2022-2023学年福建省福州第十八中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州第十八中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设复数满足，则的虚部是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求解.

【详解】因为，所以，

所以的虚部是，

故选:C.

2．设集合或，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数性质化简集合，再结合交集的运算求解即可.

【详解】由题知，，

又或，

则，即.

故选：B

3．已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.

【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，

∴在区间上单调递减，且，

∴当时，，

当时，，

综上所述，的取值范围是.

故选：C.

4．在中，D为的中点，E为边上的点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.

【详解】由E为边上的点，且，

得.

故选：C

5．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ）

A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍

【答案】B

【分析】根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解.

【详解】由题意知，

，

得，

则，即，

解得.

故选：B.

6．已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】，，，.

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

7．设，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据对数函数的图象与性质得，通过比值法结合基本不等式和放缩的技巧即可得，则，最后再利用对数函数单调性得，最终得到答案.

【详解】因为，，

所以，

所以，所以，所以.

故选：A.

8．如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（    ）．

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答.

【详解】依题意，，函数的周期，而，则，，

，，

所以.

故选：A

二、多选题

9．已知向量，，，则（    ）

A． B．

C． D．，，使得

【答案】ABC

【分析】A选项，利用验证向量平行；B选项，利用验证向量垂直；C选项，利用模长公式求出；D选项，列出方程组，发现方程组无解，故不存在，，使得.

【详解】因为，故，A正确；

因为，所以，B正确；

，，故，C正确；

因为，所以，

即，无解，故不存在，，使得，D错误.

故选：ABC

10．已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.

【详解】A选项，，A选项正确.

B选项，，B选项错误.

C选项，，

，

若，则，解得，所以C选项正确.

D选项，当时，，所以D选项错误.

故选：AC

11．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的性质及其基本不等即可求解.

【详解】对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，

则正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，

∴，则正确．

故选：.

12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）

A．为定值

B．的取值范围是

C．当时，为定值

D．时，的最大值为12

【答案】ACD

【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.

【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则

，故A正确．

取AC的中点为M，连接OM，

则

，

而

故的取值范围是故B错误；

当时，

，故C正确．

当时，圆O半径取AC中点为，中点为，

则

，

最后等号成立是因为，

不等式等号成立当且仅当，故D正确．

故选:ACD.

三、填空题

13．若向量，则在方向上的投影向量坐标为________.

【答案】

【分析】直接根据投影向量的计算公式求解即可.

【详解】由已知得在方向上的投影向量坐标为

故答案为：.

14．已知复数，，，，设、、、在复平面上对应的点分别是A、B、C、D，则______.

【答案】##

【分析】根据给定条件，求出点的坐标，并求出它们到原点的距离，再利用圆内接四边形的性质计算作答.

【详解】依题意，点，令原点为O，

则有，则点在以O为圆心，为半径的圆上，如图，

即四边形为圆内接四边形，所以.

故答案为：

15．是等腰直角斜边上的三等分点，则_____．

【答案】

【详解】试题分析：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于E，F为三等分点，

所以AE=EF=BF=，又△ACE≌△BCF，

在△ACE中有余弦定理得

在△CEF中，利用余弦定理得

在△ECF中利用同角间的三角函数关系可知

【解析】两角和与差的正切函数

四、双空题

16．如图，在中，，，为上一点，且满足，则______________；若的面积为，则的最小值为______________．

【答案】         

【分析】先通过条件用表示，根据三点共线，可求得

根据的面积求得 ， 由，平方可得，代入即可求得答案.

【详解】∵，又，

∴，∴，

又因为三点共线，则，即，

，

的面积为，    

∴，

∴，

∴的最小值为．

故答案为：,.

五、解答题

17．已知复数.

(1)当实数为何值时，复数为纯虚数；

(2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知结合复数为纯虚数的条件可建立关于m的方程及不等式，求出m的值；

（2）结合复数的几何意义可建立关于m的不等式组，再求出m的取值范围．

【详解】（1）复数

复数为纯虚数, ，解得

∴时，为纯虚数．

（2）复数表示的点位于第四象限，可得，解得，

当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，

∴m的取值范围为

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)证明：．

(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；

（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.

【详解】（1）已知，由余弦定理可得，

即，又由正弦定理，得，

角A，B为△ABC中内角，所以.

（2）△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，

①②③

已知，，求证.

证明：，中，，

解得.

①③②

已知，，求证.

证明：，所以中，.

②③①

已知，，求证：.

证明：，在中，由余弦定理，

，所以

19．四边形中，，，．

（1），试求与满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．

【答案】(1) (2) 或；．

【分析】（1）利用向量的加法求出的坐标，再根据得到与满足的关系式；

（2）根据得到的关系，结合（1）中的关系，得到的两种取值，再分求出代入面积公式，求得四边形的面积.

【详解】（1）依题意：

∵  ∴，

即：，得；

（2），

当时，，得：，

代入，解方程得：或，故或；

当时，则，

此时求得：；

②当时，则，

此时求得：；

∴．

【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的坐标运算及对角线互相垂直的四边形的面积求法，考查基本的运算求解能力，注意求解过程中有两组解，所以求面积时要分情况讨论.

20．如图，函数的图象经过，，三点.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象.若，求函数的单调增区间.

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）求出函数的最小正周期，进而得到，带入特殊点坐标，得到，求出函数解析式；

（2）求出，整体法求出的单调增区间.

【详解】（1）由图可得函数的最小正周期

∴

又函数过点，且图象在该点附近单调递增，

∴，即，

又∵，∴，

∵过点，

∴，即

∴；

（2）将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到

.

∴

令，得：，

所以的单调增区间为，.

21．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．

(1)求的长度；

(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？

【答案】(1)

(2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元）

【分析】（1）根据余弦定理求解即可.

（2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可.

【详解】（1）在中，由余弦定理，得．

在中，由余弦定理得．

由，得，所以，

解得，所以长度为．

（2）小李的设计符合要求．理由如下：

因为，，

因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低．

因为，所以是等边三角形，，

所以，

所以总造价为（元）．

22．设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量.

(1)已知，求；

(2)设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)；

(3)若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)2

【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析运算；

（2）根据（1）中的结论求的坐标，结合题意分析运算；

（3）由（1）可得，根据面积公式和向量的相关运算整理得，结合基本不等式和正弦函数的有界性分析运算.

【详解】（1）∵，则，

∴，

故.

（2）由（1）可得：，即，

故，

∵，则，

∴.

（3）设，

由（1）可得：，同理可得：，

则，

设与的夹角为，则，

由题意可得：，则，

故，

当时，则，不合题意；

当时，则，当且仅当，即时等号成立，

即，

又∵，则，当且仅当时等号成立，

即，当且仅当，且时等号成立，

由题意可得：，即.

综上所述：实数的值为2.

【点睛】关键点点睛：在使用基本不等式要注意基本不等式成立的条件，本题分和两种情况分析运算.