2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高一下学期第一次质量检测数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高一下学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．下列结论中，正确的是（    ）

A．零向量只有大小没有方向 B．

C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等

【答案】B

【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．

【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；

由于与方向相反，长度相等，故B正确；

因为零向量的模为0，故C错误；

与线段的长度相等，故D错误．

故选：B．

2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

【答案】D

【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.

【详解】图中与共线的向量有：

，共9个，

故选：D.

3．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.

【详解】因为与共线，所以，，

所以，

因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，

故选：C．

4．若复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为 B．的共轭复数为

C．对应的点在第二象限 D．

【答案】C

【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.

【详解】由，得，

对于A，复数的虚部为，故A不正确；

对于B，复数的共轭复数为，故B 不正确；

对于C，复数对应的点为，所以复数对应的点在第二象限，故C正确；

对于D，，故D不正确.

故选：C.

5．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.

【详解】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．

∵2∈，

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，

故选B.

【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.

6．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．

【详解】向量，是两个单位向量，

由为锐角可得，

，

反过来，由两边平方可得，

，，

，不一定为锐角，

故“为锐角”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

7．已知D，E分别是边AB，AC上的点，且满足，，，连接AO并延长交BC于F点．若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三点共线，可得，再根据三点共线，可求出，由平面向量基本定理可得，所以可求出，所以知，再由，即可求出的值.

【详解】由题意可得，，

因为三点共线，

则，

所以，

同理，三点共线，

，

又因为，

所以，所以，

所以，所以，

所以，

，所以

故选：D.

8．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建系将向量用坐标表示，转化为关于式子，以为独立变量求此式子的最值.

【详解】建立直角坐标系如图：

则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），

设P（x，y），则=（﹣x，2﹣y），

=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），

所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）

=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]；

所以当x=0，y=时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．

故选：D．

【点睛】与向量有关的最值或取值范围，常考虑两种方法：

（1）若能建系用坐标表示，可转化为关于式子，用函数或解析几何来求；

（2）利用向量几何意义转化为长度和夹角来求，

此题就可以用求得.

二、多选题

9．下列关于复数的命题中，正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据复数的模、共轭复数的定义及复数代数形式的乘法运算法则判断即可.

【详解】解：对于A：因为，则，则，所以，故A正确；

对于B：若，则，故B正确；

对于C：令，，，

由，所以，

所以，则，同理可得，

所以，故C正确；

对于D：令，，则，但是、，所以，故D错误；

故选：ABC

10．已知向量，，与平行，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】先表示出，，然后根据向量平行的条件列方程求出，从而判断AB；根据向量的模长公式可判断C，根据向量的减法运算可以判断出D.

【详解】依题意可知，．因为与平行，所以，解得，故A正确，B错误；，，故CD正确.

故选：ACD

11．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（    ）

A．

B．向量在向量方向上的投影向量为

C．

D．若，则

【答案】ABD

【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项

【详解】由图可得，

对于A，，故A正确；

对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；

对于C，，

所以，故C不正确；

对于D，因为，，所以，故，故D正确.

故选：ABD

12．在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若点在上时，则

B．的取值范围为

C．若点在上时，

D．当在线段上时，的最小值为

【答案】AD

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，

因为，

所以，所以，

对于A，由题意可得线段的方程为，，

因为点在上，所以，

因为，所以，

所以，所以A正确，

对于B，因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以B错误，

对于C，因为，所以，

因为，，

所以，

若，则，得，

因为，所以不满足，

所以不成立，所以C错误，

对于D，

，当且仅当时取等号，

所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，

故选：AD

三、填空题

13．已知向量，，若A，B，C三点共线，则____________．

【答案】5

【分析】由向量共线的坐标表示求解.

【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．

故答案为：5．

14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.

【答案】

【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．

【详解】在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，得．

故答案为：．

15．已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为______．

【答案】

【分析】过点P作，，根据向量运算和平面向量基本定理可得，．作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得，，列方程求的值.

【详解】如图，过点P作，，则，

又，

由平面向量基本定理可得，．

作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H．

又因为，所以，

因为，同理．

因为的面积与的面积之比为，

所以，

解得．

故答案为：.

16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．

【答案】

【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，再利用正弦定理及三角变换可得，，然后利用基本不等式即得.

【详解】∵，

∴，，

又，

∴，即，

∴

，

∴或(舍去)，

∴，

∴，

∴，

当且仅当时取等号，

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，－3）．

(1)若，求实数的值；

(2)设C（－6，k），若，的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得，则，从而可求出实数的值，

（2）由题意可得，则，求出的范围，再考虑，共线反向的情况，从而可求出实数k的取值范围

【详解】（1）因为，

所以

因为，

所以，

即，解得．

（2）因为，所以，

即，解得．

若，则

解得k＝29．

故实数k的取值范围是．-

18．在中，内角所对的边分别为．

(1)求的值；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式展开，以及同角平方和关系即可求解；（2）根据（1）的结果可分两种情况讨论或，结合余弦定理即可判断为等边三角形，根据面积公式即可求解.

【详解】（1）由得

则，且，

（2）方法一：

由（1）得，可得，或

 由余弦定理可得，

当时，；由可得，，即，此时为等边三角形，故

当时，，由可得，即，不符合要求，

所以，的面积为．

方法二：

由余弦定理可得，，当且仅当时，等号成立

即，   ，

由（1）可得，且，

即，

方法三：

由正弦定理可得，，由（1）可得，，

则，，

当，即时，，即 ，进一步得，

，，即，故

于是为等边三角形，，

当，即时，，

即  ， ， 即 ，推出矛盾；

综上所述，的面积为．

19．在中，内角所对的边分别为．若

（1）求角的大小；

（2）设的中点为，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；

（2）设，在中利用正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围．

【详解】（1）因为，而，所以

（2）如图所示：

设，则中，由可知,

由正弦定理及，可得，

所以，

由，可知，，.

【点睛】思路点睛：本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求即，在中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数，由正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围，第二种方案可以求解任意形如的取值范围，解法更一般．