2，S1=12，
OA32=1+22=3，S2=22，
OA42=1+32=4，S3=32，
……

(1)OA10=_____；
(2)用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律：OAn2=_____，Sn=_____；
(3)若一个三角形的面积是5，则它是第______个三角形；
(4)求出S12+S22+S32+S42+⋯+S102的值．
68．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）（1）如图1，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；

【变式探究】（2）如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若∠B=∠FDE=∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；
【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，BA=BC，∠B=45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF=2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE=DF，∠EDF=45°，连接CE．
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC=4，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．
69．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　 　、　 　；
(2)若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4=32−12，12=52−12，24=72−12……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为　 　、　 　；
(3)用所学知识加以说明．
70．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）阅读材料：
材料一：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐标分别是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 P、Q 这两点间的距离为 PQ=(x1−x2)2+(y1−y2)2.如点P1,2，Q3,4，则PQ=(1−3)2+(2−4)2=22．
材料二：求代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值．
解：原式变形为(x−0)2+(0+2)2+(x−12)2+(0−3)2，它的几何意义是在 x 轴上的一点Mx,0到点A0,−2和点B12,3的距离之和的最小值．因为 A、B 在 x 轴的两侧，所以当 P、A、B 三点共线时最小，此时最小值等于线段AB的长度，因为AB=(0−12)2+(−2−3)2=13，所以代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值为13．
阅读以上材料，解决下列问题
(1)【材料理解】代数式(x−1)2+4+(x−3)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点Mx,0与点A1,2、点 B_________的距离之和．（填写点B的坐标，只填写符合题意的一个即可）
(2)【直接运用】 求代数式x2+25+x2−8x+17的最小值．
(3)【思维拓展】
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，2)，B(0，4)，有一条长度为3的线段CD（点 D 在点C 的右侧）在x轴上运动．连接AC、BD，求AC+BD的最小值．

71．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA=7．

(1)当OA=OB时，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N，若AM=33，求BN的长．
(2)当点B在y轴正半轴上运动时，分别以OB，AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE，连结EF交y轴于点P，如图2．试猜想：PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，不必说明理由．
72．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

(1)判断DP与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长；
(3)若AC=6，BC=8，则PE的最小值为 　 ．（直接写出结果）
73．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件AB，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成60°角，即∠ACB=60°；在AC的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件AB进行扫描，已知扫描光线的张角恒为60°，即∠EDF=60°．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件AB边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段AE和线段BF）之间的数量关系．

问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，AE+BF________EF（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当∠ADE=30°时，AE+BF________EF（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当0°<∠ADE<60°时，AE+BF________EF，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果BF2+EF2=AE2，求出EFAE的值．
74．（2022秋·浙江·八年级期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AE为BC边上的中线．

(1)求AE的长；
(2)动点P的速度为2cm/s，运动时间为t秒．
①如图2，当点P从点B开始沿BC边向点C移动时，若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t的值．
②如图3，当点P从点C开始沿AC边向点A移动时，将△CPE沿直线PE对折，点C的对称点为C′，当△C′PE与△AEP重叠部分为直角三角形时，请直接写出t的值为_________
75．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．
图1中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm；图2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．
图3是小刘同学所做的一个实验：他将ΔDEF的直角边DE与ΔABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF的直角边DE与ΔABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，小刘同学发现：F、C两点间的距离逐渐 　　；（填“不变”、“变大”或“变小” )
(2)小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
请你分别完成上述两个问题的解答过程．
76．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．

(1)当AD=4，BC=5时，求CD的长；
(2)当BC=CE时；求证：AE⊥AB；
(3)设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且S1S2=1825，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰三角形，若存在，求出相应的BEBC的值，若不存在，请说明理由．
77．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)出发2秒后，求△PCQ的面积；
(2)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为直角三角形的运动时间．
(3)当两P、Q点其中有一点落在△ABC某内角的角平分线上时，请直接写出满足条件的t的值．
78．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2，从而得到等式c2=12ab×4+b−a2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
79．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“美妙线”．

(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“美妙线”，若∠BAD=100°,∠BCD=160°，则∠ABC=______°；
(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC2=2AB2，∠A=60°，∠D=150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
(3)若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，且BD为“美妙线”，请直接写出∠ADC的度数______
80．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE，DE，可知，此时△AED是等腰直角三角形；

【问题提出】
(1)如图②，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE=PF，∠EPF=90°
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
【问题探究】
(2)如图③，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0，点B4,1，点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；
【问题解决】
(3)如图④，在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0，点C是y轴上的动点，△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接BO，求BO+BA的最小值．[注：在平面直角坐标系内，Aa,c，Bb,d，则AB=a−b2+c−d2]