2022-2023学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【分析】由零向量、相等向量、共线向量及向量的概念判断各项的正误.

【详解】①若，则，故错误；

②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；

③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；

④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；

故选：A

2．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知利用余弦定理的推论可得，结合范围，可求角得值.

【详解】解：

由余弦定理的推论，可得，

又

故选：B.

3．在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ）

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形

【答案】C

【分析】根据向量的线性关系及加减的几何意义判断四边形的形状即可.

【详解】由，此时四边形 为平行四边形，

因为，所以 ，即对角线长相等，

故四边形为矩形 

故选：C．

4．在中，若，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解．

【详解】解：由，结合正弦定理可得：，

，可得：，

，则的形状为等腰三角形．

故选：．

5．已知△ABC的重心为O，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】△ABC的重心O为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得.

【详解】设分别是的中点，

由于是三角形的重心，

所以.

故选：C.

6．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（    ）

A．30m B． C． D．

【答案】D

【分析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.

【详解】由题设知：，

又，

△中，可得，

在△中，，则.

故选：D

7．如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若（，），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以为基底表示出，求得，，从而确定正确答案.

【详解】由为平行四边形，，

∴，又，

∴，而（，），

∴，，则．

故选：C.

8．在中，若，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可知，代入计算即可得出结果.

【详解】根据三角形面积公式可得，即；

由余弦定理可知，可得；

由正弦定理可得.

故选：B

二、多选题

9．下列关于向量，，的说法正确的是（    ）

A．的充要条件是存在不全为零的实数，使得

B．若且，则

C．若且，则

D．

【答案】ACD

【分析】利用共线向量定理可判断A，利用向量平行的概念可判断B，根据相等向量的定义可判断C，利用向量的加法可判断D.

【详解】对于A，若向量，均为零向量，显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；

若，则由两向量平行可知，存在，即，符合题意，由存在不全为零的实数，使得，根据共线向量定理可得；故A正确；

对于B，当时，若且，则与不一定平行，故B错误；

对于C，根据相等向量的定义可知若且，则，故C正确；

定义D，由向量的加法的几何意义可知，当向量，同向或至少有一个向量为零向量时右端等号成立，当向量，反向或至少有一个向量为零向量时左端等号成立，故D正确.

故选：ACD.

10．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则是直角三角形

D．若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为

【答案】ABC

【分析】利用诱导公式化简判断A；利用正弦定理结合三角形边角关系判断B；利用余弦定理计算判断C，利用面积定理、正余弦定理计算判断D作答.

【详解】对于A，在中，，A正确；

对于B，在中，由正弦定理得：，B正确；

对于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正确；

对于D，依题意，，解得，

由余弦定理得：，

由正弦定理得外接圆半径，D不正确.

故选：ABC

11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案

【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，

因为，所以或，

故选：BD.

12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（    ）

A．△周长为 B．

C．△的外接圆半径为 D．△中线的长为

【答案】BC

【分析】由题设及正弦定理得，再结合已知条件求a、b、c判断A的正误；应用余弦定理求角C，正弦定理求外接圆的半径，作应用勾股定理求.

【详解】由题设及正弦定理知：，令且，

，可得，

所以，则△周长为，A错误；

，又，则，B正确；

△的外接圆半径为，C正确；

如下图，过作，由题设知：，则，

又，可得，故，

所以，D错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；

【答案】

【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.

【详解】因为，

所以向量在上的投影向量为.

故答案为：.

14．已知在所在平面内，，则是的__心．

【答案】垂

【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.

【详解】由得：，即，则，

由同理可得：，

所以是的垂心.

故答案为：垂

15．如图所示，在中，M是在线段上，，，，则边的长为_____________.

【答案】

【分析】根据，可得，再在中用正弦定理求解即可

【详解】因为，，故，在中由正弦定理有，故

故答案为：

16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，若，则的外接圆面积为_________.

【答案】3

【分析】由已知利用余弦定理可求的值，结合的范围可求的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．

【详解】解：，

，可得：，

，

由，可得：，

设的外接圆半径为，由正弦定理可得：，解得，

可得的外接圆面积为．

故答案为：．

四、解答题

17．在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．

(1)求角A；

(2)求△ABC的面积．

【答案】(1)A＝90°或A＝30°；

(2)或．

【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形大边对大角确定角C大小，进而可得角A；

（2）根据（1）所得角A，应用三角形面积公式求△ABC的面积.

【详解】（1）由得：．

由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°，

所以A＝90°或A＝30°．

（2）当A＝90°时，．

当A＝30°时，，

所以△ABC的面积为或．

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，，

(2)最大值为2，最小值为

【分析】（1）代入公式即可求得最小正周期及单调递减区间；

（2）由已知条件给的区间，可以求得的区间，即可求得函数的最大值与最小值.

【详解】（1）函数的最小正周期．

由，，

得，．

∴的单调递减区间为，．

（2）∵，∴，

∴，

∴．

∴函数在区间上的最大值为2，最小值为

19．设向量，，.

(1)求；

(2)若，，求的值；

(3)若，，，求证：A，，三点共线.

【答案】(1)1

(2)2

(3)证明见解析

【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.

【详解】（1），；

（2），所以，解得：，所以；

（3）因为，所以，所以A，，三点共线.

20．已知的夹角为，，当实数为何值时，

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据共线向量定理，建立方程组，可解得结果.

（2）根据向量垂直，数量积为0，解得结果.

【详解】（1）若，得，即，

即解得，．

（2）若，则，

即，得，

，

解得．

21．如图，我军军舰位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方逃跑，若我军军舰从处出发沿北偏东的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．

(1)求我军军舰追上海盗船的时间；

(2)求的值．

【答案】(1)我军军舰追上海盗船的时间为1小时；

(2).

【分析】（1）在中，利用余弦定理列方程，即可求出时间；

（2）在中，利用正弦定理计算，从而可得．

【详解】（1）设我军军舰追上海盗船的时间为小时，

依题意知，．

在中，由余弦定理，得，

即．

解得．

故我军军舰追上海盗船的时间为1小时．

（2）在中，因为，，

，，

由正弦定理，得，

即 ，

又因为是锐角，．

22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．

(1)求△ABC的外接圆半径；

(2)若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；

（2）根据角平分线利用三角形面积间的关系得，再由余弦定理，求出即可得解.

【详解】（1），

由正弦定理，得，则，

即，

因为，所以，

设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知，

所以△ABC的外接圆半径为．

（2）由BD平分∠ABC，得，

则，即．

在△ABC中，由余弦定理可得，

又，则，

联立，可得，

解得（舍去）．

故．