2022-2023学年广东省深圳实验学校光明部高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省深圳实验学校光明部高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．是虚数单位，复数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】解：，

故选：C．

2．下列四个命题正确的是（    ）

A．所有的几何体的表面都能展成平面图形 B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等

C．棱柱的各条棱长度都相等 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

【答案】B

【分析】根据球的表面特征判断A，根据棱锥的结构特征判断B，根据棱柱的结构特征判断CD.

【详解】对于A，球的表面不能展成平面图形，错误；

对于B，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，正确；

对于C，棱柱的各条侧棱长度都相等，但是侧棱长度与底面中的棱长不一定相等，错误；

对于D，正六棱柱中，相对的两个侧面互相平行，但它们不是正六棱柱的底面，错误；

故选：B

3．已知两点，，则与向量同向的单位向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由平面向量的坐标表示与单位向量的概念求解即可.

【详解】由，，得，则，

所以与向量同向的单位向量为.

故选：D

4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则角A为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【分析】由正弦定理求解.

【详解】由正弦定理，得，

又，所以，所以为锐角，所以．

故选：D．

5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则b的取值是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由余弦定理列方程求解．

【详解】由题意，即，解得（舍去），

故选：D．

6．已知向量，满足，，，则（   ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件，首先对两边同时平方求出，然后利用数量积夹角公式求解即可.

【详解】因为，，，

所以，即，

故.

故选：C.

7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.

【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，所以.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：A.

8．平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（    ）

A．13 B．7 C．14 D．

【答案】C

【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案.

【详解】如图，

由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，

因为，

又，

所以

，

所以的最大值为.

故选：C.

二、多选题

9．已知i是虚数单位，复数，则以下说法正确的有（    ）

A．复数的虚部为i B．

C．复数的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点在第三象限

【答案】BD

【分析】由复数的定义判断A，复数模的定义判断B，共轭复数定义判断C，复数的乘方与复数的几何意义判断D．

【详解】复数的虚部是，A错；

，B正确；

，C错；

，对应点坐标为，在第三象限，D正确．

故选：BD．

10．下列四个命题正确的是（    ）

A．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行

B．过空间中任意三点有且仅有一个平面

C．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

D．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

【答案】AC

【分析】由线面平行的性质定理判断A，由平面的基本性质判断BC，由空间直线的位置关系判断D．

【详解】选项A，若直线平行平面，则过直线的平面与的交线都与平行，这样的交线有无数条，A正确；

选项B，当空间三点共线时，过这三点有无数个平面，B错；

选项C，两两相交且不过同一点的三条直线，如图，直线两两相交，交点分别为，则点不共线，因此由这不共线的三点确定一个平面，从而可得这三条直线都在平面内，即它们共面，C正确；

选项D，若空间两条直线不相交，这两条直线平行或异面，D错．

故选：AC．

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，下列结论正确的是（    ）

A．是钝角三角形 B．

C．若，则的面积是 D．

【答案】ABC

【分析】由余弦定理求得角大小，判断A，根据数量积的定义判断B，由三角形面积公式判断C，结合正弦定理判断D．

【详解】由题意，设，则角最大，

，是三角形内角，则是钝角，A正确；

由选项A知为锐角，

，B正确；

，则，，C正确；

由正弦定理得，，D错误；

故选：ABC．

12．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为

C．存在，使得

D．的最大值为

【答案】ACD

【分析】若 ，可求得,即 ，从而可得的值，故A正确；若 在 上的投影模为 ，且 ，则 或 ，故 B 不正确；对化简运算即可计算得当向量与的夹角为时， ，故C正确；可得的最大值为 ，故D正确.

【详解】若 ，则 ，则 ，可知，再由，解得，故A正确；

若 在 上的投影向量的模为 ，且 ，则 或，故 B 不正确；

若 ，若 ，则 ，即 ，故 且时故，时，C正确；

，因为 ，则当 时， 的最大值为 ，故 D 正确，

故选: ACD.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于较难题.

三、填空题

13．已知一个球的半径为R，其体积的数值和表面积的数值满足关系，则半径______．

【答案】

【分析】利用球的表面积公式和体积公式即可求解

【详解】因为，所以，解得，

故答案为：

14．已知中，，，，是的角平分线，则________．

【答案】/

【分析】由余弦定理结合角平分线性质求解．

【详解】设，因为是角平分线，则，

又由已知得，同理，

∴，解得．

故答案为：．

15．已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据复数的几何意义求复数的对应点的坐标，由条件列不等式求的取值范围.

【详解】因为，

所以复数在复平面上的对应点的坐标为，

由已知可得，，

由可得，

由可得或，

所以，

所以实数的取值范围为，

故答案为：.

16．如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为________．

【答案】

【分析】利用向量的坐标表示求解．

【详解】如图，延长交轴于，由已知，

，，

由题意，，，

又，所以，

，

所以点坐标为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知i是虚数单位，，．

(1)求；

(2)若满足，求实数a，b的值

【答案】(1)；

(2)，．

【分析】（1）由复数的乘法法则计算；

（2）根据复数相等的定义求解．

【详解】（1）由题意；

（2）由已知，

，

又，

∴，解得．

18．已知向量，．

(1)若，求k的值；

(2)若，求k的值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由向量平行的坐标表示求解；

（2）由向量垂直的坐标表示求解．

【详解】（1）由已知，，

∵，∴，解得；

（2），

∵，∴，解得．

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求角C；

(2)若，求的周长的最大值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由正弦定理化角为边，由余弦定理求得；

（2）由正弦定理用表示出，计算，利用两角和与差的正弦公式化简变形，再由正弦函数性质得最大值．

【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，

所以，是三角形内角，则；

（2）由（1），则，

由正弦定理得，，，

，

，则，，

所以．

时，取得最大值．

20．为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线AC开通一条穿山隧道．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，且测得，，.用以上数据（或部分数据）表示以下结果.

(1)求出线段PB的长度；

(2)求出隧道DE的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件求出角，在中由正弦定理即可得结果；

（2）在中由正弦定理求出，从而求解得.

【详解】（1）由题意，，，

所以，，又，，

在中，由正弦定理得，即，

解得；

（2）因为，，所以，，

又由（1）知，，

在中，由正弦定理得，

所以，即，

所以.

21．如图，在四边形中，，．

(1)若，，求；

(2)若，，，求．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）用表示出，然后由数量积的运算律及定义计算；

（2）先求得，然后平方后转化为数量积求模．

【详解】（1）由题意

，

∴；

（2）由已知，

，

∴．

22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求角A；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角为边后，再由余弦定理可求得；

（2）由正弦定理化角为边，代入（1）中结论化简后，得出，由锐角三角形得，化简后可得的取值范围，然后利用函数的单调性的范围，从而得出结论．

【详解】（1）∵

由正弦定理和余弦定理得,

整理得，，

又是三角形内角，∴；

（2）为锐角三角形，则，，∴，

又，

，

，

，则，，

设，，则，

则，

因此当时，，，，单调递减，当时，，，，单调递增，

，当时，，当或时，，

∴，

∴，即．