2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．两条平行直线与之间的距离是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】应用平行线距离公式求两线的距离即可.

【详解】由平行线距离公式可得.

故选：A

2．设，，向量，，，，，则（    ）

A．2 B．1 C． D．4

【答案】C

【分析】根据空间向量的位置关系，建立方程，可得答案.

【详解】，，则，解得；

，，使得，则，解得；

即.

故选：C.

3．若直线与直线垂直，则a=（   ）

A．-2 B．0 C．0或-2 D．1

【答案】C

【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解.

【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或.

故选：C

4．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，，则点P到斜边AB的距离是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】构建空间直角坐标系确定、的坐标，利用空间向量坐标表示求点线距离.

【详解】以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（4，0，0），B（0，3，0），，

所以，，

所以在上的投影为，

所以点P到斜边AB的距离．

故选：C

【点睛】5．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A．（－4，4） B．（－2，2）

C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．

【答案】D

【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.

【详解】由题设，圆心为，半径为2，

因为直线与圆没有公共点，

所以，可得或.

故选：D

6．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系直接求解即可.

【详解】直线的斜率与倾斜角满足，且，

若，则.

故选:C.

7．圆与圆的公切线的条数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】通过圆心到圆心距离判断两圆位置关系，进而确定公切线条数

【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则两圆心的距离为，则两圆相交，公切线条数为两条

故选：C

8．如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）

A．存在点，使

B．三棱锥的体积随动点变化而变化

C．直线与所成的角不可能等于

D．存在点，使平面

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来表达出，，，从而判断AC选项；求出平面的法向量，判断与的关系，判断D选项；B选项可以判断出∥平面，从而得到到平面的距离不变，所以为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥的体积不随动点变化而变化，B选项错误.

【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，，，，，，因为为线段上运动，设（），则，，若，则（），则有，显然无解，故A错误；

因为∥AC，平面，平面，故∥平面，因为为线段上运动，故到平面的距离不变，所以为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥的体积不随动点变化而变化，B错误；

，设直线与所成角为，则，令，解得：，故当E为中点时，此时直线与所成的角为60°，故C错误；

设平面的法向量为，则，令得：，故，因为当时，即，故平面，故D正确.

故选：D

二、多选题

9．关于直线，下列说法正确的有（    ）

A．过点 B．斜率为

C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1

【答案】BC

【分析】A. 当时，，所以该选项错误；

B. 直线的斜率为，所以该选项正确；

C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    

D. 当时，，所以该选项错误.

【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；

B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；

C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    

D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.

故选：BC

10．已知圆：，则下列说法正确的是（    ）

A．点在圆M内 B．圆M关于对称

C．半径为 D．直线与圆M相切

【答案】BD

【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.

【详解】整理得：，

∵，时，∴点在圆M外，A错；

∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；

∵圆M半径为1，故C错；

∵圆心到直线的距离为，与半径相等，

∴直线与圆M相切，D对.

故选：BD.

11．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．与共线的单位向量是

C．与夹角的余弦值是

D．平面的一个法向量是

【答案】AD

【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.

【详解】，故，A正确；

不是单位向量，且与不共线，B错误；

，C错误；

设，则，，

所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.

故选：AD

12．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（    ）

A．满足的点的轨迹长度为

B．点存在无数个位置满足直线平面

C．直线与平面所成的角是45°

D．若是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为

【答案】ABD

【分析】利用线面垂直判定可得平面，可知点轨迹即为平面与平面的交线可判断A，利用面面平行得判定可证得平面平面，可知当轨迹为平面与平面的交线可判断B，利用坐标法，根据线面角的向量求法及二面角的向量求法可判断CD.

【详解】对于A，平面，平面，

，又四边形为正方形，

，又平面，，

平面，

点轨迹即为平面与平面的交线，即为，

点轨迹的轨迹长度为，A正确；

对于B，，平面，平面，

平面，同理可得平面，

又，平面，

平面平面，

轨迹为平面与平面的交线，即，

点存在无数个位置满足直线平面，B正确；

对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，

设直线与平面所成的角为，则，

所以，故C错误；

对于D，因为，，，

，，

设平面的法向量，

，令，，

又平面的一个法向量，

，，

即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知方程表示圆，则的取值范围是____________.

【答案】

【分析】化为标准方程后计算

【详解】原方程可化为

由得

故答案为：

14．已知直线过定点，则定点的坐标为__．

【答案】

【分析】把方程整理为关于的方程，由恒等知识可得．

【详解】解：由，得：，

故，，故直线恒过定点，

故答案为：．

15．棱长为的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离.

【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，．

设平面的法向量为，则即令，则，

点到平面的距离．

又，且平面平面，平面，

故直线到平面的距离即点到平面的距离.

故答案为：．

16．在正四棱锥中，底面边长为，侧棱，为的中点，为直线上一点，且与、不重合，若异面直线与所成角为，则三棱锥的体积为______．

【答案】

【分析】本题首先可以绘出正四棱锥的图像并构建空间直角坐标系，然后设，根据异面直线与所成角为计算出，再然后设点到底面的距离为以及点到底面的距离为并根据三角形相似的性质得出，最后根据三棱锥的体积公式即可得出结果.

【详解】

如图，设点为底面正方形的中心，取的中点，

以为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，

易知，，，，

，，，

设（且），

则，

由，

整理得，解得（舍去），

故，且点在射线上，

设点到底面的距离为，点到底面的距离为，

因为，，

所以，，

故答案为：.

【点睛】本题考查几何体体积的求法，考查异面直线所成角的灵活应用，考查三棱锥的体积公式，考查运算能力和空间想象能力，体现了综合性，是难题.

四、解答题

17．已知三个顶点的坐标分别为，，．求：

（1）过点且与直线平行的直线方程．

（2）中，边上的高线所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先求出的斜率，由平行求出所求直线的斜率，利用点斜式直线方程求解即可；

（2）先求出的斜率，由垂直求出所求直线的斜率，利用点斜式直线方程求解即可．

【详解】解：（1）因为三个顶点的坐标分别为，，，

所以直线的斜率为，

则过点且与直线平行的直线方程为，即.

（2）因为直线的斜率为，

所以中边上的高所在直线的斜率为-1，

又高所在直线过点，

所以高所在直线的方程为，即．

18．已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．

(1)求证：圆C1和圆C2相交；

(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．

【答案】(1)证明见解析

(2)4x＋3y－23＝0；公共弦长

【分析】（1）根据圆心距与半径的关系可证明两圆相交；

（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用弦心距、半径可求弦长.

【详解】(1)圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圆心C1（1，3），半径，

C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圆C2（5，6），半径，

|C1C2|＝，

∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，

∴圆C1和圆C2相交．

(2)∵两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，

∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：

8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．

圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离，

∴圆C1和圆C2的公共弦长．

19．在中，已知，，.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由直线方程的两点式可得；

（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.

【详解】（1），，

边所在的直线方程为，即；

（2）设到的距离为，

则，

，

方程为：即：

.

.

20．圆C过点，且圆心在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与直线方程联立解得圆心坐标，然后求出半径后可得圆标准方程；

（2）设线段的中点，用表示出，代入圆方程可得结论．

【详解】(1)直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．

的中点，因此，直线m的方程为．即．

联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径，

则所求圆的方程是．

(2)设线段的中点，则，解得

代入圆C中得，

即线段中点M的轨迹方程为．

21．如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）由已知条件推导出，，从而得到平面，由此能够证明平面.

（2）以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法可求出二面角的正弦值.

（3）求出的坐标，利用向量法点到平面的距离公式，可求出点到平面的距离.

【详解】（1）因为平面，所以.

因为二面角为直二面角，且，

所以平面.所以.

因为与相交，且都属于平面.

所以平面.

（2）以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.

因为面，面，所以，在中，，为的中点，

所以.所以，，，，.

设平面的一个法向量为.

则即化简得

令，得是平面的一个法向量.

又平面的一个法向量为，

.

所以二面角的正弦值为.

（3）因为轴，，所以，

所以点到平面的距离.

【点睛】用向量法求二面角的正弦值或余弦值、点到面的距离关键点为：

①建立三维空间直角坐标系

②求点坐标，求相关向量坐标

③求法向量

④带公式，计算

⑤得结果.

22．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点A，，与圆：交于点，.

(1)若，求直线的一般方程；

(2)若的中点为，求面积的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题，直线斜率显然存在，设出直线，可得点到线的距离，由垂径定理建立勾股定理方程解出斜率k即可

（2）直线的斜率不存在时，可求出定值面积；直线的斜率存在时，设出直线，由A到直线CD的距离小于AP建立不等式，可得斜率k范围，结合点到直线的距离、由垂径定理建立勾股定理方程解出弦长AB，可得的面积函数，讨论函数值域即可

【详解】(1)由题可知，，∵，直线斜率显然存在，设为，则直线.

因为点到直线的距离，∴，∴，由解得.

 则直线的一般方程为或

(2)当直线的斜率不存在时，，则的面积

当直线的斜率存在时，设为，则直线，，直线.

此时A到直线CD的距离小于AP，则，解得，所以.

因为，所以.

因为，则点到直线的距离即点到直线的距离.

所以的面积.

令，则

∵，∴，∴.

综上，面积的取值范围是