2022-2023学年福建省福州超德中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州超德中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据共轭复数的概念求解.

【详解】因为复数，所以，

故选:D.

2．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的坐标运算直接求解.

【详解】因为向量，，所以.

故选：D

3．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.

【详解】解：由函数，

则最小正周期.

故选：B.

4．若，，，则，的夹角为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的夹角公式即可求出．

【详解】由题意可得，，由于向量夹角的范围为，

所以向量与的夹角为．

故选：B．

5．已知复数z在复平面上对应的点为，则（    ）

A．z的虚部为 B． C． D．是纯虚数

【答案】D

【分析】根据题意得，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解.

【详解】A：因为复数z在复平面上对应的点为，

则，所以复数z的虚部为-1，故A错误；

B：，故B错误；

C：，故C错误；

D：，为纯虚数，故D正确．

故选：D．

6．已知，，下列各式中正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：虚数不可比较大小，模可以比较大小，，，

【解析】复数的模的计算

7．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的单调性可得，，.

【详解】由，

且，即，

，即.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.

8．在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC上的动点，点F为边CD上的动点，且，则的最小值为（    ）

A．3 B．5 C．-1 D．0

【答案】A

【分析】建立适当的平面直角坐标系，设， ，则，即可求最小值．

【详解】以为原点，，所在直线分别为轴轴，建立平面直角坐标系

则，，设，由于，则

，

所以

当时，

故选：A

二、多选题

9．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

则一定包含的零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由零点存在性定理判断即可.

【详解】因为的图像是一条连续不断的曲线，且，

所以一定包含的零点的区间是.

故选：ACD

10．函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则函数的增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可.

【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减.

因为函数是定义在上的偶函数，

所以函数的图象关于轴对称，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的增区间是和.

故选：BC.

11．已知向量，则（    ）

A． B． C．若向量，则 D．

【答案】ABD

【分析】根据向量数量积的坐标表示公式，即可判断选项.

【详解】A.，，所以，故A正确；

B.，所以，故B正确；

C.，，，所以不平行，故C错误；

D.，，故D正确.

故选：ABD

12．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（    ）

A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则

C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；

对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；

对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；

对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、

故选：ABD.

三、填空题

13．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．

【答案】二

【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为复数，，则，

因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限.

故答案为：二.

14．在△ABC中，若，，，则△ABC的面积等于______________．

【答案】

【分析】先求得，然后根据三角形的面积公式求得△ABC的面积.

【详解】由余弦定理得，

所以为锐角，所以，

所以△ABC的面积为.

故答案为：

15．已知向量，，且，则________．

【答案】1

【分析】根据向量的坐标运算可得向量，，再利用模长公式整理即可计算出.

【详解】根据题意可知，,,

所以，

由可得，

整理可得，解得.

故答案为：1

16．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.

【详解】，，

，当且仅当，即时等号成立，

，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数图像的对称中心；

(2)求函数图像的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦函数的性质求对称中心；

（2）根据余弦函数的性质求单调递减区间.

【详解】（1）令，解得，

所以函数图像的对称中心为.

（2）令，

解得，

所以函数图像的单调递减区间为.

18．已知，，，且.

(1)求实数m，n的值；

(2)设复数满足，求的最大值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据复数相等的概念求解；

（2）根据复数的模长的概念以及点到圆上的点的距离的最大值求解.

【详解】（1）因为,所以,解得.

（2）因为，

所以，

所以，即.

所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，

且,

所以的最大值为

19．设函数，其中向量，且．

(1)求实数m的值；

(2)求函数的最小值．

【答案】(1)1；

(2)．

【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出f(x)，再结合即可求出值；

(2)根据辅助角公式化简f(x)解析式，进而根据正弦型函数的性质得到答案．

【详解】（1）向量，，，

，

又，∴，解得．

（2）由(1)得，

当时，的最小值为．

20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：

(1)角B；

(2)的面积S.

【答案】(1)

(2).

【分析】(1)正弦定理求解；

(2)根据面积公式求解.

【详解】（1）由正弦定理，得，

因为在中，且，所以.

（2）因为，

所以.

所以.

21．已知函数.

（1）求的值；

（2）若，试求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接代入求解即可得答案；

（2）根据对数函数的单调性求解不等式即可得答案.

【详解】解：（1）因为，

所以

（2）因为，即，

所以，解得.

所以的取值范围是

22．如图，已知等腰中，，，点P是边BC上的动点.

(1)若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量，表示向量；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）根据向量的加减法和数乘运算表示；

（2）利用向量数量积的定义和运算律求解.

【详解】（1）因为.

（2）

取中点，

则,且,

又因为，，

所以,

所以