2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知等比数列中，，，则（    ）

A．16 B．4 C．2 D．1

【答案】B

【分析】先通过求出等比数列的公比，然后利用等比数列的定义可得答案.

【详解】设等比数列的公比为，

则，

.

故选：B.

2．有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用条件概率公式，结合古典概型计算即可.

【详解】法一：

设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B，

则，

所以.

法二：

在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品，

故第二次拿出正品的概率为.

故选：B.

3．若，则（    ）

A．40 B．41 C． D．

【答案】B

【分析】利用赋值法可求的值.

【详解】令，则，

令，则，

故，

故选：B.

4．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，成功将中国空间站建设完毕，中国空间站将于2023年正式进入运营阶段.现空间站要安排甲、乙等6名航天员到3个不同的实验舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有（    ）

A．450种 B．720种 C．90种 D．360种

【答案】A

【分析】由题分为人数为的三组以及人数为的三组讨论即可.

【详解】由题知,6名航天员安排三舱,

三舱中每个舱至少一人至多三人,

可分两种情况考虑:

第一种,分人数为的三组,共有种；

第二种,分人数为的三组,共有种；

所以不同的安排方法共有种.

故选：A.

5．关于的二项展开式,下列说法正确的是（    ）

A．二项式系数和为128

B．各项系数和为-7

C．第三项和第四项的二项式系数相等

D．项的系数为-240

【答案】A

【分析】计算二项式系数和即可得选项A的正误;将代入二项式中即可得选项B正误;分别写出第三项和第四项的二项式系数即可判断选项C的正误;写出二项式的通项,使的次方为-1,解出项数,即可得项的系数,即可判断选项D的正误.

【详解】解:由题知,中二项式系数和为,故选项A正确;

将代入二项式中可得各项系数和为,故选项B错误;

在中,第三项的二项式系数为,第四项的二项式系数为,

因为,所以选项C错误;

在中,第项

取,即,

故,

故项的系数为-280,故选项D错误.

故选:A

6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可.

【详解】记第层有个球，则，，，，

结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数

．

故选：B

7．已知，且，则下列说法不正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断A、B，利用根据二项分布概率公式即可计算判断C、D.

【详解】因为，

由时，，所以，所以，

故选项A错误，选项B正确，

又，，，故选项C、D正确.

故选：A.

8．已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将不等式有且仅有1个整数解，转化为的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解，利用导数求得的单调性，构造出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围

【详解】由，可得不等式有且仅有1个整数解，

即不等式有且仅有1个大于1的整数解，

时，，

不等式可化为，

即的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解，

令，则

令，

则

则在上单调递减，又，

则在上恒成立，则在上恒成立，

则在上单调递减，

又的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解，

则这个整数解为2，则

又，

则实数的取值范围为

故选：D

二、多选题

9．A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（    ）

A．若A，不相邻，有72种排法 B．若A，不相邻，有48种排法

C．若A，相邻，有48种排法 D．若A，相邻，有24种排法

【答案】AC

【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.

【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，

则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，

则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；

A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，

则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，

则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.

故选：AC

10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求期望和方差.

【详解】设“向右下落”， “向左下落”，则，

因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，

所以，于是，同理可得：，A正确，B错误；

由二项分布求期望及方差公式得：，，C错误，D正确.

故选：AD

11．已知数列满足，则（    ）

A． B．的前10项和为150

C．的前11项和为-14 D．的前16项和为168

【答案】ACD

【分析】根据递推公式得，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB，根据并项求和可判断C，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.

【详解】由得：

当时，，

两式相减得，

故，当时，也符合，故，

对于A,，故A正确，

对于B，的前10项和为，故B错误，

对于C，的前11项和为，故C正确，

对于D，当，解得，所以，

所以的前16项和为，故D正确，

故选：ACD

12．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（　　）

A． B．函数既有极大值又有极小值

C．函数有三个零点 D．过可以作两条直线与图像相切

【答案】ABD

【分析】求得，，根据题意列出方程组，求得的值，可判定A正确；求得，得出函数的单调性，结合极值定义，可判定B正确；根据极大值和极小值都大于0，可判定以C错误；设切点为，求得切线方程，代入点，求得的值，可判定D正确.

【详解】对A，由题意，函数，可得，，

所以，即，解得，所以A正确；

对B，因为，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以函数既有极大值又有极小值，所以B正确；

对C，当时，函数取得极大值，极大值为，

当时，函数取得极小值，极小值为，

因为，即的极大值与极小值都大于，

所以函数至多有一个零点，所以C错误；

对D，设切点为，可得，即切线的斜率，

所以切线方程为，

又由切线过点，则，

整理得，即，解得或，

即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的只有两条切线，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．袋中有同样大小的球7个，其中4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出4球，则红色球与黄色球的个数恰好相等的概率为______________.（结果用最简分数表示）

【答案】

【分析】根据超几何分布求概率.

【详解】红色球与黄色球的个数恰好相等即红色球与黄色球的个数都为2，

所以所求概率为.

故答案为: .

14．橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于的橘果个数为___________.

【答案】300

【分析】先按照正态分布计算出不低于的概率，再计算出个数即可.

【详解】结合正态分布特征，，，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为.

故答案为：300.

15．口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列：若第次摸到白球，；若第次摸到黑球，.设为数列的前项和，则的概率为______.

【答案】

【分析】题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可

【详解】由题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，

因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率为，

所以只有两次摸到白球的概率为，

故答案为：

16．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则 ____．

【答案】

【分析】先利用题给条件求得数列是首项为1公差为的等差数列，进而求得的值.

【详解】，则；由，可得

则由，可得

则，又，则数列是首项为1公差为的等差数列，

则，则

故答案为：

四、解答题

17．设函数在处取得极值-1.

(1)求、的值；

(2)求的单调区间.

【答案】(1)

(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.

【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出；（2）结合第一问得到单调区间.

【详解】（1），由题意得：，，

解得：，

此时，

当时，，当或时，，

故为极值点，满足题意，

所以.

（2）由（1）可知：当时，，当或时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为

18．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．

(1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；

(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；

（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得.

【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．

∵，，

∴，

即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．

（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．

∵，，，

∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为

．

19．已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值;

（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；

（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．

【详解】（1）因为，，

所以函数

∴当时，

（2）∵为锐角三角形，.

又

即

20．某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：

(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；

(2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为，求的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）利用二项分布即可求得从采购的产品中有放回地随机抽取3个，恰好有1个4等品的概率；

（2）利用超几何分布求得1等品的数量的各个值对应的概率，进而得到的分布列及数学期望．

【详解】（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为，

由已知取1个产品为4等品的概率为，

依题意，，则，

即恰好有1个4等品的概率为；

（2）分层抽样从这100个产品中抽取10个产品中，

1等品的有个，非1等品的有个，

依题意，0，1，2，3，

，，

，，

则的分布列为：

．

21．已知数列的前项和为，从条件①：，且、条件②：为等比数列，且满足（）这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)求数列的通项公式；

(2)设（），记的前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；

（2）由裂项相消法求出后，再由恒成立进行求解即可.

【详解】（1）若选择条件①：

则由，当时，有，

两式相减，得，即（），

∴数列是公比的等比数列，

又∵，∴，解得，

∴；

若选择条件②：

∵为等比数列，且满足，

∴，，

∴，，

∴．

（2）由第（1）问，，

∴，，

∴，

∴

，

∵，，．

由恒成立得，，解得或．

∴实数的取值范围为．

22．已知函数．

(1)若在上单调递减，求的取值范围；

(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可知在上恒成立，分离参数，设，根据导数求得的最大值，进而可得的取值范围；

（2）二次求导可得在和有个极值点，，再根据导数值的正负情况可得，，再利用不等性质即可得证.

【详解】（1），

在递减，

在上恒成立，

在上恒成立，

令，，

时，，递增，

时，，递减，

，

；

（2）由题意得，，

，，

，令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在递减，

又，，，

故分别在和有零点，，（不妨设，

时，，递减，

时，，递增，

时，，递减，

故在和有个极值点，，

而，，，

，，，

，，

，

故原命题成立．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．