2023年山西省晋中市平遥县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山西省晋中市平遥县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国地铁是指中国建设和运营中的城市轨道交通下列城市地铁图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  黄河之水，连天入海，浩荡奔涌，在我国经济社会发展和生态安全方面具有十分重要的地位，是我国水电资源开发的富矿黄河流域水力资源理论蕴藏量万千瓦该数据可用科学记数法表示为(    )

A. 千瓦 B. 千瓦
C. 千瓦 D. 千瓦

4.  在求解方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：，这一变形过程体现的数学思想主要是(    )

A. 类比思想 B. 函数思想 C. 方程思想 D. 转化思想

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  将矩形绕点旋转到如图位置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  今年是我国现行宪法公布施行周年为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共名学生参与其中，得分情况如下表，则分数的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10.  如图，以直角顶点为圆心、以一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于点，，已知，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值是______ ．

13.  若菱形的边长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为______ ．

14.  小良帮助爸爸妈妈一同在家装市场选购新家的地板样式，期间被一款如图，类似鱼骨的拼接方式所吸引通过和手工师傅交流，与自己实际动手操作，她发现图中所有矩形地板是全等的，并且符合黄金分割比例比如点是的黄金分割点，即延长与相交于点，则 ______ 精确到

15.  如图，在中，，，点为斜边的中点，点在上，，现将线段绕点旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

17.  本小题分
如图，在中，．
利用尺规：作的外接圆；作的角平分线交于点，连接；不写作法，保留作图痕迹
若，，求的长．

18.  本小题分
为优化全民健身组织体系，强化全民健身政策激励，我省推广并贯彻实施山西省构建更高水平的全民健身公共服务体系行动方案某社区积极响应号召、为构建分钟健身圈，购买了甲、乙两种健身器材，已知购买甲种器材共花费元，购买乙种器材共花费元，并且甲种健身器材的单价是乙种健身器材的倍，甲种器材比乙种器材少件．
甲、乙两种健身器材一共购买了多少件？
相邻社区决定效仿该社区，计划购进甲、乙两种健身器材共件，且费用不超过元，请问：相邻社区甲种健身器材最多能购买多少件？

19.  本小题分
公司生产、两种型号的洗碗机，为了解它们的用水量，工作人员从某月生产的、型洗碗机中各随机抽取台，保证洗碗数、脏污度等相同的情况下，记录下它们的用水量的数据单位：，并进行整理、描述和分析用水量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀，下面给出了部分信息：
台型洗碗机的用水量：，，，，，，，，，．
台型洗碗机中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，．
抽取的、型洗碗机用水量统计表

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
这个月公司预计销售型洗碗机台，估计该月型洗碗机“合格”等级的台数；
根据以上数据，请你为该公司接下来的生产计划提出一条建议，并说明理由．

20.  本小题分
阅读与思考．
请仔细阅读并完成相应的任务．
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是在中，，在中，，，整理得．
任务：
______ ， ______ ；
已知中，，，所对边分别是，，，，，，求．

21.  本小题分
预防青少年近视，从一点一滴做起，为提高同学们保护视力的意识，某学校开展了一系列爱眼护眼宣传活动某数学小组从网课期间利用笔记本电脑学习的同学处得到启发，准备探究笔记本电脑屏幕与键盘的夹角以及屏幕上方边界离桌面的距离与视力的关系．
如图，当屏幕与键盘所成夹角时，上方边界处离桌面的高度的长为，通过发放调查问卷统计的数据显示，多数同学表示此角度不理想通过不断调整与问卷调查分析，发现多数同学认为当夹角时，感觉比较适宜求此时上方边界处离桌面的高度的长结果精确到；参考数据：，，，

22.  本小题分
如图，和的顶点重合，，，，．
特例发现：如图，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；
探究证明：如图，将图中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展运用：如图，将图中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．
 

23.  本小题分
综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，连接．

求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，作出该二次函数图象的对称轴直线，交轴于点若点是二次函数图象上一动点，且点始终位于轴上方，作直线，，分别交于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可．
本题考查有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项图形不是中心对称图形，故A错误，不符合题意；
B.选项图形不是中心对称图形，故B错误，不符合题意；
C.选项图形是中心对称图形，故C正确，符合题意；
D.选项图形不是中心对称图形，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万千瓦千瓦，
故选：．
直接用科学记数法的表示形式进行改写即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，即将一个绝对值大于的数表示成的形式，其中，为正整数，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在求解方程时，在方程两边同乘，
把原方程化为：，将分式方程转化为一元一次方程，
这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想．
本题考查了解分式方程，掌握数学的转化思想是解决关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：．
分别根据积的乘方、合并同类项、平方差公式和单项式除以单项式进行计算，进而判断即可．
本题考查了积的乘方、合并同类项、平方差公式和单项式除以单项式，掌握各个运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质有，
，
，
故选：．
由旋转的性质有，根据同角的余角相等则可求出答案．
本题考查矩形的旋转，解题的关键是掌握同角的余角相等，求出的度数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先移项，再根据完全平方公式配方即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由反比例函数可知，
在每个象限内，随的增大而增大，
点、、、分别在反比例函数的图象上，
；
函数值最小的是；
故选：．
由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，随的增大而增大，进而问题可求解．
本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第、个数的平均数，
所以全班名同学的成绩的中位数是：；
出现了次，出现的次数最多，则众数是，
所以这些成绩的中位数和众数分别是，．
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，

中，，
，
，
阴影部分的面积．
故选：．
过点作，交于点，先求出扇形的半径长，根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积即可求解．
本题考查了不规则图形的面积，涉及勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先利用完全平方公式去括号，最后再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
的整数部分为，小数部分为，
，．
，
故答案为：．
先由得到，进而得出和，代入求解即可．
本题主要考查无理数的估算及二次根式的运算，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，菱形的边长为，，
四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，

故答案为：．
由四边形是菱形，即可得，，，由勾股定理可求得的值，继而求得菱形的两条对角线的长，继而求得这个菱形的面积．
此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设每个矩形的长为，宽为，

，
，
四边形是矩形，
，
，
，即
，
，
即，
故答案为：．
设每个矩形的长为，宽为，表示出，再由已知条件得出，表示出，求解即可．
本题考查了黄金分割，近似数，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图所示，当点在内部时，连接，
在中，，，
，
点为斜边的中点，
，，
，
、、三点共线，
由旋转的性质可得，
，
在中，由勾股定理得；

如图所示，当点在外部时，
同理可得、、三点共线，
，
在中，由勾股定理得；
故答案为：或．

分如图所示，当点在内部时，如图所示，当点在外部时，两种情况证明、、三点共线，求出，的长即可利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
解不等式组：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是． 

【解析】先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减；
分别计算两个一元一次不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到求出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，掌握各个运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，连接．
，
是的直径，
，
，，

平分，
，
，，
．
 

【解析】根据直角三角形外接圆圆心是斜边的中点只需要作出线段的中点，再以为半径画圆即为；然后作出的角平分线交于点，连接即可；
如图所示，连接先证明是的直径，得到，利用勾股定理求出，再根据角平分线的定义和圆周角定理得到，，则．
本题主要考查了角平分线的尺规作图，画直角三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，度圆周角所对的弦是直径等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：设一件乙健身器材的单价为元，则一件甲健身器材的单价为元．
由题意可得，
解得，
经检验，是原分式方程的解且满足题意，
件件，
件．
答：甲，乙两种健身器材一共购买了件．
设相邻社区甲种健身器材购买件，
由题意可得，
解得．
答：相邻社区甲种健身器材最多能购买件． 

【解析】设一件乙健身器材的单价为元，则一件甲健身器材的单价为元．根据甲种器材比乙种器材少件列分式方程求解即可；
设相邻社区甲种健身器材购买件，根据费用不超过元列不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
将型洗碗机中“良好”等级包含的所有数据从小到大排序为：，，，，，
中位数为；
由扇形统计图可得，台型洗碗机中“良好”等级的占，“优秀”等级的占，
，
故答案为：；；；
台，
答：该月型洗碗机“合格”等级的台数为台；
可以加大型洗碗机的生产量，因为其平均用水量较低，同时方差较小，说明用水量比较稳定．答案不唯一
根据算术平均数的意义求，根据中位数的计算求解，根据扇形统计图中各部分所占的百分比求解即可；
用乘以台型洗碗机“合格”等级所占的百分比求解即可；
根据表格数据进行分析，即可得出答案．
本题考查了数据的整理和扇形统计图，涉及中位数，平均数，方差等，掌握数据收集整理的相关概念是关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：根据进行类比，可得，．
故答案为：，；
，，，，
，
即，
解得，舍去，
．
直接根据进行类比即可求解；
根据代入数值可得，继而求解即可．
本题考查了解直角三角形，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
．
在中，，
由勾股定理得：，
解得．
由题意得：，
，
，
在中，，
此时上方边界处离桌面的高度的长约． 

【解析】先根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半和勾股定理求出的长度，再解直角三角形即可．
本题考查了解直角三角形的应用，涉及勾股定理，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

22.【答案】  ，垂直
结论成立．
理由：，
，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
；
如图中，过点作于点，设交于点，过点作于点．

，，
，
．
，
，，
当时，四边形是矩形，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，，
，此时，
故答案为：，垂直；
见答案；
见答案．

解直角三角形求出，，可得结论；
结论不变，证明∽，推出，，可得结论；
如图中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】解：当时，即，
解得：，．
图象与轴交于点，，
当时，，图象与轴交于点，
直线的函数表达式为；

存在，理由如下：
当点在上方时，
，
，即轴，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
抛物线的对称轴为直线；
，
；
当点在下方时，设交轴于点，
则，．
，
．
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：舍去，，
．
综上所述，点的坐标为或；

存在，的值为定值，理由如下：
由得抛物线的对称轴为直线，
，
设且，
设直线的解析式为，
将和点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理，直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
的值是定值，． 

【解析】先根据二次函数的性质求出，，的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
分两种情况讨论，当点在上方时，当点在下方时，再利用勾股定理和待定系数法进行求解即可；
由得抛物线的对称轴为直线，求出点的坐标，设且，分别求出直线的解析式和直线的解析式，进而表示出，即可求解．
本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．