2023届辽宁省部分学校高三下学期高考适应性测试数学试题含解析

2023届辽宁省部分学校高三下学期高考适应性测试数学试题

一、单选题

1．设是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据复数的除法可得，结合条件即得.

【详解】因为，是纯虚数，

所以，即.

故选：B.

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解指数不等式得，再根据对数函数定义域即可得到答案.

【详解】由题意得，解得，则，

根据对数型函数定义域得，

∴．

故选：C．

3．满足函数在上单调递减的充分必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数的单调性，求出的取值范围即可

【详解】解：若在上单调递减，则满足且，则，

即在上单调递减的一个充分必要条件是.

故选:B.

【点睛】本题主要考查复合函数单调性的判断，考查了充要条件. 不忽视函数的定义域是解决本题的关键.

4．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，利用平面上两点间的线段距离最短，通过解三角形求解即可．

【详解】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：

则即为的周长的最小值，又因为，

所以，在中，，由勾股定理得：

．

故选：C．

5．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】D

【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断.

【详解】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对B，由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向．

易知，均为含角的直角三角形，故，则，而，故，

故，故B错误；

对C，因为，．故C错误；

对D，，则在上的投影向量为，故D正确．

故选：D．

6．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）

A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77

【答案】D

【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.

【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，

记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，

所以，

又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，

记事件为“选到绑带式口罩”，则

所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.

故选：D.

7．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.

【详解】三棱锥中，，，，

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，

设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，

因此三棱锥外接球的直径为，

所以三棱锥外接球的表面积为．

故选：A

8．已知实数，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将已知的等式两边取对数可得，，.设函数，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．

【详解】由，，得，，，因此，，.

设函数，则，，，

，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，又，

所以，

故选：A.

【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值，最值问题的重要而有效的工具．本题关键在于构造函数，运用导函数的符号研究函数的单调性，从而比较函数的大小关系．

二、多选题

9．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．是的最大值

C．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象

D．时，的最小值为，的最大值为1

【答案】AC

【分析】化简已知可得，即可判断A项；代入求出，即可判断B项；求出平移后的函数解析式，即可判断C项；求出的范围，结合正弦函数的单调性，即可得出函数的最值，进而判断D项.

【详解】对于A项，因为，所以周期，故A正确；

对于B项，，故B不正确；

对于C项，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确；

对于D项，因为，所以.

因为在上单调递增，在上单调递减，

故当时，取得最大值，最大值为2；

又时，，时，，

所以当时，取得最小值，最小值为，故D不正确．

故选：AC．

10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等

【答案】ABC

【分析】证明平面，可判断A选项的正误；利用面面平行的性质可判断B选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；判断到线段的距离与到线段的距离的关系，即可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，连接、，

因为四边形为正方形，则，

平面，平面，，

平面，，

所以平面，

因为平面，因此，A选项正确；

对于B选项，因为平面平面，平面，

所以平面，B选项正确；

对于C选项，因为的面积为，

点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；

对于D选项，设，取的中点，连接、，

由A选项可知，平面，即平面，

平面，则，

因为且，故四边形为平行四边形，

则且，

因为、分别为、的中点，故且，

所以四边形为平行四边形，

平面，平面，所以，

故四边形为矩形，所以，

平面，所以平面，

平面，，，

所以，D选项错误.

故选：ABC.

11．瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是（ ）

A．(2,0) B．(0,2) C．(－2,0) D．(0,－2)

【答案】AD

【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标．

【详解】，，的垂直平分线方程为，

又外心在欧拉线上，

联立，解得三角形的外心为，

又，

外接圆的方程为．

设，则三角形的重心在欧拉线上，即．

整理得．

联立，解得或．

所以顶点的坐标可以是，

故选：AD．

12．定义在上的偶函数满足，且当时，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据的对称性以及周期性，结合函数表达式画出图象，即可结合函数图象求解 的范围.

【详解】因为定义在R上的偶函数满足，所以关于对称，

又，所以，

则4为函数的周期，根据函数性质画出函数的图象，

因为关于x的不等式的整数解有且仅有9个，

所以满足 解得，

则实数m的取值范围为

由于，，，．

故选：BC．

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：

(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；

(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

三、填空题

13．在的展开式中，含的项的系数是______．

【答案】

【分析】由二项式的展开式即可求得答案.

【详解】因为，所以含的项为：，

所以含的项的系数是．

故答案为：．

14．已知数列满足，，则______．

【答案】

【分析】先利用判断出为常数列，求出数列的通项公式，即可求出.

【详解】因为，即，

所以，等式两端同时除以，

整理得：，即为常数列．

因为，所以，

所以，所以．

故答案为：2022．

15．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．

【答案】

【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.

【详解】∵，则，

原题意等价于对任意恒成立，

由，，则，

可得，

当且仅当，即时取得等号，

∴，解得．

故正实数的取值集合为.

故答案为：．

16．已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是______．（只填序号）

①为偶函数；

②为奇函数；

③；

④.

【答案】①④

【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项A；根据函数是奇函数是奇函数，周期为4即可判断选项B；根据的性质分析可得，再根据的周期性即可判断选项C；再结合函数的周期即可判断选项D.

【详解】因为，所以，

又因为，则有，

且是奇函数，则，可得，即，

则，

即，所以是周期为4的周期函数，

因为，则，

可得，

故也是周期为4的周期函数．

对于①：因为，则，即，

所以，所以为偶函数．故①正确；

对于②：∵

，

∴，故②错误；

对于③：因为，令，即，则，

又因为，令，所以，

令，则，即，

即，

所以，所以③错误；

对于④：因为，

所以

，

所以，所以④正确．

故答案为：①④．

【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

四、解答题

17．在锐角中，角，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）选条件①，由已知式子转化为正切函数，根据正切函数值得角的大小；选条件②，由已知式子结合正弦定理与三角恒等变换，化简得余弦函数值，即可得角的大小；

（2）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换将三角形周长转化正弦型三角函数，利用正弦型三角函数的性质求取值范围即可.

【详解】（1）选条件①：

因为，

所以，所以．

又因为，所以，所以，所以．

选条件②：

因为

由正弦定理可得．

即，

又因为，所以．

因为，所以．

（2）由正弦定理得，则，

又，则，且在锐角中，所以，，则，

所以

因为，所以，则

所以，即周长的取值范围为．

18．已知为单调递增数列，为其前项和，

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若为数列的前项和，证明：.

【答案】(1)；(2)见解析.

【分析】（1）由得，所以,

整理得,所以是以为首项，为公差的等差数列，可得.

（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求得的前项和，利用放缩法可得结论.

【详解】试题解析：（Ⅰ）当时，,所以，即,

又为单调递增数列，所以.

由得，所以,

整理得,所以.

所以，即,

所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.

(Ⅱ)

所以

.

【点晴】本题主要考查数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

19．刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形ABCD是正方形，平面和平面交于．

(1)求证：；

(2)若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的绝对值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证；

（2）过点作于，过点作于，连接，根据面面垂直的性质可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）在正方形中，，平面，平面，

所以平面，

又平面，平面与平面交于，

所以；

（2）过点作于，过点作于，连接，

由平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，∴，

在四边形中，，，，所以，，

在正方形中，，所以，

因为，且，所以，

所以，，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量，

由，令，则，

设平面的一个法向量，

由，令，则，

设平面和平面所成角为，

则，

所以平面和平面所成角余弦值的绝对值为．

20．甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）．

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．

(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；

(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．

参考公式与临界值表：，n＝a＋b＋c＋d．

【答案】(1)没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关

(2)证明见解析

【分析】(1)依据列联表中的数据代入，求出后参考临界值表.

(2)分别列出小明参加甲乙程序的分布列，算出E（X）与E（Y），通过E（X）＞E（Y）即可证明：P（A）＞P（B）．

【详解】（1）因为

，且，

所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关．

（2）因为小明参加各程序的结果相互不影响，

所以，则．Y的可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

随机变量Y的分布列：

．

因为E（X）＞E（Y），所以，即，

所以，

所以P（A）＞P（B）．

21．已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为，离心率为，点为椭圆上异于的两点，直线相交于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点在直线上，求证：直线过定点．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（1）先根据题意得，进而得，求解即可得出结论；

（2）设，先讨论直线垂直于轴时不满足题意，再讨论不垂直于轴时，设其方程为，与椭圆方程联立得，，再根据为直线的交点得，化简得即可求出结论.

【详解】解：（Ⅰ）依题意，

解得

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）设，则

①当直线垂直于轴时，

由对称性，直线交于轴，不合题意，舍去．

②当直线不垂直于轴时，设其方程为．

联立得．

依题意，

所以．

因为，

所以直线方程为，

直线方程为

依题意，设，因为为直线的交点，

所以

所以

所以．

所以．

所以．

所以

因为，所以．

所以，，直线MN方程为．

所以直线过定点.

【点睛】本题考查根据求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算能力，是中档题.

22．已知函数，（其中a为非零实数）

(1)讨论的单调性：

(2)若函数（e为自然对数的底数）有两个零点，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，分类讨论可得；

(2)将变形成，然后取对数、换元转化为，再利用相应方程进行整体代换，最后换元将双变量问题转化为单变量问题可解.

【详解】（1）的定义域为

，

若，则时，，单调递增；

当时，，单调递减.

若，则当时，，单调递减；

当时，单调递增.

（2）由已知得有两个不等的正实根，

所以方程，即，即有两个不等正实根.

要证，只需证，即证.

令，所以只需证.

由得，

所以，

消去得，只需证

设，令，则，所以只需证.

令，则，

所以，即当时，成立.

所以，即，即.

【点睛】该题破题的关键在于：1、利用两根满足的方程进行整体代换进行化简；2、巧妙变形，通过换元将双变量化为单变量.