1.福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期第四学段模块考试（期末）数学试题

这是一份1.福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期第四学段模块考试（期末）数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．内的任何直线都与平行
C．且D．且
3．平行四边形中，点E是的中点，点F是的一个三等分点（靠近B），则（ ）
A．B．
C．D．．
4．镇海植物园有两块地，从、、、四种树木中任选种树木种植在一块地中，余下种树木种植在另一块地中，则、种植在同一块地的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，圆柱的底面直径约为18cm．取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1296cm2，则该组合体上部分圆台的体积约为（ ）
A．6448cm3B．6548cm3C．5548cm3D．5448cm3
6．在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知△ABC的面积等于2，AB=1，当△ABC三条高的乘积取最大值时，sinC的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．事件与事件为相互独立事件
D．事件与事件对立
10．已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．极差变小D．方差变小
11．已知四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．在中，D，E分别是BC，AC的中点，且，则（ ）
A．面积最大值是6B．周长可能是14
C．不可能是5D．
三、填空题
13．若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a的值为 ．
14．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为 ．
15．在锐角中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围是 ．
四、双空题
16．在三棱锥中，，二面角的大小为，则该三棱锥的体积为 ；其外接球的表面积为 ．
五、解答题
17．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
18．在平面直角坐标系中，角终边与单位圆O的交点为E，将向量逆时针方向旋转，得到向量，记.
(1)判断向量与的位置关系，并说明理由；
(2)求的最大值.
19．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；
（2）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率；
（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差.
21．在中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，若．
(1)求的最小值；
(2)若的面积为，求的值．
22．如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．

(1)若，求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的最大值．
参考答案
1．B2．D3．D4．B5．A6．A7．A8．D
9．BC10．ACD11．BCD12．AD
13．14．/15．16．/
17．(1)，；
(2)．
【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
18．(1)共线，理由见解析
(2)
【详解】（1）向量与共线，理由如下：
角终边与单位圆O的交点为E，则，所以，
又将向量逆时针方向旋转得到向量，
所以，
又，则，，
因为，
所以，即向量与共线；
（2）因为，，
所以，
所以，
所以当，即时，有最大值1，
所以有最大值.
19．(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：取中点，连接、.
因为、分别是、的中点，
所以且.
在平行四边形中，且，
因为是的中点，所以且.
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下：
取的中点，连接、.
因为，，，所以，平面，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，则平面，
又因为平面，，所以，平面平面，
所以，平面.
故当点是线段的中点时，平面，此时，.
20．（1）84；（2）；（3）平均数和方差分别为和148.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于内.
因为，
所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84；
（2）在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，
分别用和表示，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点
有，，
个数为，
记事件“调查对象来自不同分组”，
则事件包含的样本点有，
个数为，
所以；
（3）设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为
女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，
方差为；总样本的平均数为，方差为.
由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
得.
因为
又，
同理，所以
.
所以总样本的平均数和方差分别为和148.
21．(1)
(2)或
【详解】（1）由，根据正弦定理可得，
由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
（2）由的面积为，即，则，
由（1）可知，
即，即，
所以，即，
解得或，
当时，满足，
当时，满足，
所以或.
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意矩形中，，M是AD的中点，
可知, ，
设O为中点，连接，则，

又，，
故，
又 ，O为中点，故，而，
故，故，
而平面，故平面，
平面，故平面平面；
（2）由（1）可知，将沿着BM翻折至平面平面时，
二面角逐渐增大，
当平面平面时，作，垂足为E，连接，

因为O为中点，则E为中点，此时;
由于平面，平面，故，
平面，故平面，
则为二面角的平面角，而,
故；
下面考虑翻折到越过平面平面时的位置后的情况：
设Q为中点，连接，则四边形为正方形，
连接，则O在上，则，

平面，故平面，
平面，故平面平面，
平面平面，作，垂足为F，
则平面，平面，故,，
作，垂足为G，连接，
平面，故平面，
故为二面角的平面角，
设，当时，二面角的正弦值为0；
当时，，
作，垂足为H，则四边形为矩形，
则，故，
故
，
由于，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
即二面角的正切值的最大值为，
此时二面角的正弦值的最大值，
由于，故二面角的正弦值的最大值.