2022-2023学年广西钦州市高一上学期期末教学质量监测数学试题含解析

2022-2023学年广西钦州市高一上学期期末教学质量监测数学试题

一、单选题

1．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.

【详解】设只白兔为，只灰兔为，

则所有基本事件为：，，,,,,,,,,共有个，

其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：,,,,,,共个，

所以所求事件的概率为：.

故选：A

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，.

故选：A

3．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.

【详解】对于①，当且时，

所以是任何数域的元素，①正确；

对于②，当时，且时，由数域定义知，

所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故选项②正确；

对于③，当时，,故选项③错误；

对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域.

故选：A

4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.

【详解】，

所以，

所以函数在单调递减，在单调递增，

所以==,

又,,

所以的值域为.

故选：B.

5．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则集合中所有元素的和可求.

【详解】当时，；当时，；

当时，；当时，；

所以，所以中所有元素之和为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.

6．若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（    ）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对

【答案】C

【分析】由题意，设点，则的坐标为，结合，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，从而作图解答

【详解】解：由题意，设点，则的坐标为，

因为，

所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，

作与的图像如图所示，

两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对

故选：C

【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题

7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,以下命题正确的个数是

下面给出关于狄利克雷函数f(x)的五个结论:

①对于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;

②函数f(x)偶函数;

③函数f(x)的值域是{0,1};

④若T≠0且T为有理数,则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;

⑤在f(x)图象上存在不同的三个点A,B,C,使得△ABC为等边角形.

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】①分，两种情况从内到外，利用求值判断.②分，两种情况，利用奇偶性定义判断.③当时，；当时，判断.④分，两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取 ， 判断.

【详解】①当时，，则；当时，，则，所以对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1;故正确.

②当时，，；当时，，，所以函数f(x)偶函数;故正确.

③当时，；当时，，所以函数f(x)的值域是{0，1};故正确.

④当时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=1=f(x)；当 时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=0=f(x)，所以对任意的x∈R恒成立;故正确.

⑤取 ， 构成以为边长的等边三角形，故正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

8．设函数，若，则

A．3 B． C．或1 D．或1

【答案】B

【分析】由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解．

【详解】由题意，函数，且，

当时，即，解得；

当时，即，解得或（舍去），

综上可知的值为，故选B．

【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用分段函数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

9．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）

A．30 B．25 C．20 D．15

【答案】C

【详解】抽取比例为,

，

抽取数量为20,故选C.

10．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】借用0，1进行比较大小，简单判断即可.

【详解】因为，，，

所以.

故选：B

11．函数的定义域是（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【解析】根据函数解析式的性质求定义域即可.

【详解】由函数解析式，知：，

解之得：且，

故选：D

【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，根据分式的分母不为零，根式的双重非负性求定义域，属于简单题.

12．设集合，若，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为，且易知a>0，所以b=0，所以a=1.

所以M={3，0}，N={1，0}，所以M∪N={3，0，1}.故选B．

【名师点睛】解答本题时，要注意题目中的隐含条件，对数中的真数a>0，所以对于集合N中的元素就没有必要分a=0和b=0两种情况进行讨论，所以首先可以根据和交集的概念求出b的值，再求出a的值，最后求出M∪N，这样大大提高了解题效率.

二、填空题

13．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.

【答案】0.21##

【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.

【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C

则，则

故答案为：0.21

14．某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关．现有一位参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为，，则该参加者有资格闯第三关的概率为________．

【答案】

【分析】根据参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率求出参加游戏者单独闯第一、第二关都失败的概率，即可求出该参加者有资格闯第三关的概率.

【详解】解：由题意，

参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为，，

∴参加游戏者单独闯第一、第二关都失败的概率为：

∵闯关游戏前两关至少过一关才有资格闯第三关，

∴该参加者有资格闯第三关的概率为：

故答案为：.

15．若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则__________．

【答案】

【分析】根据已知条件求出原函数，在求出对应的反函数，将点代入表达式中求出参数即可.

【详解】因为点在函数的图像上，

所以,计算得，

又且，所以，

所以，

所以的反函数为，

又因为点在图像上，

所以，得，

故答案为：.

16．光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过___________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来以下.

【答案】16

【分析】经过第块玻璃板后其光线的强度变为原来的，再根据求解即可

【详解】由题得经过第块玻璃板后，其光线的强度变为原来的，

由.，可得.所以取16.

故答案为：16

三、解答题

17．如图，已知，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P作BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设，Ω的面积为，Ω的周长为．

（1）求和的解析式；

（2）记，求的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）作的高，当时，根据，计算得到与；从而计算和；当时根据，计算得到，，从而计算和；（2）根据（1）的结果分别计算和时的最值，再比较大小可得.

【详解】（1）作的高，，，

当，，所以，，，.

当，，所以，，；

（2）当，，最大值为.

当时，，

当且仅当时，有最大值，又，

故最大值为．

【点睛】本题考查分段函数以及分段函数的最值问题，解决这类问题需要注意：

（1）在实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.

（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

18．已知定义在R上的函数是奇函数.

（1）求实数a的值；

（2）解方程；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用奇函数的性质，，求实数的值；（2）首先设，先解，再解的值；（3）首先判断函数的单调性，再结合函数是奇函数，变形为在上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值.

【详解】，经检验时，对任意，都有，故.

由得，令得，

因为单调递增，所以单调递减，即单调递减

得

因为是奇函数，所以

所以在上恒成立

令得，，

令，在单调递减，在单调递增.

所以.

【点睛】方法点睛：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，

1.若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为的形式，最后运用函数的单调性去掉“”，转化为一般不等式求解；

2.若函数是偶函数，利用偶函数的性质，将不等式转化为，再利用函数在的单调性，去掉“”，转化为一般不等式求解.

19．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，设，且，求（用表示）；

（3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，3.

【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；

（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果；

（3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此求得的最大值即可求得结果.

【详解】（1）当时，

故 ，所以不等式的解集为；

（2）当时，，

，

.

（3）在（2）的条件下，不等式化为，

即在区间上有解. 令，则，

，，

，又是正整数，故的最大值为3.

20．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.

（1）把利润表示为产量的函数.

（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；

（3）产量为多少时，企业所得利润最大？

【答案】（1）；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.

【分析】（1）依题意对与分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；

（2）要使企业不亏本，则，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；

（3）根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）设利润为y万元，当时，，当时，

综上可得 ；  

（2）要使企业不亏本，则.

即或

得或，即.

即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.

（3）显然当时，企业会获得最大利润，

此时，，

，即年产量为475台时，企业所得利润最大.

21．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.

(1)若满足性质，且，求的值；

(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）

(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；

（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；

（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.

【详解】（1）因为满足性质，

所以对于任意的x，恒成立.

又因为，

所以，，

，

由可得，

由可得，

所以，.

（2）若正数满足，等价于，

记，

显然，，

因为，所以，，即.

因为的图像连续不断，

所以存在，使得，

因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.

（3）若，则1即为零点；

因为，若，则，矛盾，故，

若，则，，，

可得.

取即可使得，又因为的图像连续不断，

所以，当时，函数在上存在零点，

当时，函数在上存在零点，

若，则由，可得，

由，可得，

由，可得.

取即可使得，又因为的图像连续不断，

所以，当时，函数在上存在零点，

当时，函数在上存在零点，

综上，函数存在零点.

22．某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．

(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；

(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；

(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．

附：方差．

【答案】(1)，39.6（岁）

(2)47

(3)该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，即可求出，再根据平均数公式计算可得；

（2）根据百分位数计算规则计算可得；

（3）根据平均数、方差公式计算可得；

【详解】（1）解：由题意，

解得，

39.6（岁）；

（2）解：通过计算知第75百分位数落在[45，50)区间内，设为t，

则，

解得，即第75百分位数为47；

（3）解：由

设该名选手最终的平均分为，最终方差为，

则（分），

估计该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216．