2023届辽宁省协作校高三下学期第一次模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省协作校高三下学期第一次模拟考试数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合A的元素，再按照交集的定义求解.
【详解】对于 ，解集为 ， ， ；
故选：C.
2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，分别求出，再根据复数的除法计算公式计算结果即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，，
所以.
故选：C
3．6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种B．60种C．90种D．120种
【答案】B
【分析】按照分步计数原理求解.
【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有 种方法；
第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有 种方法；
第三部，将剩余的3名老师给丙校，有 种方法；
总共有 种方法；
故选：B.
4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可．
【详解】解：设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，
根据截面圆的周长可得，得，
故由题意知，即，所以，
故选：B．
【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题．
5．已知，则大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换底公式结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
又因为，且函数在上为增函数，故.
故选：C.
6．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的周期为
B．在上单调递增
C．的对称中心为
D．在上单调递减
【答案】D
【分析】根据题意，由三角恒等变换可得函数的解析式，然后由正切函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，
则其周期为，故A正确；
当时，则，所以在上单调递增，故B正确；
令，则，所以的对称中心为，
故C正确；
因为正切函数只有单调递增区间，故D错误；
故选:D
7．已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】设，然后表示出两条切线方程，从而可表示出直线的方程，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线距离，从而可求出其最大值.
【详解】设，切点为，
由，得，则，
所以在点处的切线方程为，即，
因为，所以
在点处的切线方程为，即，
因为，所以
因为两切线都过点，
所以，，
所以直线的方程为，即，
所以原点到直线距离为
，当且仅当时取等号，
所以原点到直线距离的最大值为，
故选：B
8．设，若不等式 在时恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C． D．
【答案】A
【分析】根据原函数与反函数关于 对称构造函数，再根据所构造的函数的单调性求解.
【详解】对于 ，即 ，因为 是 的反函数，
所以 与 关于 对称，原问题等价于 对一切 恒成立，即 ；
令 ，则 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
， ；
故选：A.
二、多选题
9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3B．方差为
C．众数为3D．分位数为4.5
【答案】AB
【分析】先将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列，再逐项判断.
【详解】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：
1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这组数据的中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现的此时最多，所以众数为2和3，故C错误；
平均数为：，
则方差为，故B正确；
第分位数是数据中至少有的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，
故选：AB
10．设正实数满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
【答案】AD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一判断ABD，根据向量数量积的性质与柯西不等式，即可判断C.
【详解】由可得，当且仅当，即时取等号，
对于A,，当且仅当，时取等号，故A正确，
对于B,，当且仅当时取等号，故B错误，
对于C，设由于，
所以，即，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误，
对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确，
故选:AD
11．如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系：
则： ，
，
设 ，
则有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
对于A， ， ， ，正确；
对于B， ， ，
即，又,
故是异面直线与的公垂线段，正确；
对于C，设 与 所成的角为 ，则 ，
，，错误；
对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，正确；
故选：ABD.
12．已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列的递推公式和首项即可判断选项A和B；利用数列的单调性和累加法求出，进而判断选项C和D.
【详解】因为和可知，数列的各项均为正值，
由可得，所以，则数列为递减数列，故选项A正确；
由选项A的分析可知：数列为递减数列，又因为，所以，故选项B正确；
由两边同时取倒数可得，
则，所以，
因为数列为递减数列，
由可得，
当时，，即，
当时，，即，，
，
不等式累加可得：，
所以，则，
所以，故选项C错误；
由可得，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．函数向左或向右平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值是__________.
【答案】##
【分析】分别求解函数向左与向右平移个单位后函数的解析式，再根据正弦函数的对称性求解的最小正值，将两种情况求出的值进行比较即可得到结果.
【详解】将函数向右平移个单位，
所得图像对应的解析式为，
其关于轴对称，则，即，
此时，的最小正值是；
将函数向左平移个单位，
所得图像对应的解析式为，
其关于轴对称，则，即，
此时，的最小正值是.
综上所述，的最小正值是.
故答案为：.
14．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行.某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋､边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当该运动员担当中锋､边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为__________.
【答案】
【分析】根据事件的独立性以及概率乘法公式求解.
【详解】该运动员担当中锋，不输球的概率为，
该运动员担当边锋，不输球的概率为，
该运动员担当前腰，不输球的概率为，
所以该球队某场比赛不输球的概率为，
故答案为:.
15．设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，设，利用平面向量的坐标运算求解.
【详解】如图，在平面直角坐标系中，不妨取，
设，
则，
故，
，
，
可得，
∵，则，
∴.
故答案为：.
16．已知椭圆是椭圆上两点，线段的垂直平分线与轴交于，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】设，，线段的中点为，利用点差法可得，从而可得线段AB的垂直平分线的方程，则，再由点在椭圆内部可求出结果
【详解】设，，线段的中点为 .
若，即，则，满足题意；
若，即，则不满足题意，应舍去；
当时，有，作差得：
因为，，所以，
因为，所以 ，
设线段的垂直平分线为，则，得 ：，
令，得，又因为点在椭圆内部，则，则，
故 .
故答案为：.
四、解答题
17．在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的中线的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，运用正弦定理余弦定理求解；
（2）运用向量数量积和基本不等式求解.
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理可得，所以，因为，
则；
（2）由题意，
则，
则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；
综上，的最小值为.
18．如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)下列条件任选其一，求二面角的余弦值.
①与平面所成的角为；
②到平面的距离为.
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形中的几何关系可得再根据勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）选①，取中点为，连接，根据几何关系可得，根据（1）可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，则与平面所成的角为，由此计算出，进而计算得，可得为等边三角形；
选②，取中点为，连接，计算长度及根据等体积法可求得，即可得为等边三角形，建立合适的空间直角坐标系，求得各个点的坐标，进而求得平面的法向量及平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值绝对值即可求得结果.
【详解】（1）证明：因为，且，故，
在中，，
由余弦定理可得：，
解得，在中，，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）选①，取中点为，连接，如图所示：
因为，故，由（1）得平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，所以为与平面所成的角，
即，因为，，
所以为等边三角形，且边长为1，所以，，
由可得，
因为，，
所以，所以为等边三角形，
以为原点，为在轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：
所以，
，
设是平面的法向量，
则，即，
取，可得，
设为平面的法向量，
则，即，
取，可得，
设二面角所成的角为，则，
所以二面角的余弦值为.
选②， 取中点为，连接，如图所示：
因为，故，由（1）得平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
设到平面的距离为，
因为，，所以等边三角形，
所以，，设，则，
因为，所以，
因为，为中点，所以，
所以，由，，
平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，即，
所以，因为，
即，
即，
解得，即，所以，所以为等边三角形，
以为原点，为在轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：
所以，
，
设是平面的法向量，
则，即，
取，可得，
设为平面的法向量，
则，即，
取，可得，
设所成的角为，则，
所以二面角的余弦值为.
19．已知数列的前项和为，数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)对于，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数列的前项和为，利用，能求出；
（2）由，两边取倒数得，从而得到是以首项为，公比为2的等比数列，由此能求出 ；
（3）将问题转化为证明成立，利用数学归纳法、二项式定理或函数的知识证明即可.
【详解】（1）当时，；
当时，，
经检验，时，也符合上式，
所以数列的通项公式为；
（2）易知，两边取倒数得，整理得，
是以首项为，公比为2的等比数列，
；
（3）由（1）（2）问可知，欲比较与的大小，
即比较与的大小.
当时，，有；
当时，，有；
当时，，有，
猜想，下面证明:
方法一：当时，
，
所以对于任意的都成立，所以.
方法二：令，则
令则，
当时，即在单调递增，
在单调递增，
所以，所以，即，
所以对于任意的都成立，所以.
方法三：下面用数学归纳法证明①当时，显然成立；
当时，显然成立；
②假设时（，猜想成立，即成立，
那么当时，
，
因为，
对任意的且上式都大于0，
所以有，
综上所述，对于任意的都成立，所以.
20．秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
参考公式和数据：其中
回归直线方程中，
【答案】(1)图见解析，更适宜作为关于的回归方程模型；
(2)，到第9天才能超过35杯；
(3)分布列见解析.
【分析】(1)根据散点图趋势即可判断；
(2)利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解；
(3)根据超几何分布求分布列.
【详解】（1）
根据散点图，知更适宜作为关于的回归方程模型；
（2）令，则，
由已知数据得，
，
所以，
故关于的回归方程为，
进而由题意知，令，整理得，即，
故当时，即到第9天才能超过35杯；
（3）由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量的可能取值为
，，
，，
则随机变量的分布列为
21．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，且为上不与重合的一点，直线的斜率之积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)平面一点且不在上，过的两条直线分别交的右支于两点和两点，若四点在同一圆上，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据题意，由直线的斜率之积为3列出方程，然后由以及双曲线的关系，即可得到结果；
（2）由四点共圆，可得，然后将直线与双曲线方程联立，结合韦达定理分别表示出与即可得到结果.
【详解】（1）由题意，，设，
则，所以①，
因为直线的斜率之积为3，所以，
将式①代入化简得：②，
又双曲线的右焦点为，所以，结合式②解得：，
双曲线的方程为.
（2）因为四点共圆，所以，且，所以有
设直线的方程为，设，
将直线方程代入的方程化简并整理可得，
，
由已知得，且
由韦达定理有，，
又由可得，
同理可得，得
设直线的方程为，设，
同理可得，
由已知得，又，则，化简可得，
又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为0.
22．已知函数.（为实数）
(1)当时，若正实数满足，证明：.
(2)当时，设，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题设可得，讨论与1的大小关系，并应用分析法将问题化为证，构造利用导数研究单调性判断大小关系，即可证结论；
（2）令得，再构造并利用导数证明在上恒成立，即可确定范围.
【详解】（1）由题意，，定义域为，则恒成立，
所以在上为增函数，且，故，
若都大于1，则，不合题意，同理都小于1也不满足，
设，欲证，即证，即证，即证，即证，
构造函数，
所以，
，
，
所以在区间上单调递增，所以，则原不等式得证.
（2）由，令，则，故，
下面证明：时符合题意，
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则.
令，则，
令，可得；令，可得，
于是在上递减，在上递增，于是，
所以，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，故，
综上，实数的取值范围.
【点睛】关键点点睛：第一问，首先分析与1的大小，再设应用分析法转化证明结论，最后构造函数、应用导数求证；第二问，通过求参数范围，再由所得范围证恒成立（利用充要关系证明）.
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
日期代码
1
2
3
4
5
6
7
杯数
4
15
22
26
29
31
32
22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2
0
1
2
3