辽宁省大连市2023届高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）

辽宁省大连市2023届高三第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数为其共轭复数，则的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

3．设，，，若，，则的最大值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

4．某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为(    )

A．700 B．800 C．900 D．950

5．如图，正方体的棱长为1，分别为线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（     ）

A．存在某个位置，使

B．存在某个位置，使平面

C．三棱锥的体积为定值

D．的面积与的面积相等

6．下列命题错误的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B．设，且，则

C．线性回归直线一定经过样本点的中心

D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数则

A． B． C． D．

二、多选题

9．为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）互不相等，且从小到大分别为，则下列说法正确的有（    ）

A．的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

B．的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

C．可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

D．的中位数为

10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．

11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ）

A．点的轨迹方程是

B．直线是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为5

D．点所在的曲线与圆没有交点

12．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．点P在线段上

C．平面

D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为

三、填空题

13．已知双曲线的左、右顶点与椭圆的左、右焦点重合，且E的左、右焦点与T的左、右顶点重合，则E的离心率为______.

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式________.

①的最大值为2；②，；③是周期函数．

15．在函数的图像对称中心中，与原点O最近的为点M，定点，则在上投影的数量是___________.

16．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________.

四、解答题

17．已知等差数列的首项，记的前n项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

(1)求A；

(2)若，求．

19．已知甲、乙两组学生某次的测试成绩分数整理成如图所示的茎叶图.

(1)求甲组的平均数，并求乙组的25%分位数；

(2)现在老师想进行试卷分析，在甲组中，，各找一人成绩，组成一组，求79分、97分不全被选中的概率.

20．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，，底面是扇形，满足，，点为弧的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

21．已知抛物线C：（）的焦点为F，M（4，）是抛物线C上的点，O为坐标原点，．

(1)求抛物线C的方程；

(2)P（a，b）（）为抛物线C上一点，过点P的直线l与圆相切，这样的直线l有两条，它们分别交该抛物线C于A，B（异于点P）两点．若直线l的方程为，当|PA|=|PB|时，求实数a的值．

22．已知函数

(1)若，证明：当时，.

(2)若，，求a的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】利用交集定义即可求得

【详解】由，可得

则

故选：C

2．B

【分析】写出共轭复数，代入中，根据复数的除法运算即可化简，即可得虚部.

【详解】，虚部为-2，

故选：B．

3．C

【解析】先利用指、对数的关系把x、y分离出来，再转化为基本不等式求最值.

【详解】解：∵，，，，

∴，，

∴，

当且仅当时取等号.

∴的最大值为1.

故选：C.

【分析】基本不等式通常从以下方面考查：

(1)应用条件：一正、二定、三相等；

(2)对式子进行适当的变形，构造基本不等式的应用条件求最值.

4．C

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解．

【详解】由题可知，x=140和x=100关于x=120对称，

故此次考试数学成绩低于100分的人数为100，

故此次考试数学成绩高于100分的人数约为1000-100=900．

故选：C．

5．B

【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，对选项逐项分析即可.

【详解】

由题可知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，

故，，，

对于A，，，

，， ，

若使，则需，

则需圆与直线有交点，

由于，画出图像如下图所示，由图可知无交点，故A不正确；

对于B，设平面的一个法向量为，又，

，，又，

所以，

若使平面，则需，

则需圆与直线有交点，

由于画出图像如下图所示，由图可知，图像有交点，故B正确；

对于C，，因为，因为分别为线段上的动点，故三棱柱的高是变化的，故三棱锥的体积为不是定值，故C不正确；

对于D，由正方体的结构特征可知与不平行，故到的距离和到的距离不相等，故的面积与的面积不相等，故D不正确.

故选：B

6．B

【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由残差的性质判断D.

【详解】对于A，根据相关系数的意义可知，A正确；

对于B，由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称，所以，则，故B错误；

对于C，根据线性回归直线的性质可知，C正确；

对于D，根据残差图的意义可知， D正确；

7．A

【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.

【详解】解：，，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

即，

所以，

即，所以，

由，得，

由，得，

，

因为，

所以，所以，

所以，即，

所以，

综上所述.

故选：A.

【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.

8．B

【分析】本题可以对分段函数进行分开讨论，时，函数是一个周期函数，时，函数是对数函数．

【详解】当时，，即有，

两式合并，可得是周期为4的函数，

既，

当时，，既

综上所述，．

【点睛】若函数满足，则函数为周期函数，周期为．

9．BC

【分析】根据平均数、标准差、极差、中位数的定义即可求解.

【详解】解：标准差和极差都可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度，故BC正确.

故A错误，中位数为，故D错.

故选：BC.

10．ACD

【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意可知，，B选项错误.

，

，A正确.

，

，C正确.

，

.D选项正确.

故选：ACD

11．BC

【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点.

【详解】对于A项：设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，

所以，化简得，故A错误；

对于B项：联立方程可得，解得，故存在，

所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；

对于C项：过P作PB垂直直线，垂足为B，

则由题可得，则，

则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；

对于D项：由可得，即圆心为，半径为1，

易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.

故选：BC.

12．BC

【分析】对A，由面面平行说明；

对B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C，P三点共线；

对C，由向量法证，再由线线垂直证平面；

对D，由向量法求线面角，进而讨论范围.

【详解】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，

所以，A错误；

对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，，，且，，

所以，，．

因为，所以，所以，即，所以，

所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；

对于C，，，，，，

由，

因为，，平面，所以平面，C正确；

对于D，，，平面的一个法向量为．

设与平面的夹角为，为锐角，

其正弦值为．

由，得，D错误．

故选：BC．

13．2

【分析】设双曲线的焦距为，求出椭圆的焦点及左右顶点，根据题意求得，即可得出答案.

【详解】解：设双曲线的焦距为，

椭圆的焦点为，左右顶点分别为，

因为双曲线的左、右顶点与椭圆的左、右焦点重合，且E的左、右焦点与T的左、右顶点重合，

所以，

所以E的离心率.

故答案为：2.

14．(答案不唯一)

【分析】写出一个最大值是2，关于x=1对称的周期函数即可.

【详解】由于是周期函数，所以考虑为正弦型函数或余弦型函数，

由，可知，的图象关于直线x=1对称，

又的最大值为2，所以．

故答案为：（答案不唯一）.

15．

【分析】由正切函数的性质可得函数的图像对称中心为，进而可得，从而利用向量数量积的几何意义即可求解在上投影的数量为.

【详解】解：由题意，令，可得，

所以函数的图像对称中心为，

所以与原点O最近的为点，

所以，，

所以在上投影的数量为，

故答案为：.

16．

【解析】画出分段函数的图象，构造新函数，利用函数的导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】作出函数的图象，如图所示，

由可得，所以，即，

不妨设，则，

令，则，

所以，令，则，

所以当时，；当时，，

当时，取得最大值.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及利用导数求解函数的单调性和最值及应用，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题.

17．(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；

（2）根据题意可得，，利用裂项相消法求和

【详解】（1）由题意可得：，

整理得，则

可得或，

故或.

（2）∵，由（1）可得，

则，

故

所以.

18．(1)45°

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求得.

（2）结合正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.

【详解】（1）由题设及余弦定理得．

因为，所以．

（2）由题设及正弦定理得，可得，

由，

可知，

故

．

19．(1)，81；

(2).

【分析】（1）利用平均数的概念及百分位数的概念即得；

（2）利用古典概型概率公式及对立事件概率公式即求.

(1)

由茎叶图的数据可得，

甲组的平均数为，

因为，所以乙组的25%分位数是第3个数81；

(2)

记“79分、97分不全被选中”为事件A，

在甲组中，，各找一人成绩，组成一组，基本事件有种等可能的结果，其中79分、97分全被选中的基本事件有4种，

故，

∴.

20．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.

（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算作答.

【详解】（1）依题意，平面，平面，有，又点为弧的中点，即有，

且平面，则平面，又平面，

所以平面平面.

（2）以为原点，的方向分别作为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，

所以，

设平面的法向量为，则，取，得，

设直线与平面所成的角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21．(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线的定义可得，设点 在轴上的射影为，则由题意可得，，从而可求出，进而可得抛物线方程，

（2）由直线l与圆相切可求得，当不满足，则，设这两切线对应的分别是，，利用根与系数的关系，设，，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，设圆的圆心为，由题意可得，从而由斜率关系列方程求解即可

(1)

∵是抛物线上的一点，

∴．

设点 在轴上的射影为，

∵，∴．

∴，

解得，．

所以，抛物线的方程是．

(2)

∵直线与圆相切，

∴，即．

若，则过点和圆相切的一条直线平行于抛物线的对称轴轴，不满足条件，所以．

∴．①

设这两切线对应的分别是，，则有．

设，．由方程组得，．

∴②，

不妨令，，

则，，

∴，

即．

设圆的圆心为，

∵，

∴直线与的斜率存在，且都不为零，．

由，得，，

即．

∴，即．

解得，．经检验，及相应的和满足①②．

所以，实数的值为．

22．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导得到，构造，求导，得到函数的单调性，从而得到，进而得到，在上单调递增，证明出结论；

（2）利用同构构造，得到，证明出，结合，分与讨论得到答案.

【详解】（1）证明：因为，所以

今函数，则

当时，，所以在上单调递增，故，即，则在上单调递增.

故当时，

（2）等价于等价于

令函数，则等价于

令函数，则．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故，即恒成立．

若，则在上恒成立，单调递增，

恒成立．符合题意.

若，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

此时，这与恒成立矛盾，不符合题意．

综上所述，a的取值范为．

【点睛】同构是一种重要方法，常常用在处理复杂的函数，且同时存在与的函数，要注意总结常用的同构函数.