2023届山西省部分学校高三下学期4月模拟考试数学试题含解析

2023届山西省部分学校高三下学期4月模拟考试数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用交集的定义求解结果.

【详解】∵集合或，

集合，

则.

故选：C．

2．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数单调性和值域，以及对数函数单调性可分别限定的取值范围，即可比较出其大小.

【详解】根据指数函数为单调递增函数可得，，

即；

再由指数函数为单调递减函数可知，，

结合指数函数值域可得；

根据对数函数在上为单调递增可知，，

即；

所以.

故选：A

3．已知，则（    ）

A． B． C．2 D．5

【答案】B

【分析】利用二倍角公式，进行弦化切代入即可求解.

【详解】.

因为，

所以.

故选：B

4．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（    ）

A．15 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为利用基本量代换求出，进而求解.

【详解】设等差数列的公差为.

∵，∴，解得：，．

∴，∴．

∴．

故选：D．

5．随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔占地面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，可得出，可得出圆的半径，乘以比例尺，可得出实际圆的半径长，再利用圆的面积公式可求得结果.

【详解】令，得方程为，这是一个半径为的圆．

乘上比例尺，即圆的实际半径为，

则建筑的占地面积为．

故选：C.

6．已知正实数，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；当时可得必要性不成立，即可得出结果.

【详解】根据基本不等式可得，即，可得，

所以充分性不成立；

若，可令满足，此时；

即必要性不成立；

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

7．如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（    ）

A．224 B．336 C．448 D．576

【答案】B

【分析】根据题意可得先分步，先盖，再进行分类讨论盖上，利用分类加法和分步乘法基本计数原理即可得出其结果.

【详解】第一步：先盖，有种方法；

第二步：再盖．

①若C与A或B在同一列，则有2种盖法，D就有3种盖法，共种方法；

②若C与A或B不在同一列，则有4种盖法，D就有2种盖法，共种方法．

综上所述，满足要求的有种方法．

故选：B．

8．已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式和三角函数的性质把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用求出的取值范围.

【详解】由题可知，为偶函数，

∴，即．∵，∴．

∴，

令，由得，

∴转化为，．

如图，在上有且仅有一个极大值点没有极小值点时，，∴．

故选：A．

二、多选题

9．若复数满足，则（    ）

A．的虚部为 B．

C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】BC

【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的特征逐一判断各选项.

【详解】因为，

对于A，的虚部为，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，z在复平面内对应的点位于第一象限，故D错误；

故选：BC．

10．已知定义在上的奇函数对任意的有，当时，．函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数是周期为4的函数

B．函数在区间上单调递减

C．当时，方程在上有2个不同的实数根

D．若方程在上有4个不同的实数根，则

【答案】ABC

【分析】分析函数的周期判断A；确定在区间上单调性判断B；分析的最大值判断C；由方程有4个根求出a的范围判断D作答.

【详解】对于A，，，则，因此函数是周期为4的函数，A正确；

对于B，当时，，因此函数在区间上单调递减，B正确；

对于C，因为函数是上的奇函数，由得：，即函数的图象关于直线对称，

当时，当时，，则当时，，，

函数在上单调递增，在上单调递减，，因此函数在上的值域为，

当时，，当时，，即方程在上无解，

当时，令，，当时有，即函数在上递增，

当时，，即函数在上有唯一零点，

当时，令，显然函数在上单调递减，

，，因此函数在上有唯一零点，

当时，，即方程在上无解，

所以当时，方程在上有2个不同的实数根，C正确；

对于D，函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数的周期为4，

则，，由选项C知，当时，，

即方程在上有一个根，当时，，

函数在上单调递减，，即方程在上有一个根，

显然函数在上单调递增，在上单调递减，当，即时，

方程在上有两个根，要方程在上有4个不同的实数根，

必有，即，又，因此当时，

方程在上无解，所以方程在上有4个不同的实数根，，D错误.

故选：ABC

11．如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（    ）

A．点A的轨迹是一个圆

B．的最大值为

C．当三点不共线时，面积的最大值为2

D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】由条件可得，设，由此可化得，即可判断A，当直线与圆相切时，最大，由此可判断B，，求出的最大值可判断C，当三点共线且点位于之间时，最小，求出最小值可判断D.

【详解】因为、，

所以，设，则，

化简得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确，

当直线与圆相切时，最大，

设直线的方程为，则有，解得，

所以此时直线的倾斜角为，即的最大值为，故B正确，

因为，所以，

因为，的最大值为，

所以的最大值为，的最大值为，故C正确，

当三点共线且点位于之间时，最小，最小值为，故D错误，

故选：ABC

12．半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点、、是该多面体的三个顶点，且棱长，则下列结论正确的是（    ）

A．该多面体的表面积为

B．该多面体的体积为

C．该多面体的外接球的表面积为

D．若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为

【答案】BCD

【分析】计算出该多面体的表面积和体积，可判断AB选项；作出图形，根据几何关系计算出该多面体的外接球半径，利用球体表面积公式可判断C选项；找出与垂直的直线，可求出点的轨迹长度，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，“阿基米德体”一共有八个面，

其中有四个面是边长为的正六边形，有四个面是边长为的正三角形，

因此，“阿基米德体”的表面积为，A错；

对于B选项，如下图所示，在棱长为的正四面体中，设顶点在底面的射影点为点，

延长交于点，则为的中点，

因为为等边三角形，则，且，

易知点为的中心，则，

因为平面，平面，所以，，

故，

，

即棱长为的正四面体的体积为，

因为“阿基米德体”是在棱长为的正四面体上截去了个棱长为的正四面体，

因此，“阿基米德体”的体积为，B对；

对于C选项，设等边的中心为，与平面平行的底面正六边形的中心记为点，

则平面，

原正四面体（棱长为）的高为，则，

由题意可知，“阿基米德体”的外接球球心在直线上，

易知，即正的外接圆半径为，

底面正六边形的外接圆半径为，

设，“阿基米德体”的外接球半径为，则，

解得，则，

因此，该多面体的外接球的表面积为，C对；

对于D选项，如下图所示：

由正六边形的几何性质可知，

因为，则，所以，，

即，同理可知，

因为，、平面，则平面，

因为平面，所以，，

由余弦定理可得，

同理可得，易知，

所以，点的轨迹长度为，D对.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、填空题

13．已知，，，则__________．

【答案】

【分析】利用，展开计算即可求得答案.

【详解】由，，，

可得，

故答案为：

14．已知函数，则___________．

【答案】

【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求出导函数，令求解，再求.

【详解】已知函数，则，

令可得：，解可得；，

.

故答案为：．

15．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间具有关系．检测这种药品一个批次的个样本，得到成分甲的平均值为克，标准差为，则估计这批中医药的药物功效的平均值为________________．

【答案】

【分析】设这个样本中成分甲的含量分别为，平均值为，即可求出，即可求出，从而求出平均数.

【详解】设这个样本中成分甲的含量分别为，平均值为，

则，所以，

所以，

所以，

于是，

则．

故答案为：

16．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例，若椭圆的离心率为此比值，则称该椭圆为“黄金椭圆”.若“黄金椭圆”的左，右焦点分别为，点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，的平分线交线段于点A，则___________．

【答案】

【分析】根据的平分线的性质及椭圆的定义求得结果.，

【详解】已知把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，

设线段较大部分为，较小部分为，.

则，，则，即，则.

如图，已知是的平分线，

则由角平分性质定理可以得出，

下面证明角平分性质定理：    

证明：在三角形中，由正弦定理；

在三角形中，由正弦定理.

 ，

所以，

所以.

则由椭圆的定义得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1);(2).

【分析】(1)根据与关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；

(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.

【详解】解：(1)当n＝1时，，

∵，∴．可得，当时，，，

两式相减，得，即，

故数列是首项为1，公比为的等比数列，则；

(2)由(1)知，，

故．

18．如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且．

(1)求的长；

(2)求锐二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，根据得到方程组，解得、，即可求出的坐标，再求出，即可得解；

（2）利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）因为底面，如图建立空间直角坐标系，

设，，，，所以，，

所以，即，解得或（舍去），

所以，所以，所以，即的长为.

（2）因为，

设平面的法向量为，则，令，则，

由（1）可知，，

设平面的法向量为，则，令，则，

所以，即锐二面角的余弦值为.

19．如图，在四边形中，已知，，．

(1)若，求的长；

(2)求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理求得，继而求得，再求得，在中利用余弦定理即可求得的长；

（2）设，由正弦定理表示出，利用三角形面积公式表示出面积，结合正弦函数性质即可求得最大值.

【详解】（1）在中，由余弦定理，得，

∴，整理得,

解得或（舍去）．

∴，

而,故,

∴，

故在中，

，

∴；

（2）设,则在中，,

则，

所以

，

当，即时，面积取到最大值.

20．周末可以去哪里？带着挖沙桶、皮球、滑板车和野餐垫，踩踩沙滩、在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞，沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的．小芸正在考虑购买一些物品，和父母一起在本周末去离家不远的度假村游玩．买挖沙桶需要40元，买皮球需要60元，买野餐垫需要100元，假设是否购买相互独立，小芸购买三种物品的概率依次为，只不购买野餐垫的概率为，至少购买一件物品的概率为．

(1)求小芸恰好购买两件物品的概率；

(2)求小芸购买物品的总金额X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解得，进而求出小芸恰好购买两件物品的概率；

（2）X的所有可能取值为0，40，60，100，140，160，200，求出对应的概率，得出分布列，进而计算数学期望.

【详解】（1）由题意，可得，即，解得，

由题意，可得小芸恰好购买两件物品的概率为：

.

（2）X的所有可能取值为0，40，60，100，140，160，200，

，

，

，

，

，

，

，

∴X的分布列为

∴．

21．已知抛物线过点，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点B的直线与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线分别交准线于点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由点在抛物线上得，由已知及两点距离公式列方程求得，即得抛物线方程；

（2）由题设令直线为，联立抛物线得，，并写出直线、求E，F两点横坐标，根据结合韦达定理求值即可.

【详解】（1）依题意，，则，故，又，

∴，解得（负值舍去），

∴抛物线C的标准方程为.

（2）由（1）及题设，且直线斜率存在且不为0，令直线为，

联立抛物线并整理得：，且，

所以，，

而，直线为，直线为，

令，则，，

所以，而，则.

22．已知定义在上的函数．

(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值；

(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出坐标轴上的截距，利用三角形面积公式求解即可；

（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.

【详解】（1）∵，

∴，∴，

∴切线方程为，

令，可得，令，可得，

∴，

∴；

（2）∵．

当时．，

由函数在区间上递增，且值域为，

∴存在唯一时，使得，

此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，

此时，，

同理，当时，使得，满足，

当时，使得，满足，

∴．

∵，代入可得．

又，即，

∴当时，，

当时，，

∴，整理得，此时数列为常数列，

又当，可得，不成立，

∴可知，此时．

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.