2023年福建省三明市永安市中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年福建省三明市永安市中考数学一模试卷

1.  如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是(    )
 

A. 2 B.  C.  D.

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知反比例函数，且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能经过这个函数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题

5.  从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是(    )
 

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6.  A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同，根据题意可列方程，则方程中x表示(    )

A. 从A市开往甲地列车的速度 B. 从A市开往乙地列车的速度
C. 从A市开往甲地的时间 D. 从A市开往乙地的时间

7.  如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，P点是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为点E、F，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若则ac的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  分解因式：______.

10.  如图，若，，则______ .

11.  关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为______.

12.  在“等边三角形、矩形、正方形、圆”这四个图形中，对称轴条数最多的是______ .

13.  如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______ .

14.  如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下几个结论：①；②；③；④若CE：：2，则BH：：你认为其中正确的是______ 填写序号

15.  计算：

16.  先化简，再求值：，其中

17.  如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点求证：≌

18.  如图，在中，
在边AC上找一个D点，使得D点到边AB的距离等于保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，若，，求线段CD的长.

19.  某学校拟举办“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
参与此次抽样调查的学生人数是______ 人，补全统计图①要求在条形图上方注明人数；
图②中扇形C的圆心角度数为______ 度；
若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少？

20.  某水果店经销甲、乙两种优质水果，两次购进水果的情况如表所示：

求甲、乙两种水果的进价；
销售完前两次购进的水果后，水果店决定第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元.那么至多可以购买乙种水果多少千克？

21.  如图，在中，，以AC为直径的交BC与点D，过点D作于点
求证：DE是的切线；
若，，求半径长.

22.  在中，，将线段CA绕点C旋转，得到线段CD，连接AD、
如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转，则的度数为______；
将线段CA绕点C顺时针旋转时
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②若的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
 

23.  已知：经过点，
求函数解析式；
平移抛物线使得新顶点为
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；
②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，时，求P点坐标.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，实数与数轴，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】
解：的相反数是2，
故选：  

2.【答案】C 

【解析】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
C、，故该选项计算正确，符合题意；
D、，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：
分别根据算术平方根、合并同类项、幂的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算即可作出选择．
本题考查了算术平方根、合并同类项、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】
解：因为反比例函数，且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以，
A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意，
故选：  

4.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
【解答】
解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意，
故选：  

5.【答案】D 

【解析】解：由图可得，
，
，
故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；
A和B的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和C不符合题意；
由图象可得，A种数据波动小，比较稳定，B种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项D符合题意；
故选：
根据统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意，本题得以解决．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】B 

【解析】解：中的分母为x，，对应题目中从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地的速度快15千米/时，
方程中x表示从A市开往乙地列车的速度．
故选：
根据分式方程的分母为x，，可知对应题目中从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地的速度快15千米/时，即可得出结论．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，列出方程，是解题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图：连接OP，
四边形ABCD是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，
解得，
故选：
连接OP，首先根据矩形的性质及勾股定理即可求得，再根据即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用面积，列出方程是解决本题的关键．
 

8.【答案】A 

【解析】解：设，，，
二次函数的图象过点，
，
，，
∽，
，
，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
，
故，
故选：
设，，，由可得∽，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而求解．
本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，
，，

，
，

故答案为：
根据平行线的性质，得出，再根据邻补角互补即可求得的度数．
本题考查了平行线的性质、邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：该不等式组的解集为：
故答案为：
读懂数轴上的信息，然后用不等号连接起来．界点处是实点，应该用大于等于或小于等于．
考查在数轴上表示不等式的解集，关键是读懂数轴上的信息，能正确选用不等号．
 

12.【答案】圆 

【解析】解：等边三角形有3条对称轴；矩形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；圆有无数条对称轴，
所以对称轴条数最多的是圆．
故答案为：圆．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
小灯泡发光的概率为：
故答案为：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】①②③ 

【解析】解：①正方形ABCD和正方形BGEF，
和都是等腰直角三角形，
，
，故①正确；
②延长AF交BD于点
和都是等腰直角三角形，
，
，
∽，
，
，
，
，故②正确；

③，，
∽，
，
，
，
，故③正确；
④：：2，
可设，，则，
，，
，
，
，
，故④错误．
故答案为：①②③．
①由正方形的性质可证，进而可得；
②延长AF交BD于点K，证明∽，可得，进而可证；
③先证明∽，可得，由勾股定理得，进而可证结论成立；
④设，，则，由求出BH，进而求出DH，然后求BH：DH的值即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：

 

【解析】先计算零次幂、化简绝对值、代入特殊角三角函数值，再进行加减运算．
本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂、二次根式的混合运算等，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，
原式

 

【解析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则，
在和中，

≌ 

【解析】由矩形与折叠的性质可得，，从而可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图，点D即为所求．

在中，，
过点D作，垂足为E，

由可得：，，
，
设，则，
在中，，
解得：，
 

【解析】作的角平分线即可；
由勾股定理求得AB，根据角平分线的性质得，即可求得AE，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可．
本题考查了作图-角平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
 

19.【答案】120 90 

【解析】解：调查学生总数为人，
选择“数学园地设计”的有人，
补全统计图如下：

故答案为：120；

故答案为：90；
人，
答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人．
从两个统计图中可得样本中选择“七巧板”的有36人，占调查人数的，根据频率即可求出答案，进而补全条形统计图；
求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出样本中参与“测量”所占的百分比，进而估计总体中“测量”的百分比，求出相应人数即可．
本题考查了扇形统计图、条形统计图，掌握条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系是关键．
 

20.【答案】解：设甲、乙两种水果的进价分别为每千克x元、y元．
依题意可得：，
解得：，
答：甲、乙两种水果的进价分别为每千克12元、20元．
设购买乙种水果m千克，则购买甲种水果千克．
依题意可得：，
解得：
答：至多可以购买乙种水果120千克． 

【解析】根据已知条件，列出方程组，即可求解．
设购买乙种水果m千克，则购买甲种水果千克，根据投入的资金不超过3360元，列不等式求解即可．
本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，列出列出方程组与列不等式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接OD，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
解：连接AD，

在中，，，
，
在中，，
，
，
的半径为 

【解析】连接OD，只要证明即可；
连接AD，在中，求出，再在中，求出，最后求出的半径即可．
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 

22.【答案】解：
①依题意补全图形如图，

由旋得：，，
，
，，
，，
；
②
证明：过点C作，交EB的延长线于点G，

，CE平分，
垂直平分BD，
，，
由①知，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
即在和中，

≌，
，
，
 

【解析】解：在中，，将线段CA绕点C旋转，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：；

①依题意补全图形如图，

由旋得：，，
，
，，
，，
；
②
证明：过点C作，交EB的延长线于点G，

，CE平分，
垂直平分BD，
，，
由①知，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
即在和中，

≌，
，
，

根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，，即可得的度数；
①依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
②过点C作，交EB的延长线于点G，根据等腰三角形的性质可得出CE垂直平分BD，求出可得，，证明≌，可得，根据线段的和差即可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

23.【答案】解：把，代入，得：
，
解得：，
函数解析式为：；

①，
顶点坐标为，即点B是原抛物线的顶点，
平移抛物线使得新顶点为，
抛物线向右平移了m个单位，
，
，
平移抛物线对称轴为直线，开口向上，
在的右侧，两抛物线都上升，
又原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
；

②把代入，得，
，
根据题意，得新抛物线解析式为：，
，
，
，，
，
，
如图，过点P作轴于C，则，

，，
，，
，
解得：，
，
故P的坐标为或 

【解析】把，代入，求解即可；
①由，得顶点坐标为，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；
②把代入，得，则，从而求得新抛物线解析式为：，则，从而可求得，，，即可得出，过点P作轴于C，则，根据等腰三角形的性质可得，，再根据，即可求出m值，从而求出点P坐标．
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．