2022-2023学年福建省福州超德中学高一下学期期中考试数学试题含解析
展开2022-2023学年福建省福州超德中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1.复数,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念求解.
【详解】因为复数,所以,
故选:D.
2.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算直接求解.
【详解】因为向量,,所以.
故选:D
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.
【详解】解:由函数,
则最小正周期.
故选:B.
4.若,,,则,的夹角为( )
A.0 B. C. D.
【答案】B
【分析】根据向量的夹角公式即可求出.
【详解】由题意可得,,由于向量夹角的范围为,
所以向量与的夹角为.
故选:B.
5.已知复数z在复平面上对应的点为,则( )
A.z的虚部为 B. C. D.是纯虚数
【答案】D
【分析】根据题意得,根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项,即可求解.
【详解】A:因为复数z在复平面上对应的点为,
则,所以复数z的虚部为-1,故A错误;
B:,故B错误;
C:,故C错误;
D:,为纯虚数,故D正确.
故选:D.
6.已知,,下列各式中正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】试题分析:虚数不可比较大小,模可以比较大小,,,
【解析】复数的模的计算
7.已知,,,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性可得,,.
【详解】由,
且,即,
,即.
故选:B.
【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于基础题.
8.在边长为2的正方形ABCD中,点E为边BC上的动点,点F为边CD上的动点,且,则的最小值为( )
A.3 B.5 C.-1 D.0
【答案】A
【分析】建立适当的平面直角坐标系,设, ,则,即可求最小值.
【详解】以为原点,,所在直线分别为轴轴,建立平面直角坐标系
则,,设,由于,则
,
所以
当时,
故选:A
二、多选题
9.已知函数的图像是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
1 | 3 | 5 | 7 | ||
7 | 2 | 8 |
则一定包含的零点的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【分析】由零点存在性定理判断即可.
【详解】因为的图像是一条连续不断的曲线,且,
所以一定包含的零点的区间是.
故选:ACD
10.函数是定义在上的偶函数,在上的图象如图所示,则函数的增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根据函数图象,结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可.
【详解】由图象,可知在上单调递增,在上单调递减.
因为函数是定义在上的偶函数,
所以函数的图象关于轴对称,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以函数的增区间是和.
故选:BC.
11.已知向量,则( )
A. B. C.若向量,则 D.
【答案】ABD
【分析】根据向量数量积的坐标表示公式,即可判断选项.
【详解】A.,,所以,故A正确;
B.,所以,故B正确;
C.,,,所以不平行,故C错误;
D.,,故D正确.
故选:ABD
12.的内角,,的对边分别为,,.下面四个结论正确的是( )
A.,,则的外接圆半径是2 B.若,则
C.若,则一定是锐角三角形 D.若,则
【答案】ABD
【分析】根据正余弦定理及其应用,对每个选项进行逐一分析,即可判断和选择.
【详解】对:由正弦定理知,所以外接圆半径是2,故正确;
对:由正弦定理及可得,,即,由,知,故B正确;
对:因为,所以为锐角,但不确定,故C错误;
对:若,,所以由正弦定理得,故D正确.、
故选:ABD.
三、填空题
13.已知复数,,则在复平面内对应的点位于第__________象限.
【答案】二
【分析】利用复数的减法化简复数,利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为复数,,则,
因此,在复平面内对应的点的坐标为,即在复平面内对应的点位于第而象限.
故答案为:二.
14.在△ABC中,若,,,则△ABC的面积等于______________.
【答案】
【分析】先求得,然后根据三角形的面积公式求得△ABC的面积.
【详解】由余弦定理得,
所以为锐角,所以,
所以△ABC的面积为.
故答案为:
15.已知向量,,且,则________.
【答案】1
【分析】根据向量的坐标运算可得向量,,再利用模长公式整理即可计算出.
【详解】根据题意可知,,,
所以,
由可得,
整理可得,解得.
故答案为:1
16.已知,,若恒成立,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】先利用基本不等式求出的最小值,然后解不等式即可.
【详解】,,
,当且仅当,即时等号成立,
,解得.
故答案为:.
四、解答题
17.已知函数.
(1)求函数图像的对称中心;
(2)求函数图像的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦函数的性质求对称中心;
(2)根据余弦函数的性质求单调递减区间.
【详解】(1)令,解得,
所以函数图像的对称中心为.
(2)令,
解得,
所以函数图像的单调递减区间为.
18.已知,,,且.
(1)求实数m,n的值;
(2)设复数满足,求的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【分析】(1)根据复数相等的概念求解;
(2)根据复数的模长的概念以及点到圆上的点的距离的最大值求解.
【详解】(1)因为,所以,解得.
(2)因为,
所以,
所以,即.
所以复数对应的点在以为圆心,1为半径的圆上,
且,
所以的最大值为
19.设函数,其中向量,且.
(1)求实数m的值;
(2)求函数的最小值.
【答案】(1)1;
(2).
【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出f(x),再结合即可求出值;
(2)根据辅助角公式化简f(x)解析式,进而根据正弦型函数的性质得到答案.
【详解】(1)向量,,,
,
又,∴,解得.
(2)由(1)得,
当时,的最小值为.
20.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,,求:
(1)角B;
(2)的面积S.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)正弦定理求解;
(2)根据面积公式求解.
【详解】(1)由正弦定理,得,
因为在中,且,所以.
(2)因为,
所以.
所以.
21.已知函数.
(1)求的值;
(2)若,试求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)直接代入求解即可得答案;
(2)根据对数函数的单调性求解不等式即可得答案.
【详解】解:(1)因为,
所以
(2)因为,即,
所以,解得.
所以的取值范围是
22.如图,已知等腰中,,,点P是边BC上的动点.
(1)若点P是线段BC上靠近B的三等分点,试用向量,表示向量;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)10
【分析】(1)根据向量的加减法和数乘运算表示;
(2)利用向量数量积的定义和运算律求解.
【详解】(1)因为.
(2)
取中点,
则,且,
又因为,,
所以,
所以
福建省福州超德中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(A卷): 这是一份福建省福州超德中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(A卷),共4页。
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