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2023年山西省晋中市榆次区中考数学一模试卷(含答案解析)
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这是一份2023年山西省晋中市榆次区中考数学一模试卷(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了 下列运算正确的是，5A等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省晋中市榆次区中考数学一模试卷
1. 在数2，−2，−12，0四个数中最小的数是( )
A. 2. B. −2 C. −12 D. 0
2. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3−a2=a B. 3a3⋅a4=3a12
C. (−a3)4=a12 D. (12a3+4a)÷4a=3a2
4. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域.纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝.已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为( )
A. 2.5×10−9米 B. 2.5×10−8米 C. 0.25×10−7米 D. 25×10−9米
5. 中国人对方程的研究有着悠久的历史，宋元时期中国古代数学家创立了一种列方程的方法，这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是( )
A. 天元术 B. 四元术 C. 正负术 D. 割圆术
6. 某学校为落实立德树人，发展素质教育，加强劳动教育，需要招聘一位劳动教师，现对甲、乙、丙三名候选人进行了测试.他们的各项测试成绩如表所示.根据实际需要，学校将学历、笔试、上课、现场答辩四项测试得分按1：3：4：2的比例确定个人的综合测试成绩，那么将被录用的是( )
测试项日
测试成绩
甲
乙
丙
学历
7
8
8
笔试
9
7
9
上课
8
8
7
现场答解
8
9
8
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定
7. 把不等式组3x>x−61−2x3≤x−42中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 将某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为y=x2−6x+4，则原抛物线的表达式为( )
A. y=x2−4x+1 B. y=x2−4x−5
C. y=x2−8x+15 D. y=x2+4x−1
9. 小亮新买了一盏亮度可调节的台灯(图①)，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图②所示.下列说法正确的是( )
A. 电流I(A)随电阻R(Ω)的增大而增大
B. 电流I(A)与电阻R(Ω)的关系式为I=1100R
C. 当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D. 当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0
A. 33−π9
B. 33−2π9
C. 34−π8
D. 2 33−2π9
11. 计算： 12× 6 3的结果为______ .
12. 某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下：
试验种子粒数
100
400
600
1000
2000
3000
发芽种子粒数
96
382
570
948
1908
2850
发芽的频率
0.960
0.955
0.950
0.948
0.954
0.950
随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在______ 附近(结果精确到0.01).
13. 在卡塔尔世界杯上，来自中国制造的主体育场馆“大金碗”——卢塞尔体育场(图①)，融合了许多黑科技，球场顶棚采用环保膜材料，既可以为观众提供遮阳，又能够给球场草地带来阳光.膜材料结构是由许多正六边形交织而成的，在正六边形ABCDEF(图②)中，∠ABC为______ ∘.
14. 如图①是小明家使用的挂钩，起初按照图②的方式(∠α=90∘)挂在墙上，A，B为钉子所在位置，且AB=72cm；为了增加挂钩之间的空隙，调整为图③的方式∠β=60∘，两颗钉子A，B间的距离增加了______ cm.(用含根号的式子表示)
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，AB=4，延长AB到点D，使BD=12AB，分别过点B，D作BE//AC，DE//BC，连接CE，点M，N分别是CE，AD的中点，连接MN，则MN=______ .
16. 计算：2÷(−14)+|−1−3|+(−15)−1−(−2)0.
17. 下面是小敏同学化简分式(5x+2−1)⋅x+3x2−9的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：原式=(5x+2−1)⋅x+3(x+3)(x−3)……第一步
=5−1x+2⋅1x−3……第二步
=4x+2⋅1x−3……第三步
=4x2−x−6……第四步
任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是______ ；
②第______ 步开始出现错误，错误的原因是______ ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB
(2)猜想与证明：试猜想线段AD，DC，BE的关系，并加以证明.
19. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动.
【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杨树叶的长宽比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
柳树叶的长宽比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
【实践探究】分析数据如下：
平均数
中位数
众数
方差
杨树叶的长宽比
2.19
m
2.4
0.0949
柳树叶的长宽比
1.51
1.5
n
0.0089
【问题解决】(1)上述表格中：m=______ ，n=______ ；
(2)①这两种树叶从长宽比的方差来看，______ 树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于______ 树的可能性大；
(3)该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率.
20. 某学校为了改善办学条件，决定修缮学校体育场看台.看台的侧面如图中阴影部分所示，有五级高度相等的小台阶，已知看台高为2米，现要用不锈钢材料做一个扶手AB及两根与地面FG垂直且长度都为1米的架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66.5∘.图中所有点在同一竖直平面内.
(1)求点D与点C的高度差DH；
(2)求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC).
(参考数据：sin66.5∘≈0.9，cos66.5∘≈0.4，tan66.5∘≈2.3)
21. 小颖和小兰约定周末到体育公园打网球.她们到体育公园的距离分别是1800米，300米.小颖准备骑自行车，小兰准备步行，已知小颖骑自行车的速度是小兰步行速度的3倍，若二人同时到达，小颖需提前5分钟出发，求小兰步行的速度.
22. 阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
×年×月×日里期六
关于完全平方式的思考
完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛.今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现：
练习：将下列各式因式分解：x2−6x+9=①；9x2+12x+4=②；
我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：(−6)2=4×1×9；122=4×9×4若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，则系数a，b，c之间存在的关系式为③；
王华的探索发现：
若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，也可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0,c>0)根的情况为④时；还可以看作抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c>0)与x轴有⑤个交点时.
数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索与体会
任务：
(1)请补充完整小明的日记：①______ ，②______ ，③______ ，④______ ，⑤______ ；
(2)解决问题：若多项式(n−8)x2+(2n−4)x+(n+13)是一个完全平方式，利用以上结论求出n的值；
(3)除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程.请你再举出一例.
23. 问题情境：
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动.如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH.
初步探究：
(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；
问题解决：
(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；
(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长.
24. 如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于点H.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；
(2)连接HB，HC，求△HBC面积的最大值；
(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存的一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2<−12<0<2，
故选：B.
根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项C中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：C.
根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】解：A.a3和−a2不能合并，故本选项不符合题意；
B.3a3⋅a4=3a7，故本选项不符合题意；
C.(−a3)4=a12，故本选项符合题意；
D.(12a3+4a)÷4a=3a2+1，故本选项不符合题意；
故选：C.
先根据合并同类项法则，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方和多项式除以单项式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：25nm=25×10−9m=2.5×10−8m.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得：“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是天元术．
故选：A.
由书中所说的“立天元一”，可得出这种古代列方程的方法是天元术．
本题考查了数学常识，牢记古代列方程的各种方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：甲的综合成绩为1×7+9×3+8×4+8×210=8.2，
乙的综合成绩为8×1+7×3+8×4+9×210=7.9，
丙的综合成绩为8×1+9×3+7×4+8×210=7.9，
所以甲的综合成绩最高，
故甲将被录用，
故选：A.
根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
7.【答案】C
【解析】解：{3x>x−6①1−2x3⩽x−42②，
解不等式①，得x>−3.
解不等式②，得x≥2.
不等式组3x>x−61−2x3≤x−42中每个不等式的解集在同一条数轴上表示为：
.
故选：C.
分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：抛物线y=x2−6x+4=(x−3)2−5，顶点坐标为(3,−5)，
该抛物线平移前的顶点坐标是(2,−9)，
故原抛物线解析式为：y=(x−2)2−9=x2−4x−5.
故选：B.
先化为顶点式，再根据平移前后抛物线顶点坐标求原抛物线的表达式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．
9.【答案】D
【解析】解：A.由图象知，电流I(A)随电阻R(Ω)的增大而减小，故此选项符合题意；
B.设反比例函数解析式为：I=UR，把(1100,0.2)代入得：U=1100×0.2=220，则I=220R，故此选项不符合题意；
C.把R=550代入I=220R得，I=0.4A，故此选项不合题意；
D.当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0
直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OC，
∵⊙O与AC相切于C，
∴半径OC⊥AC，
∴∠OCA=90∘，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30∘，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=30∘+30∘=60∘，
∵tan∠AOC=ACOC，AC=2，
∴OC=2tan60∘=2 33，
∴△ACB的面积=12AC⋅OC=12×2×2 33=2 33，扇形ODC的面积=60π×(2 33)2360=29π，
∴阴影的面积=△ACB的面积-扇形ODC的面积=2 33−29π.
故选：D.
连接OC，由切线的性质得到∠OCA=90∘，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC=60∘，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，
11.【答案】2 6
【解析】解： 12× 6 3
= 12×6 3
= 12×63
=2 6.
故答案为：2 6.
利用二次根式乘除法的法则计算．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】0.95
【解析】解：由表知，随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在0.95附近，
故答案为：0.95.
利用频率估计概率求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】120
【解析】解：由题意得，∠ABC=180∘−360∘÷6=120∘.
故答案为：120.
根据正多边形的性质解决此题．
本题主要考查正多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
14.【答案】(36 6−72)
【解析】解：当α=90∘时，连接AB，此时四边形AFCE是正方形，
连接AB，如图②所示，
∴AB=72(cm)，
∴AC=72÷3=24(cm)，
∴AE=AC 2=12 2(cm).
当β=60∘时，连AB、EF，如图③所示，此时四边形AFCE是菱形，
此时△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=12 2(cm)，
∴EO=6 2(cm)，
在Rt△AEO中，
由勾股定理可知：AO= (12 2)2−(6 2)2=6 6(cm)，
∴AC=2AO=12 6(cm)，
∴AB=3AC=36 6(cm)，
故调整为图③的方式∠β=60∘，两颗钉子A，B间的距离增加了(36 6−72)(cm)，
故答案为：(36 6−72)
当α=90∘时，此时四边形AFCE是正方形，此时可求出AE的长度，当β=60∘时，连AB、EF，如图③所示，此时四边形AFCE是菱形，从而可求出AB的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理、菱形的性质以及正方形的性质，本题属于中等题型．
15.【答案】 72
【解析】解：如图，过点M作MF//AC交AB于点F，交BC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，
∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∴∠ABC=30∘，
∵BE//AC，DE//BC，
∴∠EBD=∠A=60∘，∠D=∠ABC=30∘，
∴∠CBE=180∘−60∘−30∘=90∘，
∵DE//BC，
∴∠BED=∠CBE=90∘，
∵AB=4，BD=12AB=2，
∴AC=12AB=2，BE=12BD=1，
∵MF//AC，点M，N分别是CE，AD的中点，
∴点G是BC的中点，点F是AB的中点，
∴GF=12AC=1，MG=12BE=12，AF=BF=1，
∴MF=MG+GF=32，
∵MF//AC，
∴∠MFN=∠A=60∘，
∵MH⊥AB，
∴∠FMH=30∘，
∴FH=12MF=34，
∴MH= MF2−FH2=34 3，
∵AN=DN=12AD=3，
∴NH=AN−AF−FH=3−2−34=14，
∴MN= MH2+NH2= 72，
故答案为： 72.
过点M作MF//AC交AB于点F，交BC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，根据三角形内角和定理及平行线的性质得出∠EBD=60∘，∠D=30∘，根据邻补角定义及平行线的性质推出∠BED=∠CBE=90∘，根据含30∘角的直角三角形的性质求出
AC=12AB=2，BE=12BD=1，根据题意推出点G是BC的中点，点F是AB的中点，进而得出GF=1，MG=12，AF=1，MF=32，根据含30∘角的直角三角形的性质求出FH=34，根据勾股定理求解即可．
此题考查了三角形中位线，熟记三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：原式=2×(−4)+4+(−5)−1
=−8+4−5−1
=−10.
【解析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则、绝对值的定义、负整数指数幂的运算法则、零次幂的运算法则解答即可．
本题主要考查有理数的运算、绝对值、负整数指数幂、零次幂，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则、绝对值的定义、负整数指数幂的运算法则、零次幂的运算法则是解题的关键．
17.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)二 通分时，分子没有乘(x+2)
【解析】解：任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是a2−b2=(a+b)(a−b)，
②第二步开始出现错误，错误的原因是通分时，分子没有乘(x+2)，
故答案为：①a2−b2=(a+b)(a−b)；
②二，通分时，分子没有乘(x+2)；
任务二：(5x+2−1)⋅x+3x2−9
=5−x−2x+2⋅x+3(x+3)(x−3)
=−(x−3)x+2⋅1x−3
=−1x+2，
∴该分式化简后的正确结果为−1x+2.
任务一：①利用平方差公式，即可解答；
②利用异分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
任务二：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，DE即为所求.
(2)AD=DC+BE.
证明：∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵AD=BC=BE+CE，
∴AD=CD+BE.
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可．
(2)由角平分线的定义以及平行四边形的性质可得CD=CE，AD=BC，则AD=CD+BE.
本题考查作图-基本作图、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的作图方法以及平行四边形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】2.151.5柳 杨
【解析】解：(1)杨树叶的长宽比的中位数为2.1+2.22=2.15，
即m=2.15；
柳树叶的长宽比的众数为1.5，
即n=1.5，
故答案为：2.15，1.5；
(2)①因为柳树叶的长宽比的方差小于杨树叶的长宽比的方差，
所以柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②长为11.5cm，宽为5cm的树叶的长宽比为2.3，
而样本中柳树叶的长宽比都小于2.3，杨树叶的长宽比的众数为2.4，
所以这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
(3)四位同学分别用A、B、C、D表示，其中A代表小颖，B代表小娜，
画树状图为：
共有12中等可能的结果，其中成员小颖和小娜同时被选中的结果数为2，
所以成员小颖和小娜同时被选中的概率=212=16.
(1)根据中位数的定义，把杨树叶的长宽比的10个数据按从小到大排列，找出第5个数据和第5个数据，它们的平均数为m的值；然后根据众数的定义确定n的值；
(2)①根据方差的意义，方差越小，波动越小，树叶的形状差别较小，从而可判断柳树叶的形状差别较小；
②先计算出这片树叶的长宽比为2.3，然后根据样本中杨树叶的长宽比的众数为2.4可判断这片树叶来自于杨树的可能性大；
(3)四位同学分别用A、B、C、D表示，其中A代表小颖，B代表小娜，画树状图展示所有12中等可能的结果，再找出成员小颖和小娜同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数、众数和方差．
20.【答案】解：(1)设每级小台阶的高度为x(米)，
∴点A到地面的距离为：AD+5x=1+5x，
由题意可知：A到地面的距离为3(米)，
∴1+5x=3，
解得：x=25.
∴DH=4x=85(米).
答：点D与点C的高度差DH为85米．
(2)延长AH交FG于点N，过点B作BM⊥AH于点M，
∴四边形BCHM是矩形，
∴BC=MH=1(米)，
由(1)可知：AN=3(米)，AH=4x+1=135(米)，
∴AM=AH−MH=85(米)，
在Rt△ABM中，cos66.5∘=AMAB，
∴AB=AMcos66.5∘≈4(米)，
∴AD+AB+BC=1+4+1=6(米)，
答：所用不锈钢材料的总长度6米．
【解析】(1)设每级小台阶的高度为x(米)，然后根据点A到地面的距离为3米即可列出方程求出x的值．
(2)延长AH交FG于点N，过点B作BM⊥AH于点M，根据(1)问可求出AM的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型．
21.【答案】解：设小兰步行的速度为x米/分钟，则小颖骑自行车的速度为3x米/分钟，
根据题意得：18003x−300x=5，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
答：小兰步行的速度为60米/分钟．
【解析】设小兰步行的速度为x米/分钟，则小颖骑自行车的速度为3x米/分钟，利用时间=路程÷速度，结合小颖比小兰多用了5分钟，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(x−3)2 (3x+2)2 ③b2=4acΔ=b2−4ac=01
【解析】解：(1)由题意得：①x2−6x+9=(x−3)2；
②9x2+12x+4=(3x+2)2；
③b2=4ac；
④Δ=b2−4ac=0的情况；
⑤可以看作抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c>0)与x轴有1个交点时；
故答案为：①(x−3)2；②(3x+2)2；③b2=4ac；④Δ=b2−4ac=0；⑤1；
(2)由题意得：Δ=b2−4ac=0，
即(2n−4)2−4(n−8)(n+13)=0，
解得：n=12；
(3)由题意得：解方程：x2−2x=−1，
则(x−1)2=1，
解得：x1=x2=1，(答案不唯一).
(1)由完全平方的定义、抛物线和二元一次方程的关系，即可求解；
(2)由题意得：Δ=b2−4ac=0，即可求解；
(3)举例即可．
本题为二次函数综合题，涉及到完全平方、解一元二次方程、抛物线的基本性质、抛物线和二元一次方程的关系等，属于阅读型题目，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】解：(1)BF=DH，BF⊥DH，
证明：如图1，
∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∴AB=AD，EF=EH，∠EHG=∠EFG=∠G=∠BAD=∠FEH=90∘，
∴∠BAD−∠DAF=∠FEH−∠DAF，
∴∠BAF=∠DEH，
∴△ABF≌△ADH(SAS)，
∴BF=DH，∠AFB=∠EHD，
延长BF，HD相交于点P，HD的延长线交FG于N，
∵∠AFB+∠PFN=∠EHD+∠GHN=90∘，
∴∠PFN=∠GHN，
∵∠PNF=∠HNG，
∴∠P=∠G=90∘，
∴BF⊥DH，
即BF=DH，BF⊥DH；
(2)在Rt△ABF中，AB=12，AF=13，
根据勾股定理得，BF= AF2−AB2=5，
如图2，过点G作GQ⊥BC，交BC的延长线于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90∘=∠Q，
∴∠BEF+∠BFE=90∘，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG，∠EFG=90∘，
∴∠BFE+∠QFG=90∘，
∴∠BEF=∠QFG，
∴△EBF≌△FQG(AAS)，
∴GQ=BF=5，FQ=AB，
∵AB=BC=BF+CF，FQ=CQ+CF，
∴CQ=BF=5，
∴CG= 2CQ=5 2；
(3)如图2，由(2)知，∠Q=90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘=∠Q，
∴CM//QG，
∴CQFQ=MGFG，
由(2)知，FQ=AB=12，CQ=5，
∵FG=13，
∴MG=CQ⋅FGFQ=5×1312=6512.
【解析】(1)先判断出AB=AD，EF=EH，∠EHG=∠EFG=∠G=∠BAD=∠FEH=90∘，进而判断出△ABF≌△ADH(SAS)，得出BF=DH，∠AFB=∠EHD，最后用等角的余角相等，即可得出结论；
(2)先求出BF=5，再判断出△EBF≌△FQG(AAS)，得出GQ=BF=5，FQ=AB，再判断出CQ=BF=5，即可得出答案；
(3)先判断出CM//QG，得出CQFQ=MGFG，即可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形和解(2)(3)的关键．
24.【答案】解：(1)在y=−x2+3x+4，令x=0得y=4，
∴C(0,4)，
在y=−x2+3x+4，令y=0得0=−x2+3x+4，
解得x=−1或x=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
设直线BC的表达式为y=kx+b，把B(4,0)，C(0,4)代入得：
4k+b=0b=4，
解得k=−1b=4，
∴直线BC的表达式为y=−x+4，
∴A的坐标为(−1,0)，B的坐标为(4,0)，C的坐标为(0,4)；直线BC的表达式为y=−x+4；
(2)过H作HK//y轴交BC于K，如图：
设H(m,−m2+3m+4)，△HBC面积为S，则K(m,−m+4)，
∴HK=−m2+3m+4−(−m+4)=−m2+4m，
∴S=12HK⋅|xB−xC|=12×(−m2+4m)×4=−2m2+8m=−2(m−2)2+8，
∵−2<0，
∴当m=2时，S取最大值8，
∴△HBC面积的最大值为8；
(3)在平面内存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形，理由如下：
设P(t,−t2+3t+4)，Q(p,q)，
而B(4,0)，C(0,4)，
①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且PC=BQ，
∴t=p+4−t2+3t+4+4=qt2+(−t2+3t+4−4)2=(p−4)2+q2，
解得t=4p=0q=4(P与B重合，舍去)或t=−2p=−6q=−2，
∴Q(−6,−2)；
②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且PB=CQ，
∴t+4=p−t2+3t+4=q+4(t−4)2+(−t2+3t+4)2=p2+(q−4)2，
解得t=0p=4q=0(Q与B重合，舍去)或t=2p=6q=2，
∴(6,2)；
综上所述，Q的坐标为(−6,−2)或(6,2).
【解析】(1)在y=−x2+3x+4，令x=0可得C(0,4)，令y=0得A(−1,0)，B(4,0)，设直线BC的表达式为y=kx+b，用待定系数法得直线BC的表达式为y=−x+4，
(2)过H作HK//y轴交BC于K，设H(m,−m2+3m+4)，△HBC面积为S，可得S=12HK⋅|xB−xC|=−2(m−2)2+8，根据二次函数性质得△HBC面积的最大值为8；
(3)设P(t,−t2+3t+4)，Q(p,q)，分两种情况：①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且PC=BQ，t=p+4−t2+3t+4+4=qt2+(−t2+3t+4−4)2=(p−4)2+q2，②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且PB=CQ，t+4=p−t2+3t+4=q+4(t−4)2+(−t2+3t+4)2=p2+(q−4)2，分别解方程组可得答案．
本题考查二次综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
2023年山西省晋中市榆次区中考数学一模试卷
1. 在数2，−2，−12，0四个数中最小的数是( )
A. 2. B. −2 C. −12 D. 0
2. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3−a2=a B. 3a3⋅a4=3a12
C. (−a3)4=a12 D. (12a3+4a)÷4a=3a2
4. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域.纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝.已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为( )
A. 2.5×10−9米 B. 2.5×10−8米 C. 0.25×10−7米 D. 25×10−9米
5. 中国人对方程的研究有着悠久的历史，宋元时期中国古代数学家创立了一种列方程的方法，这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是( )
A. 天元术 B. 四元术 C. 正负术 D. 割圆术
6. 某学校为落实立德树人，发展素质教育，加强劳动教育，需要招聘一位劳动教师，现对甲、乙、丙三名候选人进行了测试.他们的各项测试成绩如表所示.根据实际需要，学校将学历、笔试、上课、现场答辩四项测试得分按1：3：4：2的比例确定个人的综合测试成绩，那么将被录用的是( )
测试项日
测试成绩
甲
乙
丙
学历
7
8
8
笔试
9
7
9
上课
8
8
7
现场答解
8
9
8
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定
7. 把不等式组3x>x−61−2x3≤x−42中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 将某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为y=x2−6x+4，则原抛物线的表达式为( )
A. y=x2−4x+1 B. y=x2−4x−5
C. y=x2−8x+15 D. y=x2+4x−1
9. 小亮新买了一盏亮度可调节的台灯(图①)，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图②所示.下列说法正确的是( )
A. 电流I(A)随电阻R(Ω)的增大而增大
B. 电流I(A)与电阻R(Ω)的关系式为I=1100R
C. 当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D. 当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0
A. 33−π9
B. 33−2π9
C. 34−π8
D. 2 33−2π9
11. 计算： 12× 6 3的结果为______ .
12. 某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下：
试验种子粒数
100
400
600
1000
2000
3000
发芽种子粒数
96
382
570
948
1908
2850
发芽的频率
0.960
0.955
0.950
0.948
0.954
0.950
随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在______ 附近(结果精确到0.01).
13. 在卡塔尔世界杯上，来自中国制造的主体育场馆“大金碗”——卢塞尔体育场(图①)，融合了许多黑科技，球场顶棚采用环保膜材料，既可以为观众提供遮阳，又能够给球场草地带来阳光.膜材料结构是由许多正六边形交织而成的，在正六边形ABCDEF(图②)中，∠ABC为______ ∘.
14. 如图①是小明家使用的挂钩，起初按照图②的方式(∠α=90∘)挂在墙上，A，B为钉子所在位置，且AB=72cm；为了增加挂钩之间的空隙，调整为图③的方式∠β=60∘，两颗钉子A，B间的距离增加了______ cm.(用含根号的式子表示)
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，AB=4，延长AB到点D，使BD=12AB，分别过点B，D作BE//AC，DE//BC，连接CE，点M，N分别是CE，AD的中点，连接MN，则MN=______ .
16. 计算：2÷(−14)+|−1−3|+(−15)−1−(−2)0.
17. 下面是小敏同学化简分式(5x+2−1)⋅x+3x2−9的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：原式=(5x+2−1)⋅x+3(x+3)(x−3)……第一步
=5−1x+2⋅1x−3……第二步
=4x+2⋅1x−3……第三步
=4x2−x−6……第四步
任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是______ ；
②第______ 步开始出现错误，错误的原因是______ ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB
(2)猜想与证明：试猜想线段AD，DC，BE的关系，并加以证明.
19. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动.
【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杨树叶的长宽比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
柳树叶的长宽比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
【实践探究】分析数据如下：
平均数
中位数
众数
方差
杨树叶的长宽比
2.19
m
2.4
0.0949
柳树叶的长宽比
1.51
1.5
n
0.0089
【问题解决】(1)上述表格中：m=______ ，n=______ ；
(2)①这两种树叶从长宽比的方差来看，______ 树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于______ 树的可能性大；
(3)该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率.
20. 某学校为了改善办学条件，决定修缮学校体育场看台.看台的侧面如图中阴影部分所示，有五级高度相等的小台阶，已知看台高为2米，现要用不锈钢材料做一个扶手AB及两根与地面FG垂直且长度都为1米的架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66.5∘.图中所有点在同一竖直平面内.
(1)求点D与点C的高度差DH；
(2)求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC).
(参考数据：sin66.5∘≈0.9，cos66.5∘≈0.4，tan66.5∘≈2.3)
21. 小颖和小兰约定周末到体育公园打网球.她们到体育公园的距离分别是1800米，300米.小颖准备骑自行车，小兰准备步行，已知小颖骑自行车的速度是小兰步行速度的3倍，若二人同时到达，小颖需提前5分钟出发，求小兰步行的速度.
22. 阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
×年×月×日里期六
关于完全平方式的思考
完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛.今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现：
练习：将下列各式因式分解：x2−6x+9=①；9x2+12x+4=②；
我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：(−6)2=4×1×9；122=4×9×4若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，则系数a，b，c之间存在的关系式为③；
王华的探索发现：
若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，也可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0,c>0)根的情况为④时；还可以看作抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c>0)与x轴有⑤个交点时.
数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索与体会
任务：
(1)请补充完整小明的日记：①______ ，②______ ，③______ ，④______ ，⑤______ ；
(2)解决问题：若多项式(n−8)x2+(2n−4)x+(n+13)是一个完全平方式，利用以上结论求出n的值；
(3)除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程.请你再举出一例.
23. 问题情境：
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动.如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH.
初步探究：
(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；
问题解决：
(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；
(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长.
24. 如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于点H.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；
(2)连接HB，HC，求△HBC面积的最大值；
(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存的一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2<−12<0<2，
故选：B.
根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项C中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：C.
根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】解：A.a3和−a2不能合并，故本选项不符合题意；
B.3a3⋅a4=3a7，故本选项不符合题意；
C.(−a3)4=a12，故本选项符合题意；
D.(12a3+4a)÷4a=3a2+1，故本选项不符合题意；
故选：C.
先根据合并同类项法则，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方和多项式除以单项式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：25nm=25×10−9m=2.5×10−8m.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得：“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是天元术．
故选：A.
由书中所说的“立天元一”，可得出这种古代列方程的方法是天元术．
本题考查了数学常识，牢记古代列方程的各种方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：甲的综合成绩为1×7+9×3+8×4+8×210=8.2，
乙的综合成绩为8×1+7×3+8×4+9×210=7.9，
丙的综合成绩为8×1+9×3+7×4+8×210=7.9，
所以甲的综合成绩最高，
故甲将被录用，
故选：A.
根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
7.【答案】C
【解析】解：{3x>x−6①1−2x3⩽x−42②，
解不等式①，得x>−3.
解不等式②，得x≥2.
不等式组3x>x−61−2x3≤x−42中每个不等式的解集在同一条数轴上表示为：
.
故选：C.
分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：抛物线y=x2−6x+4=(x−3)2−5，顶点坐标为(3,−5)，
该抛物线平移前的顶点坐标是(2,−9)，
故原抛物线解析式为：y=(x−2)2−9=x2−4x−5.
故选：B.
先化为顶点式，再根据平移前后抛物线顶点坐标求原抛物线的表达式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．
9.【答案】D
【解析】解：A.由图象知，电流I(A)随电阻R(Ω)的增大而减小，故此选项符合题意；
B.设反比例函数解析式为：I=UR，把(1100,0.2)代入得：U=1100×0.2=220，则I=220R，故此选项不符合题意；
C.把R=550代入I=220R得，I=0.4A，故此选项不合题意；
D.当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0
直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OC，
∵⊙O与AC相切于C，
∴半径OC⊥AC，
∴∠OCA=90∘，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30∘，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=30∘+30∘=60∘，
∵tan∠AOC=ACOC，AC=2，
∴OC=2tan60∘=2 33，
∴△ACB的面积=12AC⋅OC=12×2×2 33=2 33，扇形ODC的面积=60π×(2 33)2360=29π，
∴阴影的面积=△ACB的面积-扇形ODC的面积=2 33−29π.
故选：D.
连接OC，由切线的性质得到∠OCA=90∘，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC=60∘，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，
11.【答案】2 6
【解析】解： 12× 6 3
= 12×6 3
= 12×63
=2 6.
故答案为：2 6.
利用二次根式乘除法的法则计算．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】0.95
【解析】解：由表知，随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在0.95附近，
故答案为：0.95.
利用频率估计概率求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】120
【解析】解：由题意得，∠ABC=180∘−360∘÷6=120∘.
故答案为：120.
根据正多边形的性质解决此题．
本题主要考查正多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
14.【答案】(36 6−72)
【解析】解：当α=90∘时，连接AB，此时四边形AFCE是正方形，
连接AB，如图②所示，
∴AB=72(cm)，
∴AC=72÷3=24(cm)，
∴AE=AC 2=12 2(cm).
当β=60∘时，连AB、EF，如图③所示，此时四边形AFCE是菱形，
此时△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=12 2(cm)，
∴EO=6 2(cm)，
在Rt△AEO中，
由勾股定理可知：AO= (12 2)2−(6 2)2=6 6(cm)，
∴AC=2AO=12 6(cm)，
∴AB=3AC=36 6(cm)，
故调整为图③的方式∠β=60∘，两颗钉子A，B间的距离增加了(36 6−72)(cm)，
故答案为：(36 6−72)
当α=90∘时，此时四边形AFCE是正方形，此时可求出AE的长度，当β=60∘时，连AB、EF，如图③所示，此时四边形AFCE是菱形，从而可求出AB的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理、菱形的性质以及正方形的性质，本题属于中等题型．
15.【答案】 72
【解析】解：如图，过点M作MF//AC交AB于点F，交BC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，
∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∴∠ABC=30∘，
∵BE//AC，DE//BC，
∴∠EBD=∠A=60∘，∠D=∠ABC=30∘，
∴∠CBE=180∘−60∘−30∘=90∘，
∵DE//BC，
∴∠BED=∠CBE=90∘，
∵AB=4，BD=12AB=2，
∴AC=12AB=2，BE=12BD=1，
∵MF//AC，点M，N分别是CE，AD的中点，
∴点G是BC的中点，点F是AB的中点，
∴GF=12AC=1，MG=12BE=12，AF=BF=1，
∴MF=MG+GF=32，
∵MF//AC，
∴∠MFN=∠A=60∘，
∵MH⊥AB，
∴∠FMH=30∘，
∴FH=12MF=34，
∴MH= MF2−FH2=34 3，
∵AN=DN=12AD=3，
∴NH=AN−AF−FH=3−2−34=14，
∴MN= MH2+NH2= 72，
故答案为： 72.
过点M作MF//AC交AB于点F，交BC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，根据三角形内角和定理及平行线的性质得出∠EBD=60∘，∠D=30∘，根据邻补角定义及平行线的性质推出∠BED=∠CBE=90∘，根据含30∘角的直角三角形的性质求出
AC=12AB=2，BE=12BD=1，根据题意推出点G是BC的中点，点F是AB的中点，进而得出GF=1，MG=12，AF=1，MF=32，根据含30∘角的直角三角形的性质求出FH=34，根据勾股定理求解即可．
此题考查了三角形中位线，熟记三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：原式=2×(−4)+4+(−5)−1
=−8+4−5−1
=−10.
【解析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则、绝对值的定义、负整数指数幂的运算法则、零次幂的运算法则解答即可．
本题主要考查有理数的运算、绝对值、负整数指数幂、零次幂，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则、绝对值的定义、负整数指数幂的运算法则、零次幂的运算法则是解题的关键．
17.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)二 通分时，分子没有乘(x+2)
【解析】解：任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是a2−b2=(a+b)(a−b)，
②第二步开始出现错误，错误的原因是通分时，分子没有乘(x+2)，
故答案为：①a2−b2=(a+b)(a−b)；
②二，通分时，分子没有乘(x+2)；
任务二：(5x+2−1)⋅x+3x2−9
=5−x−2x+2⋅x+3(x+3)(x−3)
=−(x−3)x+2⋅1x−3
=−1x+2，
∴该分式化简后的正确结果为−1x+2.
任务一：①利用平方差公式，即可解答；
②利用异分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
任务二：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，DE即为所求.
(2)AD=DC+BE.
证明：∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵AD=BC=BE+CE，
∴AD=CD+BE.
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可．
(2)由角平分线的定义以及平行四边形的性质可得CD=CE，AD=BC，则AD=CD+BE.
本题考查作图-基本作图、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的作图方法以及平行四边形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】2.151.5柳 杨
【解析】解：(1)杨树叶的长宽比的中位数为2.1+2.22=2.15，
即m=2.15；
柳树叶的长宽比的众数为1.5，
即n=1.5，
故答案为：2.15，1.5；
(2)①因为柳树叶的长宽比的方差小于杨树叶的长宽比的方差，
所以柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②长为11.5cm，宽为5cm的树叶的长宽比为2.3，
而样本中柳树叶的长宽比都小于2.3，杨树叶的长宽比的众数为2.4，
所以这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
(3)四位同学分别用A、B、C、D表示，其中A代表小颖，B代表小娜，
画树状图为：
共有12中等可能的结果，其中成员小颖和小娜同时被选中的结果数为2，
所以成员小颖和小娜同时被选中的概率=212=16.
(1)根据中位数的定义，把杨树叶的长宽比的10个数据按从小到大排列，找出第5个数据和第5个数据，它们的平均数为m的值；然后根据众数的定义确定n的值；
(2)①根据方差的意义，方差越小，波动越小，树叶的形状差别较小，从而可判断柳树叶的形状差别较小；
②先计算出这片树叶的长宽比为2.3，然后根据样本中杨树叶的长宽比的众数为2.4可判断这片树叶来自于杨树的可能性大；
(3)四位同学分别用A、B、C、D表示，其中A代表小颖，B代表小娜，画树状图展示所有12中等可能的结果，再找出成员小颖和小娜同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数、众数和方差．
20.【答案】解：(1)设每级小台阶的高度为x(米)，
∴点A到地面的距离为：AD+5x=1+5x，
由题意可知：A到地面的距离为3(米)，
∴1+5x=3，
解得：x=25.
∴DH=4x=85(米).
答：点D与点C的高度差DH为85米．
(2)延长AH交FG于点N，过点B作BM⊥AH于点M，
∴四边形BCHM是矩形，
∴BC=MH=1(米)，
由(1)可知：AN=3(米)，AH=4x+1=135(米)，
∴AM=AH−MH=85(米)，
在Rt△ABM中，cos66.5∘=AMAB，
∴AB=AMcos66.5∘≈4(米)，
∴AD+AB+BC=1+4+1=6(米)，
答：所用不锈钢材料的总长度6米．
【解析】(1)设每级小台阶的高度为x(米)，然后根据点A到地面的距离为3米即可列出方程求出x的值．
(2)延长AH交FG于点N，过点B作BM⊥AH于点M，根据(1)问可求出AM的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型．
21.【答案】解：设小兰步行的速度为x米/分钟，则小颖骑自行车的速度为3x米/分钟，
根据题意得：18003x−300x=5，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
答：小兰步行的速度为60米/分钟．
【解析】设小兰步行的速度为x米/分钟，则小颖骑自行车的速度为3x米/分钟，利用时间=路程÷速度，结合小颖比小兰多用了5分钟，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(x−3)2 (3x+2)2 ③b2=4acΔ=b2−4ac=01
【解析】解：(1)由题意得：①x2−6x+9=(x−3)2；
②9x2+12x+4=(3x+2)2；
③b2=4ac；
④Δ=b2−4ac=0的情况；
⑤可以看作抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c>0)与x轴有1个交点时；
故答案为：①(x−3)2；②(3x+2)2；③b2=4ac；④Δ=b2−4ac=0；⑤1；
(2)由题意得：Δ=b2−4ac=0，
即(2n−4)2−4(n−8)(n+13)=0，
解得：n=12；
(3)由题意得：解方程：x2−2x=−1，
则(x−1)2=1，
解得：x1=x2=1，(答案不唯一).
(1)由完全平方的定义、抛物线和二元一次方程的关系，即可求解；
(2)由题意得：Δ=b2−4ac=0，即可求解；
(3)举例即可．
本题为二次函数综合题，涉及到完全平方、解一元二次方程、抛物线的基本性质、抛物线和二元一次方程的关系等，属于阅读型题目，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】解：(1)BF=DH，BF⊥DH，
证明：如图1，
∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∴AB=AD，EF=EH，∠EHG=∠EFG=∠G=∠BAD=∠FEH=90∘，
∴∠BAD−∠DAF=∠FEH−∠DAF，
∴∠BAF=∠DEH，
∴△ABF≌△ADH(SAS)，
∴BF=DH，∠AFB=∠EHD，
延长BF，HD相交于点P，HD的延长线交FG于N，
∵∠AFB+∠PFN=∠EHD+∠GHN=90∘，
∴∠PFN=∠GHN，
∵∠PNF=∠HNG，
∴∠P=∠G=90∘，
∴BF⊥DH，
即BF=DH，BF⊥DH；
(2)在Rt△ABF中，AB=12，AF=13，
根据勾股定理得，BF= AF2−AB2=5，
如图2，过点G作GQ⊥BC，交BC的延长线于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90∘=∠Q，
∴∠BEF+∠BFE=90∘，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG，∠EFG=90∘，
∴∠BFE+∠QFG=90∘，
∴∠BEF=∠QFG，
∴△EBF≌△FQG(AAS)，
∴GQ=BF=5，FQ=AB，
∵AB=BC=BF+CF，FQ=CQ+CF，
∴CQ=BF=5，
∴CG= 2CQ=5 2；
(3)如图2，由(2)知，∠Q=90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘=∠Q，
∴CM//QG，
∴CQFQ=MGFG，
由(2)知，FQ=AB=12，CQ=5，
∵FG=13，
∴MG=CQ⋅FGFQ=5×1312=6512.
【解析】(1)先判断出AB=AD，EF=EH，∠EHG=∠EFG=∠G=∠BAD=∠FEH=90∘，进而判断出△ABF≌△ADH(SAS)，得出BF=DH，∠AFB=∠EHD，最后用等角的余角相等，即可得出结论；
(2)先求出BF=5，再判断出△EBF≌△FQG(AAS)，得出GQ=BF=5，FQ=AB，再判断出CQ=BF=5，即可得出答案；
(3)先判断出CM//QG，得出CQFQ=MGFG，即可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形和解(2)(3)的关键．
24.【答案】解：(1)在y=−x2+3x+4，令x=0得y=4，
∴C(0,4)，
在y=−x2+3x+4，令y=0得0=−x2+3x+4，
解得x=−1或x=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
设直线BC的表达式为y=kx+b，把B(4,0)，C(0,4)代入得：
4k+b=0b=4，
解得k=−1b=4，
∴直线BC的表达式为y=−x+4，
∴A的坐标为(−1,0)，B的坐标为(4,0)，C的坐标为(0,4)；直线BC的表达式为y=−x+4；
(2)过H作HK//y轴交BC于K，如图：
设H(m,−m2+3m+4)，△HBC面积为S，则K(m,−m+4)，
∴HK=−m2+3m+4−(−m+4)=−m2+4m，
∴S=12HK⋅|xB−xC|=12×(−m2+4m)×4=−2m2+8m=−2(m−2)2+8，
∵−2<0，
∴当m=2时，S取最大值8，
∴△HBC面积的最大值为8；
(3)在平面内存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形，理由如下：
设P(t,−t2+3t+4)，Q(p,q)，
而B(4,0)，C(0,4)，
①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且PC=BQ，
∴t=p+4−t2+3t+4+4=qt2+(−t2+3t+4−4)2=(p−4)2+q2，
解得t=4p=0q=4(P与B重合，舍去)或t=−2p=−6q=−2，
∴Q(−6,−2)；
②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且PB=CQ，
∴t+4=p−t2+3t+4=q+4(t−4)2+(−t2+3t+4)2=p2+(q−4)2，
解得t=0p=4q=0(Q与B重合，舍去)或t=2p=6q=2，
∴(6,2)；
综上所述，Q的坐标为(−6,−2)或(6,2).
【解析】(1)在y=−x2+3x+4，令x=0可得C(0,4)，令y=0得A(−1,0)，B(4,0)，设直线BC的表达式为y=kx+b，用待定系数法得直线BC的表达式为y=−x+4，
(2)过H作HK//y轴交BC于K，设H(m,−m2+3m+4)，△HBC面积为S，可得S=12HK⋅|xB−xC|=−2(m−2)2+8，根据二次函数性质得△HBC面积的最大值为8；
(3)设P(t,−t2+3t+4)，Q(p,q)，分两种情况：①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且PC=BQ，t=p+4−t2+3t+4+4=qt2+(−t2+3t+4−4)2=(p−4)2+q2，②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且PB=CQ，t+4=p−t2+3t+4=q+4(t−4)2+(−t2+3t+4)2=p2+(q−4)2，分别解方程组可得答案．
本题考查二次综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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