2022-2023学年福建省福州第一中学高一下学期第三学段模块（期中）考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州第一中学高一下学期第三学段模块（期中）考试数学试题

一、单选题

1．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则，化简得的，结合复数的概念，即可求解.

【详解】根据复数的运算法则，可得，可得

故复数的虚部为.

故选：B.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（　　）

A． B． C．92° D．135°

【答案】B

【分析】根据三角形边的比设出三边，得到最大边，进而可得最大角，再根据余弦定理求最大角即可.

【详解】，

设，

最大，即最大，

，又，

.

故选：B.

3．已知向量，若，则（    ）

A．(－2，－1) B．(2，1) C．(3，－1) D．(－3，1)

【答案】A

【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x，再利用向量和的坐标运算求.

【详解】解析：因为，所以，解得x＝－4．所以.

故选：A

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则此三角形的解的情况是（    ）

A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定

【答案】C

【分析】根据正弦定理求解出的值，根据，解出角，可判断出选项.

【详解】由正弦定理可得，，即，解得，

由可知，无解.

故选：C.

5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题设公式可判断A,B，由可得，两式联立可判断C,D.

【详解】对于A，不一定等于0，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，因为，①

所以，即，②

联立①②可得，，故C正确，D错误，

故选：C.

6．在矩形中，，为上一点，.若则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，设，由向量垂直的坐标表示求出，再由向量运算的坐标表示求解即可.

【详解】以为坐标原点建立如图所示坐标系，

由题意可得，设，

所以，，

因为，所以，解得，

又因为，所以，

即，解得，

所以，

故选：C

7．在△ABC中，，，直线AM交BN于点Q，若，则λ=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】、、三点与、、三点分别共线，根据平面向量共线定理，结合向量加减法，可找出与等式关系，即可求解出结果.

【详解】设，

，

由平面向量基本定理可得，，

，，

，

，

，

解得，

，

，

，

，

故选：D.

8．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据已知条件可以判断是直角三角形，且随着的变化三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定与边的变化关系，再构造一个关于边的三角形，根据与边的关系在新构造的三角形中解出的表达式，找出最大值.

【详解】由可知， 是，的直角三角形，如图所示：

设，，，则由余弦定理

得，即

由正弦定理得，所以.

连接，在中，由余弦定理，得

当时，的长度取得最大值，为

故选:B

【点睛】思路点睛：

可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：

①确定变动图形的变化规律：如上题的变化是角度不变，边长可等比例变化

②确定图形变化与某个变量的联系：变化发生变化整体变化

③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.

二、多选题

9．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．

C．若，则 D．

【答案】BD

【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.

【详解】设则，

不满足，也不满足，故选项AC错误；

对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，

由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；

对于D，设，则

，

所以，

，故选项D正确；

故选：BD.

10．若向量满足，则（    ）

A． B．与的夹角为

C． D．在上的投影向量为

【答案】BC

【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.

【详解】因为，所以，

则，故A不正确；

又，，所以，即与的夹角为，故B正确；

又，所以，故C正确；

又在上的投影向量为，故D不正确.

故选：BC.

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用平面向量数量积的定义，判断夹角的范围即可判断A选项；对于B选项，利用正弦定理进行边化角处理，化简可得到角的关系；对于C选项，利用正弦定理进行角花边处理，再利用余弦定理求得；对于D，利用角的正切值在的正负关系，直接得出结果.

【详解】对于A选项：

，则，故A选项正确；

对于B选项：，

由正弦定理可得，

则，即，故，则，故B错误；

对于C选项：

由正弦定理可得，，即， 解得 ，，故C正确；

对于D选项：

、、三个必有一个为负值

又，，，故D正确.

故选：ACD.

12．中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星，正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，依次连接A，B，C，D，E形成的多边形为正五边形，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．

【答案】BCD

【分析】根据平面向量的线性运算，向量共线定理得推论，结合平面向量数量积的定义和平面几何知识综合判断.

【详解】对于A选项，

，

又易知，

又，

，故A选项错误；

对B选项，，又，，三点共线，

，解得 ，故B选项正确；

对于C选项，，又，

，故C选项正确；

对于D选项，设，

，，，，

，，

，

，

，故D选项正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．在中，，，，则的面积为__________．

【答案】

【分析】根据平面向量的夹角公式可求得，从而可得到，再根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】依题意可得，解得，

又，所以，

所以的面积为．

故答案为：．

14．已知关于x的实系数方程的一个虚根为，则___________.

【答案】1

【分析】根据方程的根为，将根代入方程即可求解.

【详解】因为关于x的实系数方程的一个虚根为，

所以，

即，

也即，

所以，解得，

故答案为:1.

15．在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为___________m.

【答案】

【分析】根据题意作出直观图，可知当取得最小值时，在处的仰角最大，利用余弦定理可构造方程求得的长，利用面积桥可求得.

【详解】设塔高为，如下图所示，

由题意知：，，，平面，，

若在处的仰角最大，即最大，则取得最大值，

，当取得最小值时，最大，

设，则，，

，

解得：，，，

，

当时，最小，，

即若在处的仰角最大，则点到塔底的距离为.

故答案为：.

16．在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________.

【答案】

【分析】如图，取BC中点为M，做，

将化为，后找到间关系，可得答案.

【详解】如图，取BC中点为M，做，

则，又，

，则，

得.

注意到，

则.又由图可得，

则，

当且仅当，且，即时取等号.

故答案为：

四、解答题

17．已知z为虚数，若，且.

(1)求z的实部的取值范围；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用复数的概念以及除法运算求解；

（2）利用复数的模的概念求解.

【详解】（1）设,

则，

又，则，所以，

因为，所以且，

所以z的实部的取值范围是.

（2）∵，

又

所以，

所以，

因此.

18．设向量

(1)求与垂直的单位向量；

(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)先设单位向量坐标，再应用与 垂直求向量坐标即可；

(2) 因为向量与向量的夹角为钝角可得数量积小于0，列式计算可得取值范围.

【详解】（1）由已知，设与垂直的单位向量为

则，解得或

即与垂直的单位向量为或

（2）由已知

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，解得，

又因为向量不与向量反向共线，

设，则

从而或（舍去），所以解得

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（其中S为△ABC的面积）.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积公式和三角形的面积公式求解；

（2）利用正弦定理边化角将转化为三角函数，利用三角函数的性质求解.

【详解】（1）因为，

则，

所以，又，则；

（2）由△ABC为锐角三角形及，

得且，所以，

由正弦定理，

得

，

因为，

所以，即的取值范围是.

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

(1)若，求△ABC的周长；

(2)已知，且边BC上有一点D满足，求AD.

【答案】(1)9；

(2).

【分析】（1）利用诱导公式，正弦定理边化角，结合二倍角正弦求出A，再利用余弦定理求解作答.

（2）由余弦定理求出a，由面积关系可得，再利用余弦定理建立方程组求解作答.

【详解】（1）由可得：，

又，得，由正弦定理得，

因为，即有，显然，又，有，

于是，即，则，若，由余弦定理，

得，解得，

所以△ABC的周长为9.

（2）设，则，由（1）知

在△ABC中，由及余弦定理得：，即，

由，知，

在△ABD中，，即，

在△ADC中，，即，

联立解得，，

所以.

21．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.

（1）将、用含有的关系式表示出来；

（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？

【答案】（1），；

（2）当时，取最大值.

【分析】（1）本题可通过正弦定理得出、；

（2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.

【详解】（1）因为，，，

所以，，.

（2）因为，，所以，

在中，由余弦定理易知，

即

，

因为，所以，，

当，即时，

取最大值，取最大值，

此时，

，

故当时，取最大值.

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.

22．锐角中，内角所对的边分别为，且，.

(1)求证：；

(2)将延长至，使得，记的内切圆与边相切于点，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)为定值

【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理得到，结合的范围和可证得结论；

（2）将进行角化边可整理得到的关系，根据向量线性运算可得到，根据向量数量积运算律可求得长，根据切线长相等的原理可推导得到结果.

【详解】（1）由，得：，

即，整理得：，

由正弦定理得：，

又，，

，，又，，

，.

（2）由（1）得：，，又，

整理可得：

，，

设内切圆圆心为，内切圆与边分别相切于点，

则，，，

，

，

，，

又，.