2023年福建省三明市三元区中考数学质检试卷（一）(含答案解析)

2023年福建省三明市三元区中考数学质检试卷（一）

1.  下列实数中，比3大的数是(    )

A.  B. 0 C. 1 D.

2.  以下是几所知名大学的校徽，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图所示的空心圆柱，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  第七次全国人口普查结果显示，三明地区常住人口约为2480000，数据2480000用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  如图，在平行四边形ABCD中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 6

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，BD是的直径，点A，C在上，，AC交BD于点G，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点，则m，n，，的大小关系是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  不等式的解集为______ .

12.  双曲线过点，则______ .

13.  五边形的内角和是__________

14.  如图，在矩形ABCD中，，，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点则图中阴影部分的面积为______结果保留

15.  若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值是______ .

16.  如图，在正方形ABCD中，，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，
AE绕点E顺时针旋转得到EF，连接DE、DF、CF，则CF的最小值为______ .

17.  计算：

18.  如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD上，AE，CF分别平分和，求证：

19.  先化简，再求值：，其中

20.  实现民族伟大复兴是近代中华民族最伟大的梦想，需要每位少年团结奋斗，同心共圆中国梦!在一个不透明的口袋里装有五个小球，分别标注汉字“共”、“圆”、“中”、“国”、“梦”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，从中随机取出一个小球.
取出的小球上恰好标有“国”字的概率是多少？
取出的小球不放回，再从中任取一球.请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的概率.

21.  如图，中，，，的平分线与边AC交于点F，与外角的平分线交于点
求的值；
求点E到直线BD的距离.

22.  如图，内接于，，
过点C作的切线尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若直线AC与切线CD所夹锐角为，求的半径.

23.  高山云雾出好茶.清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季.已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶.
求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
某茶厂计划一天采摘茶叶500斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？

24.  在▱ABCD中，，，E为AB中点，连接DE，交对角线AC于点F，将线段AC绕点A顺时针旋转，得到线段
如图①，若，连接BP、CP、PE，AB与CP交于点
①求证：；
②求证：是等边三角形；
如图②，若，AP交DE的延长线于点G，连接BG，求证：
 

25.  如图，二次函数是常数，且的图象与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，
若
①求直线BC的表达式；
②求证：；
若二次函数是常数，且在第四象限的图象上，始终存在一点P，使得，求出a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，，，，3，
所给的实数中，比3大的数是
故选：
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】C 

【解析】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】D 

【解析】解：该空心圆柱体的俯视图是
故选：
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：
故选：
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
 

5.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
先比较平均数，再根据方差的意义求解可得．
【解答】
解：，，，，，
，
成绩最稳定的是甲，
故选：  

6.【答案】B 

【解析】解：如图，在在平行四边形ABCD中，
，N分别为BE，CE的中点，
是的中位线，

故选：
首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
 

7.【答案】C 

【解析】解：不能合并，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查合并同类项、整式的运算，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法．
 

8.【答案】A 

【解析】解：规定时间为x天，
慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，
可列出方程
故选：
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度=路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】B 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，

故选：
根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

10.【答案】A 

【解析】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示省略了y轴，

从图象看，，
故选
设，而，即函数向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
本题考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：移项，得，
合并，得，
两边都除以2，得
先把移项并合并，然后再两边都除以2即可．
本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
 

12.【答案】3 

【解析】解：双曲线经过点，
，

故答案为：
根据反比例函数上的点的横坐标与纵坐标的积是常数列出方程解则可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是把点的坐标代入求解．
 

13.【答案】540 

【解析】

【分析】
本题考查的是多边形的内角和的计算，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
根据多边形的内角和是，代入计算即可．
【解答】
解：
，
故答案为：  

14.【答案】 

【解析】解：以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，
，
在矩形ABCD中，，，，
，
，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：
先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
 

15.【答案】7 

【解析】解：，b是方程的两个实数根，
，，即，

故答案为：
由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解．
本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，连接FC，过点C作于，
点E是CM的中点，
，
，
，，
≌，
，
又，
，
绕点E顺时针旋转得到EF，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
点F在DF上运动，
当时，CF有最小值为的长度，
，，
，
即CF有最小值为
故答案为：
延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证≌，可得，由直角三角形的性质可得，接着由四边形内角和定理可求，可得，连接FC，过点C作于，由，知点F在DF上运动，即得当时，CF有最小值为的长度，由此得到CF有最小值．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确作辅助线，构造全等三角形．
 

17.【答案】解：原式
 

【解析】首先计算绝对值、开方，零指数幂，然后从左向右依次计算即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，

，CF分别平分和，
，
，

在与中，
，
≌
 

【解析】先由平行四边形的性质得到，，，求得，再证≌，然后由全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式 

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：取出的小球上恰好标有“国”字的概率是；
列表如下：

由表知，共有20种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的概率为 

【解析】根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．掌握概率公式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，的平分线与边AC交于点F，
，，
在中，


过点E作，垂足为
平分，，，

在中，
，
在中，
，



答：点E到直线BD的距离是 

【解析】利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出的正弦；
过点E作，在直角三角形ABF中先求出的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、与的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．
本题主要考查了解直角三角形及角平分线的性质，掌握“等腰三角形的三线合一”、“角平分线上的点到角两边的距离相等”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键，
 

22.【答案】解：如图，连接过C点作，
则CD为所作；

连接OA，交BC于E点，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
在中，，
，
即的半径为 

【解析】连接过C点作即可；
连接OA，交BC于E点，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，于是可判断为等边三角形，所以，接着根据垂径定理得到，，然后利用正弦的定义求出OC即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．
 

23.【答案】解：设1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶a斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶b斤，
由题意可得：，
解得，
答：1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
设一天安排x名新手采茶工人采摘茶叶，则安排名熟练采茶工人采摘茶叶，该茶厂需要支付工资w元，
由题意可得，，
随x的增大而减小，
该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，
当时，w取得最小值，此时，，
答：茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少． 

【解析】根据1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和中的结果，可以得到总工资与新手采茶工人人数的函数关系式，再根据一次函数的性质和该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，可以求得最低工资．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

24.【答案】证明：①四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，，
，
，
；

②是AB的中点，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
是等边三角形；
连接

，，
，
，
，
，
，G，C，D四点共圆，
，
由②可知≌，
，
，
 

【解析】①证明，由，可得；
②证明≌，推出，，可得结论；
证明，推出A，G，C，D四点共圆，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：当时，抛物线的表达式为：，
①对于，当时，，即点，
令，
解得：或3，
即点A、B的坐标分别为：、；
设直线BC的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
故直线BC的表达式为：；
②证明：过点E作于点H，

当时，，即点，
由抛物线的表达式知，点，则，
在中，，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：负值已舍去，
则，
由B、D的坐标得，，
则，
在，
在中，，
；

解：如图，设PC交x轴于点

对于，当时，，即点，
令，
解得：或，
即点A、B的坐标分别为、，
则，则，
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时，即，
，
，
在锐角三角形中，由函数的正切值得定义知，角度越大，正切值越大，
，
而，，
，
，
又，
同法可得，
，
 

【解析】①用待定系数法即可求解；②在中，用解直角三角形的方法求出，即可求解；
证明，推出，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．