2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式将负角变正角，然后大角变小角计算即可.

【详解】.

故选：D

2．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由余弦定理即可求解.

【详解】解：因为，

所以由余弦定理可得，

因为，

所以，

故选：D.

3．已知扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm，则扇形的面积为（    ）.

A．2 B．3 C．6 D．12

【答案】C

【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.

【详解】因为扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm，

所以其所在圆的半径为，

因此该扇形的面积是.

故选：C

4．已知角终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数定义求得，再根据诱导公式即可求得答案.

【详解】由题意角终边经过点，可得，

由诱导公式得，

故选：A.

5．已知向量，，且，则向量的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】，，

，又，.

故选：D.

6．函数的定义域为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数式的真数大于0，然后解三角不等式可得答案.

【详解】函数的定义域为：，

则，解得：，

所以函数的定义域为

故选：D.

7．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构､建筑物､国旗､绘画､优选法等美的共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618，该值也可用三角函数来表示，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角三角函数关系和诱导公式,二倍角公式化简求值即可.

【详解】

.

故选：C.

8．若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，

图象所对应解析式为：，

由关于轴对称，则，

可得，，又，所以，

即，

当时，，

所以当时，即时，.

故选：A．

【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．本题解题的关键在于能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

二、多选题

9．已知向量，则（    ）

A． B．

C． D．与不共线

【答案】ABD

【分析】对于A：计算即可判断；对于B：计算模即可判断；对于C：计算即可判断；对于D：利用共线的坐标表示即可判断.

【详解】对于A：，A正确；

对于B：因为，，所以，B正确；

对于C：因为，所以，C错误；

对于D：因为，又，所以与不共线，D正确．

故选：ABD

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据三角恒等变换公式计算每个式子的值，即可得答案；

【详解】对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，，故C正确；

对D，，故D错误；

故选：BC.

【点睛】本题考查利用三角恒变换中的二倍角公式、同角三角函数的平方关系求值，考查运算求解能力，属于基础题.

11．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（   ）

A．，，； B．，，；

C．，，； D．，，.

【答案】AD

【分析】由正弦定理解三角形后可得结论.

【详解】对于A，由正弦定理得：，

，，即，，则三角形有唯一解，A正确；

对于B，由正弦定理得：，

，，即，或，则三角形有两解，B错误；

对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；

对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.

故选：AD

12．已知函数的定义域是，若满足，且当时，，则（    ）

A． B．

C．有一单调增区间是 D．

【答案】BCD

【解析】由函数的性质可得、，即可判断A、B；由函数的性质得出函数在上的解析式即可判断C；由函数的性质可得当时，，即可判断D.

【详解】由可得，

所以，故A错误；

，故B正确；

当时，，

当时，，

所以函数有一单调增区间是，故C正确；

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了函数性质及三角函数的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.

三、填空题

13．若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______．

【答案】5

【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.

【详解】因为，，则有，即，

而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.

故答案为：5

14．已知，，则的值为 _______.

【答案】－.

【分析】将和分别平方计算可得.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴ ，

∴,

故答案为：－.

【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式的应用，属于简单题.

15．已知，则的值为______．

【答案】

【分析】根据、利用诱导公式及平方关系计算可得；

【详解】解：因为，

，

所以．

故答案为：

16．一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．

【答案】

【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.

【详解】如图，根据题意可知，，，

在中，由正弦定理得，

即，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出.

（2）根据结合余弦的差角公式可得出答案.

【详解】（1），，

（2）由为锐角，，

.

【点睛】方法点睛：本题考查同角三角函数的关系，余弦函数的差角公式以及角的变换关系，在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等，属于一般题.

18．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

19．设两个向量满足，.

(1)若，求的夹角；

(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再求出，即可得解；

（2）由向量与的夹角为钝角，可得，注意排除相反向量这一情况.

【详解】（1）解：由 ，得 ,

又 , 所以，

所以，

又因为 ,

所以的夹角为 ；

（2）解：由已知得，

则，

因为向量与的夹角为钝角, 所以, 解得，

设,

则, 无解, 故两个向量的夹角不可能为 ,

所以向量与的夹角为钝角时, 的取值范围为.

20．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为.

（1）求函数的解析式；

（2）若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间.

【答案】（1）（2）单调增区间为，；单调减区间为.

【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与轴相邻的两个交点的距离为，得出周期，利用周期公式得出，即可得出该函数的解析式；

（2）根据平移变换得出，再由函数的图象经过点，结合正弦函数的性质得出的最小值，进而得出，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在上的单调区间.

【详解】解：（1）

由已知函数的周期，，

∴.

（2）将的图象向左平移个长度单位得到的图象

∴，

∵函数的图象经过点

∴，即

∴，

∴，

∵，∴当，取最小值，此时最小值为

此时，.

令，则

当或，即当或时，函数单调递增

当，即时，函数单调递减.

∴在上的单调增区间为，；单调减区间为.

【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.