2022-2023学年陕西省西安市临潼区铁路中学高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市临潼区铁路中学高二上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．命题“”的否定是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.

【详解】因为的否定为，

所以选A.

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.

2．在双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求得以及双曲线焦点所在坐标轴，根据求得，由此求得，进而求得双曲线的方程.

【详解】椭圆方程可化为，，所以双曲线的，且焦点在轴上.

由于，所以，所以，

所以双曲线的方程为.

故选：B

3．已知，则是的（   ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用绝对值的意义，举出反例进行证明条件推不出结论.

【详解】当时，若满足，但不满足，所以充分性不成立；

当时，若满足，但不满足，所以必要性不成立；

故选：D.

【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，考查推理能力，求解时要会举反例进行证明.

4．设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是（    ）

A．8 B．16 C． D．

【答案】B

【分析】先求得椭圆的长轴长，再利用椭圆定义即可求得的周长

【详解】椭圆的长轴长

由椭圆的定义可知，

则的周长为，

故选：B．

5．下列有关命题的说法中错误的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”

C．若命题，使得，则，均有

D．若为假命题，则、均为假命题

【答案】D

【分析】A选项，求出二次方程的解即可判断；命题“若，则q”的逆否命题为“若，则”，B正确；特称命题的否定为全称命题，C正确；根据复合命题的真假判断规则判断D选项.

【详解】A选项，的解为或2，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；

B选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，B正确；

C选项，特称命题的否定为全称命题，C正确；

D选项，若为假命题，则、中至少有一个为假命题.

故选：D

【点睛】本题考查充分不必要条件、逆否命题、含一个量词的命题的否定、复合命题的真假判断，属于基础题.

6．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为（    ）

A．y2＝x B．y2＝－x

C．x2＝y D．x2＝－y

【答案】C

【分析】由题意设方程为x2＝2py(p>0)，点M(－4，5)代入计算即可.

【详解】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得所以，抛物线方程为．

故选：C．

7．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长．

【详解】抛物线的准线方程是，所以，

，，故选B．

【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法．

8．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为（    ）

A．Δx＋

B．Δx－－2

C．Δx＋2

D．2＋Δx－

【答案】C

【分析】根据平均变化率的定义计算．

【详解】解：Δy＝f(1＋Δx)－f（1）＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2．

故选：C．

9．已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【答案】A

【分析】将x+2看做整体，求得f（x）的解析式，进而求其导数，由导数的几何意义，计算可得所求切线的斜率．

【详解】解：函数，

即为，

则，

导数为，

可得曲线在点处切线的斜率为1．

故选A．

【点睛】本题考查f（x）的解析式求法，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．

10．已知的图象如图所示，则与的大小关系是（    ）

A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案.

【详解】由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，

由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．

故选：B

11．下列求导运算正确的是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可.

【详解】

函数可看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有

故选：B

【点睛】本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于基础题.

12．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，计算即可.

【详解】如图，

因为O为，M为PF的中点，

所以MO为的中位线，可得|MO|=.

又，

，

，

.

故选：A

二、填空题

13．“且”的否定是“__________”

【答案】或

【分析】根据命题否定的定义进行求解即可.

【详解】已知原命题为“且”，

则命题的否定为“或”.

故答案为：或

14．已知抛物线的焦点为,为轴正半轴上的一点．且（为坐标原点），若抛物线上存在一点，其中，使过点的切线，则切线在轴上的截距为_______．

【答案】-1

【分析】先对函数求导，求出抛物线在点处的切线斜率，再根据，得到点坐标，由过点的切线，求出点坐标，进而可得切线方程，即可求出结果.

【详解】因为抛物线方程可化为，所以，

因此抛物线在点处的切线斜率为；

又为抛物线的焦点，所以；

因为为轴正半轴上的一点，且，所以，

所以，

因为过点的切线，所以，解得，

因为在抛物线上，所以，因此；

所以切线方程为或，即，

因此切线在轴上的截距为

【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.

15．若函数，则在点处的切线方程为___．

【答案】

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：由函数，

得，，

则，

故，

所以在点处的切线方程为，

即.

故答案为：.

16．点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为_____．

【答案】60°

【分析】由椭圆定义结合余弦定理即可求得的大小．

【详解】由椭圆，得，，．

在△中，由椭圆定义可得，

，

，

，

，

的大小为．

故答案为：．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质、椭圆定义及余弦定理的应用，考查方程思想和运算求解能力，属于中档题．

三、解答题

17．命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．

(1) 若命题为真，求的取值范围；

(2) 若命题为真，求的取值范围．

【答案】（1）.（2）

【分析】（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.

【详解】（1）∵有实数解，∴

（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴

∵为真，，.

【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．

18．求下列函数的导函数：

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）化根式为分数指数幂，根据积的导数和基本初等函数的求导公式求解；

（2）由基本初等函数的求导公式，结合商的导数的运算公式化简；

（3）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.

【详解】（1），

.

（2），

.

（3），

，

.

19．在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．

求双曲线的方程；

求椭圆的方程．

【答案】（1）（2）

【分析】由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；

由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．

【详解】解：双曲线：经过点，

可得，

其中一条近线的方程为，可得，

解得，，

即有双曲线的方程为；

椭圆：与双曲线有相同的焦点，

可得，

椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，

由点F到直线AB：的距离为，可得

，化为，

由解得，，

则椭圆的方程为．

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．

20．已知函数在x＝1处取得极值.

（1）求a的值；

（2）求曲线在点处的切线方程.

【答案】（1） – 2；（2）.

【分析】(1)由，而极值点处函数的导数值为0，可知即可求得a的值；(2)由(1)所得a值，有、，可求、，结合导数的几何意义即可得到点处的切线方程

【详解】(1)由题意知：

∵在x＝1处取得极值，有

∴，故

(2)由(1)知：，，则在点处

有，

∴点处的切线方程为

【点睛】本题考查了根据导数与极值点的关系求参数值，以及依据导数的几何意义求曲线某一点上的切线方程

21．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线：交椭圆于､两点，线段的中点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）动点满足，求动点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设出椭圆的方程以及､两点的坐标，利用点差法以及的中点的坐标即可求出椭圆的方程；

（2）由椭圆的方程与直线联立求出点的坐标，由，得到动点的轨迹是以为圆心，为直径的圆，由此可得到动点的轨迹方程.

【详解】解：（1）由题意设椭圆的方程为，，，

则，

两式相减得：，

即，

又线段的中点为，

，，

，

即，

又，

，

即，

又，，

解得：，，

椭圆的方程为：；

（2），

点的轨迹是以为圆心，为直径的圆，

联立：，

消去得：，

解得：，

不妨设，

代入直线得到：，

，

，

动点的轨迹方程为：.

【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：

①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出，；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为．

22．已知抛物线的焦点为，为坐标原点．

(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；

(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；

（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.

【详解】（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，

，解得：，

抛物线的标准方程为：.

（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，

设，则，解得：，，

，，解得：，

，即的边长为.