福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第三学段模块考试（期中）数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第三学段模块考试（期中）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知函数,则( )
A.1B.2C.eD.2e
2、已知等比数列中,,,则( )
A.16B.4C.2D.1
3、如图是函数的导函数的部分图像,则下面判断正确的是( )
A.当时,函数取到极小值
B.当时,函数取到极大值
C.在区间内,函数有3个极值点
D.函数的单调递减区间为和
4、某校计划选拔4名学生参加科技创新大赛.现从3名女生,5名男生中进行选择,要求队伍中至少包含男,女生各1名,则不同选法的总数为( )
A.65B.60C.35D.30
5、十八世纪早期,英国数学家泰勒发现了公式,(其中,,,),现用上述公式求的值,下列选项中与该值最接近的是( )
A.B.C.D.
6、设双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线l分别与双曲线左,右两支交于M,N两点,且,,则双曲线C的离心率为( )
A.B.3C.D.
7、设,,,则( )
A.B.C.D.
8、已知函数,若,且,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、某校文艺汇演共6个节目,其中歌唱类节目3个,舞蹈类节目2个,语言类节目1个,则下列说法正确的是( )
A.若以歌唱类节目开场,则有360种不同出场顺序
B.若舞蹈类节目相邻,则有120种出场顺序
C.若舞蹈类节目不相邻,则有240种不同的出场顺序
D.从中挑选2个不同类型节目参加市艺术节,则有11种不同的选法
10、记为数列的前n项和,若,且,,成等比数列,则( )
A.为等差数列B.
C.,,成等比数列D.有最大值,无最小值
11、已知直线是曲线的切线,则( )
A.B.最小值为1
C.的最大值为1D.时,直线l有条
12、已知函数,下面选项正确的有( )
A.的最小值为
B.时,
C.
D.若不等式有且只有2个正整数解,则
三、填空题
13、已知F是抛物线的焦点,O为坐标原点,点A是抛物线C上的点,且,则的面积为_____________.
14、已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱,则这个圆柱的体积最大为__________.
15、写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.
①;
②当时,;
③是奇函数.
16、欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数,例如:,,.若,使得成立,则实数的最大值为__________.
四、解答题
17、已知函数.
（1）求曲线在点的切线方程;
（2）当时,求证:.
18、已知等差数列的前n项和为,,.正项等比数列中,,.
（1）求与的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
19、现有一块不规则的场地,其平面图形如图1所示,(百米),建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分,在此场地上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2).
（1）求折线ABC的函数关系式;
（2）求图书馆CDEF占地面积最大值.
20、已知函数,为导函数且.
（1）求实数a的值,并判断是否为函数的极值点;
（2）确定函数在区间内的极值点个数,并说明理由.
21、已知双曲线上任意一点P(异于顶点)与双曲线两顶点连线的斜率之积为,E在双曲线C上,F为双曲线C的右焦点,的最小值为.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）设O为坐标原点,直线l为双曲线C的切线,过F作的垂线,垂足为A,求证:A在定圆上.
22、已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：,
,
.
故选:D.
2、答案：B
解析：设等比数列的公比为q,
则,
.
故选:B.
3、答案：C
解析：不妨设导函数在区间的零点为,,在区间的零点为,
对于A,当时,单调递增,当时,,单调递减,在处取得极大值,错误;
对于B,当时,,单调递增,不存在极值点,错误;
对于C,当时,,单调递减,当时,,单调递增,在处取得极小值,
由A:在处取得极大值,当时,,单调递减,当时,,单调递增,在处取得极小值,
共有3个极值点,正确;
对于D,由以上分析可知:错误.
故选:C.
4、答案：A
解析：从3名女生,5名男生中选择4名学生有种选法,
从3名女生,5名男生中选择的4名学生全为男生有种选法,
所以要求队伍中至少包含男,女生各1名,则不同选法的总数有.
故选:A.
5、答案：C
解析：因为,
则,
当时,则有,
又,
则
,
故选∶C.
6、答案：A
解析：由题意作下图:
设双曲线C的半焦距为c,M,N的中点为G,则是等腰直角三角形,,
设,根据双曲线的定义有:,并且,,,
由①得:,,
由②得:,,
在中,,,解得,
双曲线C的离心率;
故选:A.
7、答案：B
解析：,
所以;
下面比较c与a,b的大小关系.
记,则,,
由于
所以当时,,即,,
所以在上单调递增,
所以,即,即;
令,则,,
由于,在时,,
所以,即函数在上单调递减,
所以,即,即;
综上,,
故选:B.
8、答案：D
解析：,则,令,
当时,单调递减,当时,单调递增,
在上,且,,,即.
综上,的图象如下:结合,,令,
如上图,若且,则,则不一定成立,A错误;
又,故,则不一定成立,B错误;
令,
则,
当时,,得,则;
当时,,得,则,
所以函数在R上单调递增,且,
所以在R上恒成立,得,
即,又,所以,
由,且函数在单调递减,得,即,D正确.
又,则,即,故,C错误.
故选:D.
9、答案：AD
解析：A:从3个歌唱节目选1个作为开场,有种方法,后面的5个节目全排列,
所以符合题意的方法共有种,故A正确;
B:将2个舞蹈节目捆绑在一起,有种方法,再与其余4个节目全排列,
所以符合题意的方法共有,故B错误;
C:除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列,有种,再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目,
所以符合题意的方法有种,故C错误;
D:符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈,1个歌唱1个语言,1个舞蹈1个语言,
所以不同的选法共种,故D正确.
故选:AD.
10、答案：AC
解析：由题意,
,
得:,
,,,是首项为,公差为1的等差数列,
,,,,
由于,,成等比数列,,,解得;
对于A,正确;
对于B,错误;
对于C,,,,,正确;
对于D,,是关于n的二次函数,所以在或13处取得最小值,无最大值,错误;
故选:AC.
11、答案：AB
解析：设切点为坐标,
由得,所以,
所以曲线在处的切线方程为
整理得:.
因为直线是曲线的切线,
所以,,.
对于选项A,由得,
所以,
故选项A正确.
对于选项B,因为,
令,
.
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所在处取得最小值.
所以在处取得最小值.
故选项B正确.
对于选项C,因为,
令,,
则,
因为,所以,
所以在上单调递减,
所以在上没有最大值.
所以没有最大值.
故选项C错误.
对于选项D,由得,
令
则
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所在处取得最小值.
因为,所以方程无实数根.
即无实数解.
所以时,直线l不存在
故选项D错误.
故选:AB.
12、答案：BD
解析：A:,
令且,令,
所以函数在和上单调递减,在上单调递增,如图,
所以函数没有最小值,故A错误;
B:当时,,
设,则,
所以函数在上单调递增,且,
所以,即,故B正确;
C:设,则,
又,所以当时,,即.
令,则,得,
有,即,
所以
,故C错误;
D:作出函数图象和直线,如图,
由不等式有两个正整数解知,,
即,故D正确.
故选:BD.
13、答案：
解析：设,由抛物线方程得:,所以,
由抛物线的定义得:,解得:,
又解得:,
所以的面积为:.
故答案为:.
14、答案：或
解析：由题意知,圆锥的底面半径为3,母线为5,则圆锥的高为,
设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,
则,得,
所以该圆柱的体积为,
令,则,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以,即圆柱的体积的最大值为.
故答案为:.
15、答案：
解析：取,则,满足①,
,当时有,满足②,
的定义域为,关于原点对称,
又,故是奇函数,满足③.
故答案为:(答案不唯一,均满足)
16、答案：12
解析：由欧拉函数的定义知,
中不超过的数共有个,3的倍数有个,
所以,
存在,使得即成立,
转化为存在,使得成立,
设,
当时,,
当时,则,（显然）
所以当时,,即,
当时,,即数列为单调递减数列.
有,数列中最大的项为,即,
此时,则,即的最大值为12.
故答案为:12.
17、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由已知得,
曲线在点的切线方程为,
即;
（2）令,
,,
,
令得或,令得,
故在上单调递减,在上单调递增,
,
又,,
,
,
即.
18、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）等差数列的前n项和为,,,设公差为d
所以,解得
所以
正项等比数列中,,,设公比为
所以,所以
解得,或(舍去)
所以
（2）由（1）知:
所以
两式相减得:
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由图可知,直线AB过点,所以,解得,
所以曲线AB方程为();
设函数BC的解析式为,由直线过点,,
得,解得,,
所以BC的解析式为,
所以折线ABC的函数解析式为;
（2）设,则,所以,
又,所以,得,
则,又,,
所以,
设(),则,
令,当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以,
即梯形CDEF的面积的最大值为.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,则,
由,得,
所以,,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递增,
所以不是函数的极值点.
（2）由（1）知,,
当时,,函数单调递增,无极值点;
设,则,
当时,,函数单调递减,
又,,
所以存在唯一的实数,使得,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以函数在上只有一个极值点,且该极值点为m.
又,所以函数为奇函数,
则在上也有一个极值点,且该极值点为.
综上,函数在上有2个极值点.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,双曲线的顶点为,,
设点,则①,又P与双曲线两顶点连线的斜率之积为,
所以,即②,
由①②得,,因为,所以③,
又的最小值为,所以④,
由③④和得,,所以双曲线的方程为;
（2）当直线的斜率不存在时,,则点A为双曲线的顶点,
此时点A在圆上,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设,
若,不符合题意,故.
,
,整理得.
由（1）知,因为,所以,
,解得,即,
所以
,
所以点A在圆上.
综上,点A在定圆上.
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由得.
令,则
当时,又,所以,即,所以在上单调递增;
当时,有,,所以,
所以在上单调递增;
当时,,令即,
又,得或,
令即,得,
所以的增区间为,;
减区间为;
综上:当时,的增区间为;
当时,的增区间为,;
减区间为.
（2）由题意,,
即,所以在上恒成立,
故,
令,
则,
令,则,
所以在单调递增,且,,
所以存在,则,
故当时,,即,函数单调递减,
当时,,即,单调递增,
所以,,
设,则,于是,
设,则内单调递减,且,
又,故,于是,所以,
所以,即a的取值范围是.