2022年福建省三明市永安市中考数学一模试卷(含解析 )

2022年福建省三明市永安市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 下列实数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是一个常见水杯，它的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列交通标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列式子计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在等腰中，，的周长为，、分别是边、的中点，则的周长为

A.
B.
C.
D.

6. 为了了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：

那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 小福和小健是一对兄弟，某天两人同时从家去离家千米的图书馆看书，小福选择坐公交车，而小健想要锻炼就选择了骑自行车去图书馆，小福比小健早到分钟．已知公交车的速度是自行车速度的倍，若设自行车速度为千米小时，则由题意可列方程

A.  B.  C.  D.

8. 若一次函数的图象经过点，，则不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，为半径作圆，恰好与相切于点，连接若，则的值是

A.  B.  C.  D.

10. 若二次函数的图象过不同的几个点、、、、，则、、的大小关系是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知，则______．
12. 已知某初中学校届名初一新生都来自、、三个地区，如图所示的扇形图表示上述分布情况，已知图中区域对应的角度为，则届初一学生中来自地区的学生人数为______人．
     

13. 阳光超市推出三八妇女节打折促销活动，一种进价为元瓶的护手霜标价元后，打八折出售，每瓶仍可获利元，依题意可列出方程______．
14. 若正整数满足，的相反数是它本身，则______．
15. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
     

16. 已知点在反比例函数第一象限的图象上，，在轴上，则下列说法中正确的是______．
    满足面积为的点有且只有一个
    满足是直角三角形的点有且只有一个
    满足是等腰三角形的点有且只有一个
    满足是等边三角形的点有且只有一个

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 解一元一次不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在菱形中，，分别是，边上的点，求证：．
    
     

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某超市进了千克车厘子进行售卖，几天后超市进行元旦促销活动，活动中这批车厘子打折销售，活动结束后剩余车厘子恢复原价进行售卖，每天的销量及每千克所获的利润如表：

假设该超市元旦促销期间卖了千克车厘子，千克全部售卖完后所获总利润为元．
求出与之间的函数关系式；
受保质期限制，超市需天内销售完所有车厘子，请计算该超市销售这千克车厘子能获得的最大利润．






 

21. 年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、，另一张正面印有雪容融图案的卡片记为，将三张卡片正面向下洗匀，冬冬同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．
    从这三张卡片中随机挑选一张，是“雪容融”的概率是______．
    试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求冬冬同学两次抽出的卡片都是冰墩墩卡片的概率．

22. 如图，在四边形中，，．
    尺规作图：求作矩形，点落在直线上．
    在的条件下，是边上一点，且，连、相交于点，求证：、、在一条直线上．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，以为直径的交于点，与相交于点，．
    求证：是的切线．
    若，，求的长．

24. 如图，在中，为的中点，点在上，连接，过点作交于点，连，与交于点，，．
    证明：≌．
    若，求和的值．
    在的条件下，若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     

设抛物线：经过点，当时，．
______用含的式子表示
求的取值范围．
若，点在抛物线上，点在另一条抛物线上，为平面内一点，若对于任意实数，点、到点的距离都相等，设抛物线的顶点为点，抛物线的对称轴与抛物线的交点为，直线的解析式为，请求出的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
最小的是，
故选：．
根据负数小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小可得答案．
本题考查实数大小比较，解题的关键是掌握负数小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从正面看，水杯把手在左侧，
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形即可．
考查简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，而不是负数，所以是错误的，本项不合题意；
B、，符号不对，所以是错误的，本项不合题意；
C、，本项符合题意
D、，所以是错误的．本项不合题意．
故选：．
A、利用幂的乘方的意义，知是错误的；
B、利用负整数指数幂的意义，知是错误的；
C、合并同类项，只把系数相加，字母及指数不变，所以是是正确的；
D、根据完全平方公式展开后，不能丢项，所以是错误的．
本题考查的知识都是比较简单的运算，关键是要熟记各个法则和公式，不能混淆．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、分别是边、的中点，
，，，
的周长为，
，
的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据线段中点的概念得到，，根据三角形周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：平均数为：，
看书数量为本的有人，人数最多，故众数为，
故选：．
直接根据平均数及众数的定义求解即可．
本题主要考查众数与平均数的定义，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式．
 

7.【答案】
 

【解析】解：公交车的速度是自行车速度的倍，且自行车速度为千米小时，
公交车的速度是千米小时．
依题意得：．
故选：．
由公交车与自行车速度间的关系，可得出公交车的速度是千米小时，利用时间路程速度，结合乘坐公交车比骑自行车早到分钟，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：将点，代入，
得，
解得，
一次函数解析式：，
解不等式：，
得，
故选：．
先用待定系数法求一次函数解析式，然后再解不等式即可．
本题考查了一次函数与不等式综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，
与相切，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，证明，进而得到∽，根据相似三角形的性质得到，根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、余弦的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象过点、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
，
；
故选：．
由的对称性，可求函数的对称轴为，再根据二次函数的性质，即可判断．
本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
由可得，，再代入分式化简求值即可．
本题主要考查了分式的值的求法和整体代入方法，关键是先把变形，然后代入计算可得结果．
 

12.【答案】
 

【解析】解：届初一学生中来自地区的学生人数对应的扇形圆心角的度数为．
届初一学生中来自地区的学生人数为人．
故答案为：．
首先根据扇形统计图求得来自地区的人数对应的扇形圆心角的度数，可得所占的百分比，即可求解．
本题考查扇形统计图、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：．
故答案为：．
根据元打八折，再利用每瓶仍可获利元得出等式求出答案．
本题考查了由实际问题抽象出列一元一次方程，解答本题的而关键是用利润元建立等量关系．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，
的相反数是它本身，
，
，
故答案为：．
根据，得到，根据的相反数是它本身，得到，再代入求值即可．
此题考查了估算无理数的大小，根据，得到是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，平分交于点，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到结论．
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设点，则，，，
，
，
满足面积为的点只有一个，故正确，符合题意；
点在第一象限，
，
当时，，
，
解得：，
点，
当时，，
，无解，舍去，
综上所述，满足是直角三角形的点有且只有一个，故正确，符合题意；
点在第一象限，
，
当时，
当时，，
反比例函数图象上存在一个点到点的距离为，
当时，反比例函数图象上存在两个点，故错误，不符合题意；
点在第一象限，
，
不可能为等边三角形，故错误，不符合题意；
综上所述，正确的序号有，
故答案为：．
设点，由的面积公式求得点的坐标个数；由点在第一象限得知，然后分，两种情况讨论；由等腰三角形的性质可知，然后分，两种情况讨论；由点在第一象限和等边三角形的性质得知不可能为等边三角形．
本题考查了反比函数图象上点的坐标特征，直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
．
 

【解析】根据菱形的性质得出，进而得出，利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出解答．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式．
 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意，得，
；
设超市促销了天，则促销期间销量为千克，原价销售了千克，
根据题意，得，
解得，
，
，
随着的增大而减小，
当时，总利润最大元．
该超市销售这千克车厘子能获得的最大利润是元．
 

【解析】根据题意，可得与的函数关系式；
设超市促销了天，则促销期间销量为千克，原价销售了千克，根据“超市需天内销售完”，得，得的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据函数增减性即可求出最大值．
本题考查了一次函数的实际应用，根据题意建立函数关系式，并灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“雪容融”的概率是，
故答案为：；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，冬冬同学两次抽出的卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，
则冬冬同学两次抽出的卡片都是冰墩墩卡片的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共有个等可能的结果，冬冬同学两次抽出的卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：如图，矩形为所作；

证明：连接、，
四边形为矩形，
，，，
，，
四边形为平行四边形，
和互相平分，
即经过的中点，
、、在一条直线上．
 

【解析】过点作于，则四边形满足条件；
连接、，根据矩形的性质得到，，，再判断四边形为平行四边形，所以和互相平分，于是可判断经过的中点．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与性质．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
．
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；
解：，，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】连接，证明，便可得出结论；
由求得，设，则，在直角三角形中，由勾股定理列出方程求，便可得，再证明，在直角三角形中求得．
本题考查的知识点有等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，解小题关键是求出，解小题的关键是得出关于的方程．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：为的中点，，
，
≌，
，
，
∽，
，
设，则，，，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
或舍去，
，；
解：，，
，
由得，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】利用即可证明≌；
根据全等三角形的性质得到，根据题意得到∽，∽，根据相似三角形的性质求解即可；
根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟记全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．
 

25.【答案】
 

【解析】解：将代入得，
，
，
，
故答案为：．
抛物线开口向上，当时，，
点在对称轴左侧，
，
吗，
，
，
，
解得．
当时，，
，
，
，
点、到点的距离都相等，
点为中点，
，
，
点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
点坐标为，
将，的坐标代入得，
解得，
．
将代入函数解析式求解．
由抛物线开口向上，当时，可得点与对称轴的位置关系，进而求解．
由及与的等量关系可用含代数式表示，由点、到点的距离都相等可得解析式，分别用用含代数式表示，，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式．