2023年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“3.6cm”对应数轴上的数为（　　）

A．﹣0.4 B．﹣0.6 C．﹣1.6 D．1.4
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
5．（4分）将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，点C′恰好落在A′B上，若∠ABE＝20°，则∠DBC为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（4分）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B．D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AB＝3，BG＝6，则四边形MBND的周长为（　　）

A．15 B．9 C． D．
8．（4分）如图，每一个图形都是由一些小黑方块按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有1个小黑方块，第②个图形中有5个小黑方块，第③个图形中有11个小黑方块……，按此规律，则第⑨个图中小黑方块的个数是（　　）


A．89 B．71 C．55 D．41
9．（4分）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（　　）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
10．（4分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）已知实数m、n满足，则＝　 　．
12．（4分）已知xy＝1，3y﹣x＝3，则3xy2﹣x2y﹣xy的值为 　 　．
13．（4分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则DE的长是 　 　．

14．（4分）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与点M，N重合），PQ⊥MN于点Q，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．若PN2＝PM•MN，则＝　 　．

15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（　 　）．

三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。）
16．（10分）先化简，再求值：（）÷÷，其中x为不等式组的整数解．
17．（10分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．

18．（10分）如图，已知A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

19．（10分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

20．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝800米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）

21．（10分）五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：

进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
（1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？
22．（15分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

23．（15分）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．


2023年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“3.6cm”对应数轴上的数为（　　）

A．﹣0.4 B．﹣0.6 C．﹣1.6 D．1.4
【解答】解：设刻度尺上“3.6cm”对应数轴上的数为3﹣3.6＝﹣0.6．
故选：B．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层是一个圆，
故选：B．
4．（4分）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.2＝15，
故选：B．
5．（4分）将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，点C′恰好落在A′B上，若∠ABE＝20°，则∠DBC为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，
∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠DBC＝70°．
故选：D．
6．（4分）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，
根据题意可列方程组为：．
故选：A．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B．D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AB＝3，BG＝6，则四边形MBND的周长为（　　）

A．15 B．9 C． D．
【解答】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，
∴BM＝MD，BN＝ND．
设PQ与BD交于点O，如图，

则BO＝DO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△MDO和△NBO中，
，
∴△MDO≌△NBO（AAS），
∴DM＝BN，
∴四边形BNDM为平行四边形，
∵BM＝MD，
∴四边形MBND为菱形，
∴四边形MBND的周长＝4BM．
设MB＝x，则MD＝BM＝x，
∴AM＝AD﹣DM＝6﹣x，
在Rt△ABM中，
∵AB2+AM2＝BM2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴四边形MBND的周长＝4BM＝15．
故选：A．
8．（4分）如图，每一个图形都是由一些小黑方块按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有1个小黑方块，第②个图形中有5个小黑方块，第③个图形中有11个小黑方块……，按此规律，则第⑨个图中小黑方块的个数是（　　）


A．89 B．71 C．55 D．41
【解答】解：①小黑方块有：1，
②小黑方块有：1+2×2，
③小黑方块有：1+2×2+2×3，
④小黑方块有：1+2×2+2×3+2×4，
……
⑨小黑方块有：1+2×2+2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8+2×9
＝1+4+6+8+10+12+14+16+18
＝89，
故选：A．
9．（4分）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（　　）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
【解答】解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
，
解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵O是EF的中点，
∴OB＝OE＝OF，
∵∠EGF＝90°，O是EF的中点，
∴OG＝OE＝OF，
∴OB＝OG＝OE＝OF，
∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG＝∠EFG，
∵∠EGF＝90°，EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
∴∠EBG＝45°，
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
∴当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，

∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠GBC＝ABC＝45°，
∵CG⊥BG，
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC＝90°，
∴BG＝CG，
∵∠EGF＝∠BGC＝90°，
∴∠EGF﹣∠BGF＝∠BGC﹣∠BGF，
∴∠EGB＝∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
，
∴△EGB≌△FGC（SAS），
∴BE＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
设AB＝m，
∵BE：AB＝1：3，
∴CF＝BE＝m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2m，
∴BC＝＝m，
∴AD＝m，
∴＝＝．
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）已知实数m、n满足，则＝　　．
【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
12．（4分）已知xy＝1，3y﹣x＝3，则3xy2﹣x2y﹣xy的值为 　2　．
【解答】解：∵xy＝1，3y﹣x＝3，
∴3xy2﹣x2y﹣xy
＝xy（3y﹣x﹣1）
＝1×（3﹣1）
＝2，
故答案为：2．
13．（4分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则DE的长是 　cm　．

【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5（cm），
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝5cm，
∵AC＝4cm，
∴CE＝AE﹣AC＝1cm，
∵DB＝DE，
∴CD＝BC﹣BD＝BC﹣DE＝3﹣DE，
∴DE＝＝，
∴DE＝cm．
故答案为：cm．
14．（4分）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与点M，N重合），PQ⊥MN于点Q，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．若PN2＝PM•MN，则＝　　．

【解答】解：∵MN是⊙O的直径，
∴∠MPN＝90°，
∵PQ⊥MN于点Q，
∴∠PQN＝∠MPN＝90°，
∵∠PNQ＝∠MNP，
∴△NPQ∽△NMP，
∴＝，
∴PN2＝NQ•MN，
∴PN2＝PM•MN，
∴PM•MN＝NQ•MN，
∴PM＝NQ，
∵∠MQP＝∠MPN＝90°，∠PMQ＝∠NMQ，
∴△MPQ∽△MNP，
∴＝，
∴PM2＝MQ•MN，
∴NQ2＝MQ•MN，
设MQ＝m，NQ＝n，则n2＝m（m+n），
整理得m2+nm﹣n2＝0，
解关于m的方程得m＝n或m＝（不符合题意，舍去），
∴＝＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（　55，　）．

【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55，
∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．
三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。）
16．（10分）先化简，再求值：（）÷÷，其中x为不等式组的整数解．
【解答】解：（﹣x+3）÷
＝••
＝••
＝﹣••
＝﹣，
解不等式组得：﹣4＜x＜﹣1，
所以不等式组的整数解是﹣3，﹣2，
要使分式：（﹣x+3）÷有意义，x﹣3≠0且3x≠0且x+3≠0，
所以x不能为3、0、﹣3，
取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
17．（10分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．

【解答】解：（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°，
∵CF⊥AB，DE∥FC，
∴ED⊥AB，
∴∠1＝90°﹣∠B＝40°
∴∠2＝40°．
18．（10分）如图，已知A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

【解答】解：（1）∵B（1，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝1×（﹣2）＝﹣2，
则反比例函数的解析式是y＝﹣，
当x＝﹣时，y＝n＝1
则A的坐标是（﹣2，1），
根据题意得，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣x﹣1．
（2）在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，解得x＝﹣1，
则C的坐标是（﹣1，0）
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+＝1.5．
（3）使得kx+b＜成立时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞1；
19．（10分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　200　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：

（3）1180×＝472（名），
答：估计参加B项活动的学生为472名；
（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
20．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝800米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）

【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA＝∠MDB＝90°，
∵∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，
∴在Rt△ADM中，；
在Rt△BDM中，，
∴，
∵AB＝800m，
∴AD+BD＝800m，
∴AD+＝800，
∴AD＝（400）m，
∴BD＝MD＝（1200﹣400）m，
∴点M到AB的距离＝（1200﹣400）m．
（2）过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴NE＝MD＝（1200﹣400）m，MN＝DE，
∵∠NBA＝53°，
∴在Rt△NEB中，，
∴BE≈（900﹣300）m，
∴MN＝AB﹣AD﹣BE≈300﹣100≈127m．

21．（10分）五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：

进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
（1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？
【解答】解：（1）设购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得：，
解得：，
答：五星店在该买卖中购进电饭煲25台，电压锅15台；
（2）设购进电饭煲a台，则电压锅（50﹣a）台，
根据题意得：，
解得：，
又a为正整数，
∴a可取23，24，25，
∴有三种方案：
①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；
②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；
③购买电饭煲25台，购买电压锅25台；
（3）设五星店赚钱数额为w元，
当a＝23时，w＝23×（290﹣240）+27×（260﹣200）＝2770；
当a＝24时，w＝24×（290﹣240）+26×（260﹣200）＝2760；
当a＝25时，w＝25×（290﹣240）+25×（260﹣200）＝2750；
综上所述，当a＝23时，w最大，
即购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多．
22．（15分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，
即∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；

（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，
∴△AGC是等边三角形．


23．（15分）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c
由题意得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12，
点P的坐标为（4，﹣4）；
（2）存在点D，使S△ODB＝S△DPB．理由如下：
①若点D在x轴上方，
∵P（4，﹣4），
∴直线OP解析式为y＝﹣x，
当直线BD平行于直线OP时，同底等高，
∴S△ODB＝S△DPB，
∴设直线BD的解析式为y＝﹣x+b，
当y＝0时，x2﹣8x+12＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
把B（6，0）代入y＝﹣x+b得，b＝6，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+6，
联立，解得，
∴D（2，4），
②若点D在x轴下方，
∵P（4，﹣4），B（6，0），
∴直线BP解析式为y＝2x﹣12，
当直线DP平行于直线OB时，S△ODB＝S△DPB，
∵P（4，﹣4），
∴将y＝﹣4代入y＝2x得：D（﹣2，﹣4），
∴当D（2，4））或（﹣2，﹣4）时，S△ODB＝S△DPB．
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP＝t，
∴PH＝t，MH＝t，HN＝t，
∴S＝t2；
②当2＜t＜4时，P1G＝2t﹣4，P1H＝t，
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴，
∴，
∴＝3t2﹣12t+12，
∴S＝t2﹣（3t2﹣12t+12）＝﹣t2+12t﹣12，
综上所述：当0＜t≤2时，S＝t2；
当2＜t＜4时，S＝﹣t2+12t﹣12．