2022-2023学年福建省福州屏东中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州屏东中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

考查复数运算性质，除法运算主要掌握分子分母均乘以分母的共轭复数.

2．已知向量，，且，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】由向量垂直的坐标表示计算．

【详解】由题意得，解得

故选：C．

3．已知向量，，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用求得向量在向量方向上的投影向量.

【详解】设与所成角为，则，故在上的投影向量为．

故选：C.

4．复数，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ）

A． B． C．1 D．i

【答案】A

【分析】求出复数z的对应向量的终点所在角终边，按逆时针方向旋转后对应点所对角终边，再求出对应点的坐标作答.

【详解】复数的对应向量的终点在坐标轴的第四象限的角平分线上，

将此角平分线按逆时针方向旋转后，得x轴的非负半轴，令点对应的点为，

由得：，即，点所对复数为，

所以将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为.

故选：A

5．为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是

A．以AB为底面的等腰三角形

B．以BC为底面的等腰三角形

C．以AB为斜边的直角三角形

D．以BC为斜边的直角三角形

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．

因此可知

，所以可知为

故有，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.

【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运用．

点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．

6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

【详解】由题意

，

所以，，

.

故选：D.

7．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】B

【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.

【详解】由题设及三角形内角和性质：，

根据正弦定理及诱导公式得，

，，，即，

，则，则，解得,则，

所以，则，

又仅当时等号成立，

根据余弦定理得，即，

设的周长为，则，

设，则，

根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，

故，故，当且仅当时取等.

故选：B

8．已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.

【详解】过点    ，即

又        

又的图象向右平移个单位后与原图象重合

在上单调            

令，，解得，

当时，为的一条对称轴

又

当，且时，

本题正确选项：

【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．复数对应的点在第二象限

B．若，则z为实数

C．若，为复数，且，则

D．复数为纯虚数的充要条件为

【答案】AB

【分析】求出复数对应点坐标判断A；设出复数的代数形式推理判断B；举例说明判断C；利用纯虚数的定义判断D作答.

【详解】对于A，复数对应的点在第二象限，A正确；

对于B，设，由得，解得，即是实数，B正确；

对于C，令，满足，而，C错误；

对于D，复数为纯虚数的充要条件为，D错误.

故选：AB

10．已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则

C．若是锐角三角形，则

D．若，，，则的面积为或

【答案】BCD

【分析】利用诱导公式判断A，利用正弦定理及大角对大边判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用余弦定理求出，再由面积公式计算即可判断D；

【详解】解：对于A：若，则，整理得：或，

即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；

对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；

对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，

整理得：，故C正确；

对于D：由余弦定理，即，解得或，

所以或，故D正确；

故选：BCD

11．在中，是边上一点，，下列正确的是（    ）

A． B． C．为锐角三角形 D．可能为钝角

【答案】AB

【分析】利用余弦定理判断，利用正弦定理判断，利用三角形中判断．

【详解】解：：在中，由余弦定理得，，正确，

，，，在中，由正弦定理得，，正确，

：在中，由余弦定理得，为锐角，

又，为锐角，错误，

，错误．

故选：．

12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，，则

C．若O为△ABC的内心，，则

D．若O为△ABC的垂心，，则

【答案】ACD

【分析】对A，由奔驰定理即可判断；

对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；

对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；

对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，

结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，

如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求

【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；

对B，，由得，故，B错；

对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；

对D，若O为△ABC的垂心，则，，

又，

同理，∴，

∵，则，

且

如图，分别为垂足，

设，，则，

又，故，

由，解得，

由，故，D对故选：ACD

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则______.

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.

【详解】向量，满足，，，则，

，整理得，即，

所以.

故答案为：4

14．已知复数满足，则的最小值是______．

【答案】

【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可．

【详解】∵复数满足，

∴，

∴的最小值是．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目．

15．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________

【答案】/

【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.

【详解】根据余弦定理：

，

得，

由正弦定理△ABC的外接圆半径为.

故答案为:.

16．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解作答.

【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，

等边的边长为，则，又，设，

因此，

，

因为，有，则当时，

当时，，

所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

18．已知函数f（x）＝x2－ax＋2．

(1)若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；

(2)当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；

（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．

【详解】（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b]

所以，解得

（2）由f（x）≥1－x2得对恒成立

即在区间恒成立，所以

又，当且仅当时，取等号

所以，即，故实数的取值范围为

19．已知向量.

(1)当时，求的值；

(2)设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.

【答案】(1)；

(2)时，取最大值，最大值为.

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程，结合同角关系可求；

（2）根据数量积的坐标表示和两角和余弦公式化简，再根据正弦函数性质求其最大值和对应的值即可.

【详解】（1）因为，，

所以，

所以，

所以；

（2）因为，

所以，

，

所以，

所以，，

因为，所以，

所以，

所以，

当，即时，取最大值，最大值为.

20．某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（，单位：h）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：

经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象．

(1)根据以上数据，画出散点图，并求函数的近似解析式；

(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？

【答案】(1)图见解析，

(2)一天中有8小时不允许这种货车通行

【分析】（1）根据给定的数表，画出散点图，再求出中的参数作答.

（2）由（1）中解析式，列出不等式并求解作答.

【详解】（1）散点图，如图：

依题意，，，

，解得：，当时，y取最大值，则，

而，于是，

所以函数的近似解析式为.

（2）若车流量超过4千辆时，即，则，

解得，，即，，而，

因此和满足条件，共有，

所以一天中有8小时不允许这种货车通行.

21．在中，角所对的边分别是，设的面积为.已知.

(1)求角的值；

(2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理求出，即可得解；

（2）根据的面积求出，再利用等面积法即可得出答案.

【详解】（1）因为，

即，

所以，

所以，

又，所以；

（2）因为为的平分线，所以，

又，所以，

由，得，

解得或，

所以.

22．将正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变；再将其向左平移个单位，可得到函数的图像，已知函数在内单调递增.

(1)求实数m的取值范围；

(2)如图，某小区要建一个四边形花圃，其中，，是实数m的最大值，，求四边形花圃周长的最大值.

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）由题可得，利用正弦函数的性质可得，即得；

（2）利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，，进而可得表示四边形ABCD花圃周长，再利用三角变换及正弦函数的性质即得.

【详解】（1）由将正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标保持不变,再将其向左平移个单位，可得，

由，可得，

所以，

故实数m的取值范围是；

（2）由（1）知，．

在中，，

∴，

设，则在中，由得，

，，

所以

，

因为，所以，

∴，

因此时，取到最大值10，

故四边形ABCD花圃周长的最大值是10．