2023年山西省晋中市太谷县中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年山西省晋中市太谷县中考数学一模试卷

1.  的倒数是(    )

A. 1010 B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，AB为的直径，，C、D为上两点，若，则BD的长为(    )

A. 5cm
B.
C.
D.

4.  若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  受本土疫情波及全国多数省份，线下餐饮、购物、出行等消费需求减少等影响，消费市场持续承压，但必需类商品及汽车销售情况依旧良好.前11个月，社会消费品零售总额399190亿元，同比下降数据399190亿，用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

6.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  寒假期间王华坚持每天在家做跳绳训练，他记录了最近一周的成绩个/分：157、159、160、162、160、163、164，该组数据的中位数和众数分别为(    )

A. 162、160 B. 160、162 C. 160、160 D. 159、160

8.  在三边都不相等的的边AB上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画(    )

A. 5条
B. 4条
C. 3条
D. 2条

9.  如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数是常数，且与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是(    )

A.
B. 或
C. 或
D.

10.  如图，在边长为4的正六边形ABCDEF中，先以点B为圆心，AB的长为半径作，再以点A为圆心，AB的长为半径作交AC于点P，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  ______ .

12.  将抛物线化成顶点式为______ .

13.  一个不透明的袋子里装有2个白球，2个彩球，这些球除颜色外完全相同，小欢从袋子里随机一次摸出2个球，摸到两个都是彩球的概率是______ .

14.  某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有______ 个.
 

15.  如图，点P是双曲线⟩上的一点，过点P作y轴的平行线交直线AB：于点Q，连结OP、当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四边形OAQP面积的最大值是______ .

16.  计算：；
先化简：，然后选择一个适当的、你喜欢的数代入求值.

17.  2023年元旦期间，面对新型肺炎疫情的侵袭，全国上下众志成城，我们坚信在党中央的统一领导下必定打赢这场没有硝烟的战争月3日，为了增强学生对此次疫情的了解与防控，某学校在本校网站上开展了相关知识的宣传教育活动月13日为了解这次宣传活动的效果，学校在校网站上从全校1500名学生中随机抽取若干名在线学生进行知识测试测试满分100分，得分均为整数，并根据这若干人的测试成绩，制作了如下不完整的统计图表.
学生知识测试成绩的频数表

由图表及统计图中给出的信息回答下列问题：
本次抽取的样本容量是______ ；扇形E的圆心角______ ，并补全频数分布直方图；
如果80分以上包括80分为优秀，请估计全校1500名学生中成绩优秀的人数.
针对这次活动谈谈你的想法.

18.  乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证.生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念.“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程.某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：
根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是______ .
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果推迟30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务
在的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程.
E.求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？
F.求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？
我选的问题是：______ .

19.  如图，在中，，，以AB为直径作分别交BC，AC于点D，E，连接AD，过点D作的切线交AC于点
试猜想和的数量关系，并说明理由．
若，求AF的长．

20.  通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任务.
 

理解应用：如图2，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距海里.
求：的面积.
求：乙船航行的速度结果保留根号

21.  光明中学校园有一升旗台，旗杆的高度引起了爱思考的同学们的极大兴趣.数学活动小组的同学对旗杆的高度进行了测量.测量方法如下：如图，从旗杆底部分别向东、西走到达点A、C处，在A，C两处分别放置学生制作的高为的测倾仪，在A处测得旗杆顶端Q的仰角是，在C处测得旗杆顶端Q仰角为，点A，C及旗杆PQ在同一平面内，旗杆底部P与点A，C在同一条直线上，，根据测量小组提供的数据，求该旗杆的高度结果精确到，参考数据：，，，

22.  综合与探究.
问题情境：
数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知，，过点C任作一条直线不与CA、CB重合，过点A作于点D，过点B作于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证∽下列解题可直接用此结论

如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：∽
模型应用：
在平面直角坐标系中，已知直线l：为常数，与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形ABC且
若直线l经过点，当点C在第三象限时，点C的坐标为______ .
若点D是函数图象上的点，且轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，求点C、D的坐标用含k的式子表示及BE的长.

23.  综合与探究.
如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为连接AC、BC、DB、

求抛物线的函数表达式；
过点D作与y轴的平行线的直线l，与BC交于点E，当是以DE为底边的等腰三角形时，求点D的坐标.
若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：的倒数是
故选：
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】A 

【解析】解：A、幂的乘方和积的乘方，本选项正确；
B、合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故本选项错误；
C、同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选项错误；
D、同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误．
故选：
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
本题主要考查同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方等运算法则，关键在于认真的考虑运用什么运算法则．
 

3.【答案】B 

【解析】解：如图，连接AD，

是直径，
，
，
，
，
，

故选：
构造直角三角形，利用直角三角形30度角的性质解决问题即可．
本题考查圆周角定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，

故选：
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知二者有意义的条件是解题的关键．
 

5.【答案】D 

【解析】解：399190亿，
故选：
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
 

6.【答案】A 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：将这组数据重新排列为157、159、160、160、162、163、164，
所以这组数据的中位数为160，众数为160，
故选：
将数据重新排列，再依据中位数和众数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

8.【答案】B 

【解析】解：若该直线与AC相交，

①过点D作，交AC于点E，则，
，
∽
②过点D作直线DF交AC于点F，使得，
，
∽
同理，若该直线与BC相交，也可作①，②，得到∽，∽

这样的直线最多可以画4条．
故选：
这样的直线最多可以画4条，根据平行线分线段成比例定理推出相似，根据两角分别相等得到两三角形相似．
本题主要考查对相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能根据题意画出图形是解此题的关键．
 

9.【答案】C 

【解析】解：一次函数是常数，且与反比例函数的图象交于，两点，
不等式的解集是或
故选：
一次函数落在与反比例函数的图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
 

10.【答案】B 

【解析】解：如图，

阴影部分的面积=扇形BCT的面积-弓形BmT的面积


故选：
根据阴影部分的面积=扇形BCT的面积-弓形BmT的面积，求解即可．
本题考查作图-复杂作图，正多边形和圆，扇形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．
 

11.【答案】17 

【解析】解：原式


故答案为：
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，即，
故答案是：
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数的解析式的三种形式：
一般式：、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
 

13.【答案】 

【解析】解：设彩球分别为、，白球分别为、，列表得：

总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到彩球的结果有2种，
所以摸到两个都是彩球的概率是，
故答案为：
设彩球分别为、，白球分别为、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】40 

【解析】解：连续排列的正方形地砖总共有：个
故答案为：
中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到正方形的个数为
本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
 

15.【答案】3 

【解析】解：直线AB：交y轴于A点，
，
轴，
设，则，
，
四边形OAQP的面积，
，
四边形OAQP的面积有最大值，最大值是3，
故答案为：
设，则，得到，得出四边形OAQP的面积，根据二次函数的性质即可求得最大值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为
 

16.【答案】解：原式


原式


，
由分式有意义的条件可知：x不能取，
当时，
原式 

【解析】根据特殊角的三角函数的值即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值以及特殊角的锐角三角函数的值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算、乘除运算法则以及特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
 

17.【答案】100 54 

【解析】解：本次抽取的样本容量是，
扇形E的圆心角，
的人数为人，
补全图形如下：

故答案为：100，54；
名，
答：估计全校1500名学生中成绩优秀的人数为825名；
通过网站宣传，大部分学生对对此次疫情的了解与防控效果较好答案不唯一
由A组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以E组人数所占比例即可得出其圆心角度数，求出的人数即可补全图形；
总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可；
根据统计的数据给出合理看法即可．
此题考查了频数率分布直方图，频数率分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：所列方程为，且x表示原计划每天筑路的面积，
表示实际每天筑路的面积，
题干中省略的部分为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟30天完成了这一任务．
故选：C；
选择E，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，

答：实际每天筑路的面积是万平方米；
选择F，设原计划完成这项筑路工程需要y天，则实际完成这项筑路工程需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划完成这项筑路工程需要120天．
根据所列方程及x表示的意义，可找出题干中省略的条件；
选择E，解中的方程，可得出x的值，检验后代入中，即可得出结论；选项F，设原计划完成这项筑路工程需要y天，则实际完成这项筑路工程需要天，利用工作效率=工作总量工作时间，可得出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：，理由如下：
为直径，
，
，
，
，
；
连接OD，
，，
，
，
，
是的切线，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
 

【解析】由圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到；
由三角形中位线定理及切线的性质证得，由三角形的面积公式求出DF，在中，根据勾股定理即可求出
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键：根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得；求出DF的长．
 

20.【答案】解：，，，
，
的面积为平方海里；
由题意可知，，
是等边三角形，
，
，，
在中，由于
，
乙船的速度为海里/时 

【解析】三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半即可求解；
先根据题意得出，，证得是等边三角形，得，再求得，，结合题意知，从而得出，进一步得出答案．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握仰角俯角的概念与三角函数的应用．
 

21.【答案】解：设PQ与BD交于点E，
由题意得，，，，，
设，则，
在中，，
解得，
在中，，
解得
，

该旗杆的高度约为 

【解析】设PQ与BD交于点E，设，则，在中，，解得，在中，，求出x的值，即可求得EQ的值，再根据可得答案．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】证明：，，
，
，
∽；

解：过点B作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点M，交过点C与y轴的平行线于点N，

由知，∽，
，
则和的相似比为：1：2；
由点A、B的坐标知，，，
则，，
则点，
故答案为：；

解：过点C作轴于点M，

由知，∽，
，
则和的相似比为：2：1；
由点A、B的坐标知，，，
则，，
则点，
由点B的坐标得：，
当时，，则，
即点，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：，
点，
则
由，，得到，进而求解；
由知，∽，而，得到和的相似比为：1：2，进而求解；
证明和的相似且相似比为：2：1，进而求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、三角形相似、解直角三角形等知识点，由一定的综合性，难度适中．
 

23.【答案】解：，
，
把，，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
由，得直线BC解析式为，
设，则，
是以DE为底边的等腰三角形，
，
，
解得与C重合，舍去或与B重合，舍去或，
；
坐标平面内存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，又，，
①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，且，
，
解得，
；
②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，且，
，
解得或，
或；
③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，且，
，
解得或与C重合，舍去；
；
综上所述，N的坐标为或或或 

【解析】由，得，再用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
由，得直线BC解析式为，设，根据是以DE为底边的等腰三角形，有，即可解得答案；
设，，又，，分三种情况：①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，且，，②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，且，，③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，且，，分别解方程组可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，菱形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．